平面向量基本定理教案?一、教學目標1.知識與技能目標-理解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量基本定理的內容。-能運用平面向量基本定理解決簡單的向量問題，如向量的分解、向量的線性運算等。-了解向量基底的概念，會選擇合適的基底表示向量。2.過程與方法目標-通過對平面向量基本定理的探究過程，培養學生觀察、分析、歸納、類比等邏輯思維能力。-體會由特殊到一般的數學思想方法，提高學生的數學抽象和數學建模能力。-通過定理的應用，讓學生感受向量在解決實際問題中的作用，培養學生的運算能力和應用意識。3.情感態度與價值觀目標-通過小組合作探究活動，培養學生的團隊合作精神和交流能力。-讓學生在學習過程中體驗數學的嚴謹性和科學性，感受數學的美，激發學生學習數學的興趣。

二、教學重難點1.教學重點-平面向量基本定理的理解與應用。-用平面向量基本定理進行向量的分解與合成。2.教學難點-對平面向量基本定理的理解，特別是定理中兩個不共線向量的任意性和表示的唯一性。-如何根據具體問題選擇合適的基底表示向量，并能準確地運用定理進行向量的相關運算。

三、教學方法1.講授法：講解平面向量基本定理的概念、內容和意義，使學生系統地掌握新知識。2.探究法：通過設置問題情境，引導學生自主探究、合作交流，經歷平面向量基本定理的形成過程，培養學生的探究能力和創新精神。3.練習法：通過適量的課堂練習和課后作業，讓學生鞏固所學知識，提高運用平面向量基本定理解決問題的能力。

四、教學過程

（一）導入新課（5分鐘）1.復習回顧-提問：什么是向量？向量的表示方法有哪些？-學生回答后，教師總結：向量是既有大小又有方向的量，其表示方法有幾何表示法（有向線段）和坐標表示法。-繼續提問：向量的加法、減法和數乘運算的法則是什么？-請學生回答向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量減法的三角形法則和數乘運算的性質。2.情境引入-展示一個實際問題情境：如圖，一個物體受到兩個力\(F_1\)和\(F_2\)的作用，這兩個力的大小和方向已知，如何求它們的合力？

-引導學生思考：能否將這兩個力轉化為我們熟悉的向量來解決問題？如果可以，如何進行轉化？

-讓學生回憶物理中力的合成知識，知道力是向量，力的合成遵循平行四邊形法則。從而引出本節課要研究的向量合成問題，即平面向量基本定理。

（二）探究新知（25分鐘）1.問題探究-提出問題：對于平面內的任意向量\(\overrightarrow{a}\)，是否都可以用兩個不共線的向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)來表示呢？-讓學生自主思考，然后小組內交流討論。-教師巡視各小組，參與學生的討論，并適時給予指導和啟發。2.小組展示-請各小組代表發言，分享小組討論的結果。-有些小組可能會通過具體的例子，如在平面直角坐標系中，將向量表示為坐標形式，然后嘗試用兩個坐標軸方向上的單位向量來表示該向量，發現是可行的。-教師對學生的回答進行點評和總結，肯定學生的積極思考和探索精神。3.實驗驗證-利用多媒體動畫演示：在平面內任取一點\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{e_2}\)，對于平面內的任意向量\(\overrightarrow{a}\)，過點\(O\)作直線平行于\(\overrightarrow{a}\)，分別與直線\(OA\)、\(OB\)相交于點\(M\)、\(N\)，則存在唯一一對實數\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}\)。

-通過動畫直觀地展示向量\(\overrightarrow{a}\)可以由兩個不共線向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)線性表示，讓學生更深刻地理解這一結論。4.歸納總結-教師引導學生共同歸納出平面向量基本定理：-如果\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量\(\overrightarrow{a}\)，有且只有一對實數\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}\)。-強調：-兩個不共線向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。-定理中\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)的唯一性。-平面向量基本定理的作用是將平面內的向量問題轉化為基底向量的線性運算問題。

（三）例題講解（20分鐘）1.例1已知向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是一組基底，\(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}\)，若\(A\)，\(B\)，\(D\)三點共線，求\(k\)的值。

-分析：-要使\(A\)，\(B\)，\(D\)三點共線，則存在實數\(\mu\)，使得\(\overrightarrow{AB}=\mu\overrightarrow{BD}\)。-先求出\(\overrightarrow{BD}\)：\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})-(\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}\)。-再根據\(\overrightarrow{AB}=\mu\overrightarrow{BD}\)列出方程求解\(k\)。

-解：-因為\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})-(\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}\)。-又因為\(A\)，\(B\)，\(D\)三點共線，所以\(\overrightarrow{AB}=\mu\overrightarrow{BD}\)，即\(2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}=\mu(\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2})=\mu\overrightarrow{e_1}-4\mu\overrightarrow{e_2}\)。-則\(\begin{cases}2=\mu\\k=-4\mu\end{cases}\)，將\(\mu=2\)代入\(k=-4\mu\)，得\(k=-8\)。

-總結：本題主要考查平面向量基本定理和三點共線的向量表示方法，通過建立方程求解參數的值。2.例2如圖，已知平行四邊形\(ABCD\)的兩條對角線相交于點\(M\)，設\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)，試用基底\(\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\}\)表示\(\overrightarrow{MA}\)，\(\overrightarrow{MB}\)，\(\overrightarrow{MC}\)，\(\overrightarrow{MD}\)。

-分析：-根據平行四邊形的性質，利用向量加法和減法的法則來表示各向量。-例如，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，再根據對角線互相平分得到\(\overrightarrow{MA}\)，\(\overrightarrow{MB}\)，\(\overrightarrow{MC}\)，\(\overrightarrow{MD}\)與\(\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{BD}\)的關系，進而用基底\(\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\}\)表示。

-解：-因為平行四邊形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)。-又因為\(M\)是平行四邊形\(ABCD\)兩條對角線的交點，所以\(\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)；-\(\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)；-\(\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)；-\(\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)。

-總結：本題考查了向量在平行四邊形中的應用，關鍵是要熟悉平行四邊形的性質以及向量的線性運算規則，準確地用基底表示向量。

（四）課堂練習（10分鐘）1.已知向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是一組基底，\(\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\)，求\(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\)（用\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)表示）。2.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(D\)為\(BC\)的中點，\(E\)為\(AD\)的中點，設\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\)，試用基底\(\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\}\)表示\(\overrightarrow{BE}\)。

-學生在練習本上完成，教師巡視指導，及時糾正學生的錯誤。-練習結束后，請學生上臺展示答案，教師進行點評和總結，強調解題的關鍵步驟和注意事項。

（五）課堂小結（5分鐘）1.引導學生回顧本節課所學內容：-平面向量基本定理的內容是什么？-什么是基底？-如何運用平面向量基本定理進行向量的分解與合成？-在解決向量問題時，需要注意哪些方面？2.請學生分享本節課的學習收獲和體會，教師對學生的表現進行評價和鼓勵。

（六）布置作業（5分鐘）1.書面作業-已知向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是一組基底，\(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{e_1}+\lambda\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\)，若\(A\)，\(B\)，\(D\)三點共線，求\(\lambda\)的值。-如圖，在平行四邊形\(OACB\)