第五章定積分

【考試要求】

1.理解定積分的概念和幾何意義,

了解可積的條件.

2.掌握定積分的基本性質.

3.理解變上限的定積分是變上限

的函數，掌握變上限定積分求導數

的方法.

4.掌握牛頓一一萊布尼茨公式.

5.掌握定積分的換元積分法與分

部積分法.

6.理解無窮區間廣義積分的概念,

掌握其計算方法.

7.掌握直角坐標系下用定積分計

算平面圖形的面積.

【考試內容】

一、定積分的相關概念

1.定積分的定義

J于(x)dx=

「2

記作「°f(x)dx+f(x)dx.其

-30

中/(%)叫做被積函數，/(x)dx叫

做被積表達式，x叫做積分變量，〃

叫做積分下限，匕叫做積分上限，

[Q,勿叫做積分區間.

說明：定積分的值只與被積函數及

積分區間有關，而與積分變量的記

法無關，也就是說

<brb

f{x}dx-=于（u）du

JaJaJa

2.定積分存在的充分條件（可積

的條件）

（1）設/（X）在區間［凡加上連續，

則/（%）在［〃,加上可積.

（2）設在區間出,加上有界,

且只有有限個間斷點，則/（x）在區

間［Q,勿上可積.

說明：由以上兩個充分條件可知，

函數/（X）在區間［凡切上連續，則

/（X）在［〃,句上一定可積；若/（X）

在［。向上可積,則/(X)在區間

句上不一定連續,故函數/(%)在

區間上連續是/(X)在上

可積的充分非必要條件.

3.定積分的幾何意義

在區間［Q向上函數/(X)〉。

時，定積分「/(%)公在幾何上表示

Ja

由曲線y=/(X)、兩條直線％=〃、

=匕與x軸所圍成的曲邊梯形的面

積.

在區間［〃,切上/(x)VO時，由

曲線y=/(4)、兩條直線％=〃、

=匕與X軸所圍成的曲邊梯形位于

X軸的下方，定積分J/(%)必:在幾

何上表示上述曲邊瑜形面積的負

值.

在區間以句上/(%)既取得正

值又取得負值時，函數/(%)的圖形

某些部分在X軸的上方，而其他部

分在X軸的下方，此時定積分

j/(x)dx表示x軸上方圖形的面

而減去X軸下方面積所得之差.

二、定積分的性質

下列各性質中積分上下限的

大小，如不特別指明，均不加限制;

并假定各性質中所列出的定積分

都是存在的.

rb

性質1.當〃=〃時,[f(x)dx=O.

Ja

性質2.

rb1

f{x}dx--\f{x}dx.

JaJb

?b

性質3.[f(x)+g(x)]dx

a

ra

=f{x)dx±g{x)dx.

JbJb

說明：該性質對于有限個函數都是

成立的.

性質4.fkf(x)dx=k\f{x}dx

JaJa

(左是常數).

性質5.

,bba

f(x)dx=\f(x)dx+f{x}dx

JaJaJc

說明：該性質稱為定積分對于積分

區間的可加性.

性質6.如果在區間3,切上

/(%)三1，則

qbqb

ldx=dx=b-a.

JaJa

性質7.如果在區間［a,b］上

/(x)>0,

貝(IIf(x)dx>0

Ja

推論(1)：如果在區間切上

f{x}dx>g(x)dx

JaJa

推論(2)：f(x)dx</(x)dx

JaJa

Ca<b).

性質8.(

性質9.(定積分中值定理)如果函

數/(%)在積分區間出,切上連續，則

在(。8)上至少存在一點虞使得下

式成立：

J于(x)dx=f/Xb—a)

Ja

(〃<J<b).

說明：該公式稱為積分中值公式，

]pb

=：一1/。)公稱為函數

b-aJa

/(%)在區間切上的平均值.

三、積分上限函數及其導數

1.積分上限函數的定義

設函數/(兀)在區間3,團上連

續，并且設兀為切上的一點，由

于/(%)在區間3,%]上仍舊連續,因

此定積分「/(%)公存在.這里，%

Ja

既表示定積分的上限，又表示

積分變量.因為定積分與積分變量

的記法無關，所以為了明確起見，

可以把積分變量改用其

他符號，例如用，表示，則上面的定

積分可以寫成「/⑺力.如果上限

Ja

X在區間出,勿上任意變動，則對于

每一個取定的％值，定積分有一個

對應值，所以它在［凡切上定義了一

個函數，記作①⑴:

rx

①(x)=/⑺力Ca<x<b)

Ja9

這個函數即為積分上限

函數(或稱變上限定積分).

2.積分上限函數的導數

定理1：如果函數/(%)在區間切

上連續，則積分上限函數

■X

(D(%)=］/⑺流在句上可導，

并且它自導數

①=/⑺力=

axJa

Ca<x<b).

定理2：如果函數/(%)在區間［凡句

上連續，則函數①(%)=1f⑺力就

Ja

是/(X)在［〃/］上的一個原函數.

說明：對于積分上限函數的復合函

數①(%)=Jr(p(x)/⑴出,求導法則可

按下述公界進行：

Z7P0(X)

①'(4)=7］于⑺出=。0(創”(.

axJa

若積分下限為函數0(x)，即

①⑴二/⑺力，求導法則可按

下述公式進行：

①<%)=[「/⑺力=梟「/

dxJ9。)dxJa

*

若積分上限和下限均有函數，即

?Zz(x)

①(x)=于⑺出,求導法則可按

J°(x)

下述公式進行：

不“、」pa)

①⑴二瓦dL/⑺力二區d4。八

=《(//⑺力-「/⑺力)=/[

UiI、牛頓萊布尼茨公式

定理3：如果函數尸(x)是連續函數

/(%)在區間句上的一個原函數,

則

「/(%)公=［b(X)］：=尸3)_b(。)

Ja

這個定理表明，一個連續函數在區

間［〃,句上的定積分等于它的任一

個原函數在區間［Q,勿上的增量，這

就給定積分提供了一個有效而簡

便的計算方法.通常把上述公式稱

為

微積分基本公式.

五、定積分的換元法和分部積分法

1.定積分的換元法

設函數/(%)在區間勿上連續,

函數％=0⑺滿足條件：

(1)cp(a)=a,(p(/3)=b;

(2)。⑺在［巴切(或［人團)上

具有連續導數，且其值域

R他=［a力］,則有

說明：應用換元公式時有兩點值得

注意：①用、⑺把原來變量X

代換成新變量才時，積分限也要換成

相應于新變量/的積分限；②求出

/即⑺］。⑺的一個原函數①⑺后,

不必像計算不定積分那樣再要把

①⑺變換成原來變量X的函數，而

只要把新變量/的上下限分別代入

①⑺中然后相減就行了.

例如:計算「而-x2dx（6/>0）

解：設x=asinb貝！|6/x=acos%力,

當1=0時，r=0,當％=〃時，

71

t=—

2

于是

222’121

￡Ya-xdx=a2costdt=—

02

71

22

a2兀a

t+—sinIt

~T

220

2.定積分的分部積分法

依據不定積分的分部積分法,

可得

=[M(X)V(X)[-jv(x)u\x)dx

簡記作

b-

rY-『f

uvdx-uvavudx或

a-■Jaa

udv-uvT-「vdu.

aL.aJa

這就是定積分的分部積分公式.

3.定積分的兩個簡便公式

(1)若/(x)在［-兄回上連續且為

奇函數，貝葉/⑴公=0；若/⑴

J-a

在［一〃,〃］

上連續且為偶函數，則

J于(x)dx=2/f{x}dx.

(2)設

7171

xdx-2cos"xdxy則

n00

當〃為正偶數時，

_n-1n-3317i

］------?.................?—?--?

〃nn-2422

當〃為大于1的正奇數時,

n-1n-342

〒.口…….

六、無窮限的廣義積分

1.函數在無窮區間+8）上的反

常積分

設函數/（X）在區間［d+8）上

連續，取力〉a,如果極限

lim『/（x）公存在，則稱此極限為

t-Jd

函數/（X）在無窮區間［Q,+8）上的

N+oo

反常積分，記作即

a

廣+°°.ct

f(x)dx-lim/(x)dx,

Ja—+ooJa

這時也稱反常積分］r+oo/(x)公收

Ja

斂；如果上述極限不存在，則函數

在無窮區間［〃,+8)上的反常

r+oo

積分f/(x)辦:就沒有意義，習慣

Jar+8

上稱為反常積分］/(X)公發散，

Ja

這時記號］f+oo/(%)為:就不再表示數

Ja

值了.

2.函數在無窮區間(-8,句上的反

常積分

設函數/（X）在區間（-8向上

連續，取/<〃，如果極限

pb

lim\/（x）為:存在，則稱此極限為

—ooJt

函數/（X）在無窮區間（-8,切上的

反常積分，記作/f{x）dx,即

J—00

fib.rb

f（x）dx=limf{x}dx9

J—ooL—ooJt

這時也稱反常積分「/（%）公收

J—00

斂；如果上述極限不存在，則稱反

常積分「/（X）八發散.

J—00

3.函數在無窮區間（-8,+8）上的

反常積分

設函數/⑴在區間(-8,+8)

上連續，如果反常積分「/(%)公

J—00

和//(%)公都收斂，則稱上述兩

反常積分之和為函數/(九)在區間

(-8,+8)上的反常積分，記作

p+8

[f(x)dx9即

J—00

[?+00

廣+00「0

ff{x}dx=[f(x)dx+0/(x)d

J-00J—8J

這時也稱反常積分「°7(%)公收

J—00

p+oo

斂；否則就稱反常積分f⑺dx

J—00

發散.

4.無窮限廣義積分的計算方法

設廠(X)為在團,+8)上的一個

原函數，若lim尸⑴存在，則反常

Xf+00

積分

辦=[尸(％)]；=F(+GO)-F,

9

=[F(X)L=F(b)-F(-<

9

J：f(x)dx=[F(X)]2=F(+oo)-F

■

說明：當方(-8)與方(+8)有一個不

存在時，反常積分r+o]o/(X)辦:發散.

J—00

七、求平面圖形的面積

1.X-型區域

X-型區域是指：平面圖形是

由上下兩條曲線>=/(%)、

y=g(x)(/(x)>g(x))及直線

X=〃、x=Z?所圍成，面積計算公

式為

pb

A=Ja"⑴-

2.y-型區域

y-型區域是指：平面圖形是

由左右兩條曲線x=My)、

x=°(y)(My)2(p(y1)及直線

y二c、y=〃所圍成,面積計算公

式為

A=JjO(y)-

【典型例題】

【例5?1】計算下列定積分.

n

1.[2cos5xsinxdx.

Jo

解：原式

71

n

12

5cos5xd(cosx)=——cos6%

0

60

rdnx7

2.I-----dx.

Ji%

解

r4nx7

----dx=‘‘1nxd(lnx)=In2x+si?n

JiX

n

3.^cos2xdx.

6

解

3

4668

「17

4.-ax.

J-2(11+5X)3

解：原式

1f11-x_1

—I-----------T6/(11+5Cx)——

5J-2(ll+5x)35

71

5.[2tan2xdx.

Jo

解原式

7171

Jj(sec2x-l)dx=sec2xdx-三

Vsin3xcos2xdx

JO

3

-sin2xcosx

Jo

3

,77T1一

=sin2xd(sinx)

J0

2-

=[-sin2x]J

6.

=0—0=0

解

Vsin3x-sin5x6Zx=fVsin3xcos

0Jo

3

—COSX2-cos

2.

—sin二/一

5

7.-x2dx(a>0).

解：設x=asin/,貝！=acos，山,

當JT=O時，f=0：當x=a時，

￡

-2故

)1

2■22

I-

?o2

x+2

8.dx.

J2%+1

_____產_1

解：設J2x+1=%,則％

2

dx=tdt9且當x=0時，t—\\

當x=4時9t=3.

故

1LZ12

+3

127122

=-(—+9)-(-+3)=

233T

【例5?2】計算下列定積分.

xcosxA

0

解

xcosxdx=￡xd(sinx)=[xsinx

Jo

2.f^arcsinxdx.

Jo

解

1

[2arcsinxdx-

Jo

2JoV13712L

3.ix\^xdx.

解

ee—Y2

jA:Inxdx=[inxd(—)=—Inx

2

221

e-e--(l-----

2L4244

■

4.fe^dx.

Jo

解：令G=t,貝!Ix=f9

dx-2tdt,且當x=0時，％=0；當

x=4時9t=2.

故

^e^dx=2^teldt==2]

=4/—2「dT=2/+2.

L」o

【例5-3］計算下列廣義積分.

+00

e~xdx.

0

解

xf+00

廣+001

2■------ax.

Ji1+x2

解

Too]

q+oo

------dx-arctanx-limarct

12.1

1+XLXf+00

+oo―^—rdx.

3.

—001+x2

解

，+oo1「+oo

------dx-arctanx=limarct

2L—00

—00l+xXf+00

71

2

?+00].]

4.—sin—dx.

?乙2

-XX

解

?+oo117r+oo?11

一「（一）=

2—sm—dx-sin—d

—J—YY

71xxJI人e/V

【例5-4]計算下列積分上限函數

的導數.

1.—[Xyll-t2dt.

dx，。

解：—fXy/l-t2dt=Vl-x2.

dxJo

2.—f%41+fdt.

dx）。

解：

12_____________________

—fV1+12dt=Jl+?（%2），=2x

dxJ。

dri

3.—Iln(l+t>)dt.

dxJsmx

解：

Hfl/7fsinx

—[ln(l+t)dt=-—\ln(l+

dx^sinxdx'i

?J

4.—9arctantdt.

dxX

解

d

2arctantdt-arctanx3?(x3)'-a

dx

-3x2arctanx3-2xarctanx2.

【例5-5］求下列極限.

fcost2dt

1.limJo

x-0X

解：應用洛必達法貝！I,

jC0S/2由2

lim----------=lim5土=1.

x―^0xa。1

rx

arctantdt

2.lim0

x—>0

解

arctantdtarctanx1

lim-------------=lim

x—>02x2

（x-0時，arctanx-x）.

「41+fdt

Jo

3.lim2

x-0X

解

Jl+%2.2x

lim=lim

x—^0%2x-02x

（［；/流）2

4.lim

x—^0Vte^dt

Jo

解

XI*2

J力產2|建d”

lim0=limJo

?2，

x—^0'Xte0,2dtx—^0xe

0

【例5?6】設函數

-x2

xe,x>0,

/(%)=/1

,一萬<x<0,

J+cosx

「4

計算jf(x-2)dx.

解：設x—2=/S則dx=d/,且當

x=l時，t——1；當x=4時，1=2.

于是

201

j/(x-2)dx=j=J

—1—11+COS

「01

=L

2c"2」。

2

=tan------cH—?

222

【例5?7】計算定積分

’1I?2

(|x+sinx)xdx.

-1

!?11

J(%+sinx)xdx-%x2dx+

11

=2

41

【例5-8］求下列平面圖形的面積.

1.計算由兩條拋物線丁2=%和

y=/所圍成的平面圖形的面積.

解：此區域既可看成X-型區域,

又可看作y-型區域.按x-型區域

解法如下：

兩曲線的交點為（。,。）和（1』），故

面積

1

2-1

S=—%2——工3

33J0

2.求由拋物線=x,直線y=一%

及y=1所圍成的平面圖形的面積.

解：按丫-型區域來做，先求出圖

形邊界曲線的交點（。,。）、（-1』）及

（1,1）,故

面積

_y2_y

s+

3.2.—Ju0

3.計算由曲線V=2x和直線

y=x-4所圍成的平面圖形的面

積.

解：此區域既可看成X-型區域，

又可看作y—型區域，但按y-型區

域解較為簡便.先求兩曲線的交

2

點，由,y=2x可解得交點為

y=x—4

(2,—2)和(8,4),故

面積

s二

乙

【歷年真題】

一、選擇題

1.(2010年，1分)設

x2,

9(元)=￡Cedt,則°'(“)等于

()

(A)2(B)—二2

22

(C)23(D)-2S

解：

f

9'(x)=￡e~fdt=e~x2*(x2)r=2x

,選項(C)正確.

2.(2010年，1分)曲線y=￡與

直線y=l所圍成的圖形的面積為

()

/、3

(A)-(B)—

34

(C)-(D)1

3

解：曲線＞=/與曲線y=l的交點

坐標為(-1』)和(1/)，則所圍圖形

的面積為

1

flx3

(l-x2)dx=x-選

J—133

—1

項(C)正確.

3.(2010年，1分)定積分

JzXCOSxdr等于()

(A)-1(B)0

(C)1(D)-

2

解：因被積函數尤85%在［-2,2］上

為奇函數，故J2%80%以：=0.選

(B).

二、填空題

1.(2010年，2分)

￡Vl-x2dx

解：由定積分的幾何意義,

°J]-/「表示曲線y=Ji—/,

直線x=0,%=1和工軸所圍成的圖

1

形的面積，即一圓面積，故

4

JoJ1-%2dx=---71-=—

4

2.(2009年,2分）設

2

j=x+Inx-19則

f⑴=________

解：等式⑺力=%2+山%—i兩

邊對x求3可得，

J(x)=(x2+Inx-1)^=2x+—.

3.(2009年，2分)由曲線y=e]

y=e及y軸圍成的圖形的面積

是.

解：曲線y="與直線y=e的交點

坐標為Qe),故所圍圖形的面積為

1-|1

s=f(e—ex)dx=ex-ex二1.

Jo0LJo

4.(2007年,4分)積分「產

力xvl+lnx

的值等于.

解：

+2(1加。+222

%J

5.(2006年，2分)積分

x

r-2e

l-ex-----

解：

1x

f——dx=-[2---d(l-e)=

l-ex

6.(2006年，2分）

、磔1+尸）力

0

lim

xf0x-sinx

解：當xf0時，

-------力-0,x—smx-0,

Jot

故原極限為“9”型的

o

極限，應用洛必達法則可得，

ln(l+x3)

lim------=--l-i-m---------——

%-sin%1-cosx

%3

=lim——-----=2.

x-^0]2

%?—X

2

7.(2005年，3分)

jIx2(sin3x+ex)dx=.

解：xe[-l,l]^f,/sin、為奇函

數，在對稱積分區間上的定積分為

零，故

x2（sin3x+ex3}dx=jx^e^dx-

三、計算題

1.（2010年，5分）求定積分

jx]nxdx.

解

reX2Y2

x\nxdx-Jlnxd（3）=—Inx

2

2212

%e「e_/el_,

2J2=22一/

2.（2010年，5分）求定積分

r1dx

Joj+h%

解

idx_pexdx_pd(/)

-Jo/，+「Joi+(/)2

0/+1

3.（2008年，5分）求定積分

n

f2xsinju/x.

Jo

解：用分部積分法，

71n

2xsinxdx=2x6/（-cosx）=-xcc

JO

=0+L[sinxlJo2=1.

4.（2008年，7分）求廣義積分

廣+oo_2

xe~xdx.

Jo

解：

-11+001

1+82121

[