黑龍江省齊齊哈爾市2024年中考數學試卷一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)1．的相反數是（）A．5 B．－5 C． D．【答案】C【解析】【解答】解：根據相反數的定義得，的相反數是.

故答案為：C.

【分析】根據相反數的定義即可解答.2．下列美術字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；選項是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；故答案為：D

【分析】中心對稱圖形是圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形完全重合，軸對稱圖形是將一個圖形沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合，再對各選項逐一判斷.3．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、4a2+2a2=6a2，A錯誤；

B、，B錯誤；

C、a6÷a2=a4，C錯誤；

D、(-a2)2=a4，D正確.

故答案為：D.

【分析】逐項計算進行判斷即可.4．將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若∠1＝50°，則∠2的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】【解答】解：如圖，

∵∠1=∠3=50°，

∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.

故答案為：B.

【分析】根據對頂角的性質得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形內角和定理即可求解.5．如圖，若幾何體是由5個棱長為1的小正方體組合而成的，則該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是（）A．6 B．7 C．8 D．9·【答案】B【解析】【解答】解：∵該幾何體左視圖是由3個小正方形構成，俯視圖是由4個小正方形構成，且小正方形的邊長為1，

∴該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是7.

故答案為：B.

【分析】根據小正方體組合體的三視圖判斷出左視圖和俯視圖有幾個小正方形，即可求解.6．如果關于x的分式方程的解是負數，那么實數m的取值范圍是（）A．m<1且m≠0 B．m<1C．m>1 D．m<1且m≠－1【答案】A【解析】【解答】解：∵，

∴x+1-mx=0，

解得，

∵關于x的分式方程的解是負數，

∴m-1＜0且m-1≠-1，

解得m＜1且m≠0.

故答案為：A.

【分析】先解分式方程得，再根據該分式方程的解是負數，考慮以下情況：所得解是負數，且所得解不是增根，進而列出關于m的不等式，解不等式即可求解.7．六月份，在“陽光大課間”活動中，某校設計了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運動項目，且每名學生在一個大課間只能選擇參加一種運動項目，則甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：設籃球、足球、排球、羽毛球分別為A、B、C、D，列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)共有16種等可能的結果，其中甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種類運動項目的結果有4種，

∴甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種類運動項目的概率為.

故答案為：C.

【分析】設籃球、足球、排球、羽毛球分別為A、B、C、D，再用列表法求出所有的等可能結果數，從而得出符合條件的結果數，最后利用概率公式進行求解即可.8．校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（）A．5種 B．4種 C．3種 D．2種【答案】B【解析】【解答】解：設購買單價為8元的筆記本x本，購買單價為10元的筆記本y本，

根據題意，得8x+10y=200，

整理得，

∵x、y都是正整數，

∴或或或，

∴購買方案有4種.

故答案為：B.

【分析】設購買單價為8元的筆記本x本，購買單價為10元的筆記本y本，根據題意列出關于x、y的二元一次方程，求出正整數解即可.9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接EF，以EF為邊向下做正方形EFGH，設點E運動的路程為x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面積為y，下列圖象能反映y與x之間函數關系的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：當正方形EFGH和等腰重合部分的面積全部在等腰內部時，可知y為正方形EFGH的面積，

∴隨著E、F的運動，正方形EFGH的邊長在增大，可知這一部分圖像是開口向上的二次函數，CD不符合題意，

當正方形EFGH和等腰重合部分的面積全部在正方形EFGH內部時，可知y為正方形EFGH面積的一部分，

∴隨著E、F的運動，這一部分的長在增大，寬在減小，可知這一部分圖像是開口向下的二次函數，B不符合題意.

故答案為：A.

【分析】先分類討論：y為正方形EFGH的面積或y為正方形EFGH面積的一部分，再根據面積公式得y與x之間的函數關系.10．如圖，二次函數的圖象與x軸交于(－1，0)，，其中．結合圖象給出下列結論：①ab>0；②a－b＝－2；③當x>1時，y隨x的增大而減小；④關于x的一元二次方程的另一個根是；⑤b的取值范圍為．其中正確結論的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函數圖象開口向下，

∴a<0，

∵根據函數圖象可知對稱軸在y軸右邊，

∴，

∴b>0，

∴ab<0，①錯誤；

∵二次函數y=ax2+bx+2(a≠0)的圖像與x軸交于(-1，0)，

∴a-b+2=0，

∴a-b=-2，②正確；

∵二次函數y=ax2+bx+2(a≠0)的圖像與x軸交于(-1，0)，(x1，0)，其中2<x1<3，

∴，即，

∵二次函數圖象開口向下，

∴當x>1時，y隨x的增大而減小，③正確；

∵二次函數y=ax2+bx+2(a≠0)的圖像與x軸交于(-1，0)，(x1，0)，

∴關于x的方程ax2+bx+2=0(a≠0)的兩個根分別為x=-1或x=x1，

∴，

∴，④正確；

∵a-b=-2，

∴a=b-2，

∴y=(b-2)x2+bx+2，

根據二次函數圖象可知，當x=2時，y>0，當x=3時，y＜0，

∴，

解得，⑤正確.

故答案為：C.

【分析】①根據二次函數圖象開口方向、對稱軸位置即可判斷；②把點(-1，0)代入y=ax2+bx+2，進行整理即可判斷；③根據二次函數與x軸的兩個交點坐標(-1，0)，(x1，0)，利用中點坐標公式、不等式的基本性質得，進而有，根據二次函數圖象的增減性即可判斷；④利用一元二次方程根與系數的關系即可判斷；⑤觀察函數圖象得關于b的不等式組，解不等式組即可判斷.二、填空題(每小題3分，滿分21分)11．共青團中央發布數據顯示：截至2023年12月底，全國共有共青團員7416.7萬名．將7416.7萬用科學記數法表示為．【答案】【解析】【解答】解：7416.7萬=74167000=7.4167×107.

故答案為：7.4167×107.

【分析】根據科學記數法的定義即可求解.12．如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線OH，若H(2a－1，a＋1)，則a＝．【答案】2【解析】【解答】解：根據題意，得OH平分∠MON，

∵∠MON=90°，

∴∠MOH=45°，

∵H(2a-1，a+1)，

∴2a-1=a+1，

∴a=2.

故答案為：2.

【分析】根據題意得ON平分∠MON，從而根據角平分線的定義得∠MON=45°，進而有2a-1=a+1，解方程求出a即可.13．在函數中，自變量x的取值范圍是．【答案】x>-3且x≠-2【解析】【解答】解：根據題意，得，

解得x＞-3且x≠-2.

故答案為：x>-3且x≠-2.

【分析】根據二次根式被開方數大于等于0，分式分母不為零列出關于x的不等式組，解不等式組即可求解.14．若圓錐的底面半徑是1cm，它的側面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為cm．【答案】【解析】【解答】解：設圓錐的母線長為xcm，

∵圓錐的側面展開圖的圓心角是直角，

∴側面展開圖扇形的弧長為，

∵圓錐的底面圓半徑是1，

∴圓錐的底面圓周長為，

∴，

∴x=4，

根據勾股定理得圓錐的高為.

故答案為：.

【分析】設圓錐的母線長為xcm，由于圓錐側面展開圖所得扇形的弧長等于圓錐的底面圓周長，接下來根據扇形的面積公式、圓的面積公式得，解方程求出x的值，最后利用勾股定理進行求解.15．如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形ABCO的頂點A，OC在x軸上，若點B(－1，3)，，則實數k的值為．【答案】-6【解析】【解答】解：如圖，延長AB交y軸于點D，

根據題意得AD垂直y軸，

∵B(-1，3)，

∴D(0，3)，

∴OD=3，

∵，

∴，

∴OC=1，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=OC=1，

∴A(-2，3)，

∵點A在反比例函數上，

∴k=-6.

故答案為：-6.

【分析】延長AB交y軸于點D，根據平行四邊形的面積以及性質得AB=OC=1，從而求出點A的坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出k的值.16．已知矩形紙片ABCD，AB＝5，BC＝4，點P在邊BC上，連接AP，將△ABP沿AP所在的直線折疊，點B的對應點為，把紙片展平，連接，，當為直角三角形時，線段CP的長為．【答案】或2【解析】【解答】解：如圖，當∠BCB'=90°時，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠C=∠D=90°，

∴∠C=∠BCB'=90°，

∴點B'在CD上，

∵折疊的性質，

∴AB'=AB=5，BP=B'P，

∴根據勾股定理得，

∴B'C=CD-DB'=5-3=2，

設CP=x，則BP=B'P=4-x，

在中，根據勾股定理得B'C2+CP2=B'P2，即22+x2=(4-x)2，

解得，即；

如圖，當∠BB'C=90°時，

∴∠BB'P+∠CB'P=90°，∠B'CP+∠B'BP=90°，

∵折疊的性質，

∴B'P=BP，

∴∠BB'P=∠B'BP，

∴∠CB'P=∠B'CP，

∴B'P=CP，

∴B'P=BP=CP，

∵BC=BP+CP=4，

∴2CP=4，

∴CP=2；

當∠B'BC=90°時，

∵∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角，

∴∠B'BC≠90°，

綜上所述，線段CP的長為或2.

故答案為：或2.

【分析】根據為直角三角形，可知要分類討論：當∠BCB'=90°時，先根據矩形的性質得點B'在CD上，再根據折疊的性質得AB'=AB=5，BP=B'P，接下來利用勾股定理求出DB'的值，從而得B'C的值，設CP=x，則BP=B'P=4-x，再利用勾股定理得關于x的方程22+x2=(4-x)2，解方程求出x的值即可；

當∠BB'C=90°時，先證∠CB'P=∠B'CP，得B'P=BP=CP，進而有2CP=BC=4，即可求解；

當∠B'BC=90°時，由∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角說明∠B'BC≠90°.17．如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為(0，0)，點B的坐標為(1，0)，點C在第一象限，∠OBC＝120°．將△OBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應點為，點C的對應點為，OC與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△OBC滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花朵”的花心的坐標為．【答案】【解析】【解答】解：如圖，連接A1B，

∵在等腰三角形OBC中，∠OBC=120°，

∴∠COB=∠O'C'B=30°，OB=C'B，

∴A1O=A1C'，

∴A1B垂直平分OC'，

∴∠A1BO=90°，

∵B(1，0)，

∴OB=1，

∵，

∴，

∴，

同理可得（n為正整數），

∵每滾動3次出現1個花心，

∴，

∴△OBC滾動2024次后停止滾動，最后一個“花朵”的花心對應的點為A675，

∴.

故答案為：.

【分析】連接A1B，先根據等腰三角形的性質求出A1B垂直平分OC'，得∠A1BO=90°，再由點B的坐標得OB=1，接下來利用特殊角的三角函數值求出A1B的值，得點A1的坐標，同理求出點A2，A3，......An的坐標，根據題意得到每滾動3次出現1個花心，從而有滾動2024次停止后，最后一個花心對應的點為A675，將n=675代入即可求解.三、解答題(本題共7道大題，共69分)18．（1）計算：（2）分解因式：【答案】（1）解：原式；（2）解：原式.【解析】【分析】（1）先利用算術平方根、特殊角的三角函數值、零指數冪、負整數指數冪進行化簡，最后再進行加減運算即可；

（2）先提公因式，再用平方差公式進行因式分解即可.19．解方程：.【答案】解：，【解析】【分析】根據公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可將一元二次方程的左邊分解成兩個因式的積的形式，于是可得兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程即可求解.20．為提高學生的環保意識，某校舉行了“愛護環境，人人有責”環保知識競賽，對收集到的數據進行了整理、描述和分析．【收集數據】隨機抽取部分學生的競賽成績組成一個樣本．【整理數據】將學生競賽成績的樣本數據分成A，B，C，D四組進行整理．(滿分100分，所有競賽成績均不低于60分)如下表：組別ABCD成績(x/分)60≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100人數(人)m94n16【描述數據】根據競賽成績繪制了如下兩幅不完整的統計圖．【分析數據】根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：m＝，n＝；（2）請補全條形統計圖；（3）扇形統計圖中，C組對應的圓心角的度數是°；（4）若競賽成績80分以上(含80分)為優秀，請你估計該校參加競賽的2000名學生中成績為優秀的人數．【答案】（1）50；40（2）解：如圖所示；（3）72（4）解：∵94÷47%＝200（人），

∴（人），

∴該校參加競賽的2000名學生中成績為優秀的人數????為560人.【解析】【解答】解：（1）根據題意，得隨機抽取的學生總人數為94÷47%=200（人），

∴m=200×25%=50（人），

∴n=200-50-94-16=40（人），

故答案為：50，40；

（3），

故答案為：72.

【分析】（1）先根據B組人數及所占百分比求出隨機抽取的學生總人數，再用總人數乘A組的百分比求出m的值，最后用總人數減去A、B、D組的人數得C組的人數；

（2）由（1）求出的m、n的值補全條形統計圖即可；

（3）用360°乘C組人數所占的比率即可求解；

（4）用總人數2000乘樣本中競賽成績80分以上（含80分）的人數所占的比率即可求解.21．如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點D，將△CDB沿BC所在的直線翻折，得到△CEB，點D的對應點為E，延長EC交BA的延長線于點F．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若，AB＝8，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，∵△CDB沿直線BC翻折得到△CEB，∴∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，∵OB，OC是⊙O的半徑，

∴OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠EBC＝∠OCB，

∴，

∴∠FCO＝∠BEC＝90°，

∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵，

∴∠CFB＝45°，由(1)得∠FCO＝90°，

∴∠FOC＝90°－∠CFB＝45°，∵CD⊥AB，

∴∠CDO＝90°，

∴∠OCD=45°，

∴∠FOC=∠OCD，

∴CD=DO，∵AB＝8，

∴，在Rt△COD中，，

∴2CD2=42，

∴CD2=8，

∴，

又∵OC=8，∠AOC=45°，∴，∴.【解析】【分析】（1）連接OC，根據垂直的定義得∠CDB＝90°，然后根據折疊的性質得∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，由等腰三角形的性質得∠OCB＝∠OBC，從而有∠EBC＝∠OCB，進而證出OC∥BE，根據“兩直線平行，同位角相等”得∠FCO＝∠BEC＝90°，最后根據切線的判定定理得證；

（2）根據特殊角的三角函數值得∠CFB＝45°，從而得∠FOC=45°，再根據垂直的定義得∠CDO=90°，從而得∠OCD=45°，進而有CD=DO.接下來先求出半徑OC，利用勾股定理求出CD2，然后利用三角形面積公式得的值，再利用扇形面積公式求出S扇形AOC的值，即可求解.22．領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函數關系如圖所示．請結合圖象解答下列問題：（1）a＝米/秒，t＝秒；（2）求線段MN所在直線的函數解析式；（3）兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米?(直接寫出答案即可)【答案】（1）8；20（2）解：由圖象可知，N(19，96)，∵甲無人機的速度為8米/秒，∴甲無人機勻速上升從0米到96米所用時間為96÷8＝12(秒)，∴甲無人機單獨表演所用時間為19-12＝7(秒)，∴6＋7＝13(秒)，

∴M(13，48)，設線段MN所在直線的函數解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將M(13，48)，N(19，96)代入得：，

解得：，∴線段MN所在直線的函數解析式為：y＝8x-56；（3）解：兩架無人機表演訓練到2秒或10秒或16秒時，它們距離地面的高度差為12米.【解析】【解答】解：（1）根據題意，得甲無人機的飛行速度為a=48÷6=8（米/秒），

t=39-19=20（秒），

故答案為：8，20；

（3）設點A（0，20），B（6，48），

∴同理可得線段OB所在直線的函數解析式為yOB=8x，yAN=4x+20，yBM=48，

∵線段MN所在直線的函數解析式為y＝8x-56，

∴當0≤t≤6時，|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解得x=2或x=8（舍去），

當6<t≤13時，|yBM-yAN|=|48-4x-20|=12，解得x=10或x=4（舍去），

當13<t≤19時，|y-yAN|=|8x-56-4x-20|=12，解得x=16或x=22（舍去），

∴兩架無人機表演訓練到2秒或10秒或16秒時，它們距離地面的高度差為12米.

【分析】（1）觀察函數圖象進行計算即可求解；

（2）先求出甲無人機單獨表演的時間，從而得點M的坐標，最后用待定系數法求線段MN所在直線的函數解析式即可；

（3）設點A（0，20），B（6，48），然后利用待定系數法先求線段OB、AN、BM所在直線的函數解析式，再通過觀察函數圖象可知要分三種情況討論：當0≤t≤6時，有|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解方程求出x的值；當6<t≤13時，有|yBM-yAN|=|48-4x-20|=12，解方程求出x的值；當13<t≤19時，有|y-yAN|=|8x-56-4x-20|=12，解方程求出x的值，即可求解.23．綜合與實踐

如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，將線段BC繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，作DE⊥AB交AB的延長線于點E．（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段AB與DE的數量關系是；（2）【問題解決】如圖3，連接CD并延長交AB的延長線于點F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面積；（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點N，則；（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線AB上找點P，使，請直接寫出線段AP的長度．【答案】（1）AB＝DE（2）解：∵將線段BC繞點B順時針旋轉得到線段BD，

∴BC=BD，∠CBD=90°，

∴∠CBA+∠DBE=90°，

∵∠A=90°，

∴∠CBA+∠ACB=90°，

∴∠DBE=∠ACB，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠A=∠DEB，

在和中，

，

∴，∴DE＝AB，BE＝AC，∵AB＝2，AC＝6，

∴DE＝2，BE＝6，∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8，∵∠DEB＋∠A＝180°，∴，

∴△DEF∽△CAF，∴，

∴，∴EF＝4，

∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10，∴；（3）???????（4）解：線段AP的長度為或.【解析】【解答】解：（1）∵將線段BC繞點B順時針旋轉得到線段BD，

∴BC=BD，∠CBD=90°，

∴∠CBA+∠DBE=90°，

∵∠A=90°，

∴∠CBA+∠ACB=90°，

∴∠DBE=∠ACB，

∵DE⊥AB，

∴∠E=90°，

∴∠A=∠E，

在和中，

，

∴，

∴AB=DE，

故答案為：AB=DE；

（3）如圖，過點N作NM⊥AE于M，

∴∠NME=∠NMB=90°，

∵∠A=90°，

∴∠NME=∠NMB=∠A，

∴AC∥NM，

∴，

∴，即，

∴，

由（2）有DE∥AC，BE=6，DE=2，∠ACB=∠DBE，

∴MN∥DE，

∴，

∴，即，

解得，

又∵∠NMB=∠A，∠ACB=∠DBE，

∴，

∴；

故答案為：

（4）如圖，當點P在點A左側時，過點P作PQ⊥CB于Q，

∴∠PQC=∠PQB=90°，

∵∠CAB=90°，AC=6，AB=2，

∴，，

∴PQ=3BQ，

設BQ=x，則PQ=3x，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴，

∴，

如圖，當點P在B點左側時，過點P作PQ'⊥CB延長線于Q'，

∴∠BQ'P=90°，

∵∠ABC=∠Q'BP，

∴，

∴Q'P=3BQ'，

設BQ'=y，則Q'P=3y，

同理可得，，

∴BC+BQ'=CQ'，即，

解得，

∴，

∴，

綜上所述，線段AP的長度為或.

【分析】（1）利用“一線三垂直”證，即可求解；

（2）利用“一線三垂直”證，得DE＝AB，BE＝AC，從而求出AE的長，再根據“同旁內角互補，兩直線平行”證得DE∥AC，進而有△DEF∽△CAF，根據相似三角形的性質得，從而求出EF的長，接下來得BF的長，最后根據三角形面積公式求解即可；

（3）過點N作NM⊥AE于M，易證AC∥NM，得，再根據相似三角形的性質得，從而有，接下來再證MN∥DE，得，根據相似三角形的性質得，從而求出MN的長，然后利用“一線三垂直”相似模型易證，再次根據相似三角形的性質得，即可求解；

（4）根據題意，可知需分情況討論：當點P在點A左側時，過點P作PQ⊥CB于Q，利用三角函數的定義得，從而有PQ=3BQ，設BQ=x，則PQ=3x，再根據勾股定理求出PB的長，接下來利用三角函數的定義得，從而求出CQ的長，然后根據線段的和差關系列出關于x的方程，解方程求出x的值，即可求解；當點P在B點左側時，過點P作PQ'⊥CB延長線于Q'，與第一種情況的解法類似，同理即可求解.24．綜合與探究(本題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點B(－1，0)，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC于點E，點F．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是x軸上的任意一點，若△ACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；（3）當EF＝AC時，求點P的坐標；（4）在(3)的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接NA，MP，則NA＋MP的最小值為．【答案】（1）解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴當y＝0時，x＝4，當x＝0時，y＝－2

∴A(4，0)，C(0，-2)，又∵B(－1，0)，

∴設該拋物線的解析式為y＝a(x