2023-2024學年上海市普陀區甘泉外國語中學高一（下）期中數學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分48分，第1～6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果。1．已知，是第四象限角，則的值是．2．函數的最小正周期．3．函數的定義域為．4．已知，，則．5．若，則．6．已知函數，若（1），則．7．函數的圖象在點，（1）處的切線方程為．8．已知函數，，圖像如圖，則函數的解析式為．9．函數，的值域為．10．關于的方程在上有兩個解，則實數的取值范圍為．11．若函數在，上恰有2個零點，則實數的取值范圍．12．設（其中，若函數既沒有最大值，也沒有最小值，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分，13-14每題4分，15-16每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位留，將代表正確選項的小方格涂黑。13．下列函數中，周期為1的奇函數是A． B． C． D．14．在中，如果滿足，則一定是A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形15．已知，若存在，使得，則A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值 C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值16．定義方程的實數根為函數的“新駐點”，若函數，，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟。17．如圖所示，在平面直角坐標系中，以軸正半軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于、兩點，已知、的橫坐標分別為．（1）求的值；（2）求的值．18．已知函數．（1）若在時取得極值，求的值；（2）求的單調區間．19．某居民小區為緩解業主停車難的問題，擬對小區內一塊扇形空地進行改造．如圖所示，平行四邊形區域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路和道路上，且米，，設．（1）當時，求停車場的面積（精確到0.1平方米）；（2）寫出停車場面積關于的函數關系式，并求當為何值時，停車場面積取得最大值．20．（18分）已知函數．（1）求函數的單調減區間；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；（3）若函數在上恰有3個零點，求的取值范圍．21．（18分）若函數滿足且，則稱函數為“函數”．（1）試判斷是否為“函數”，并說明理由；（2）函數為“函數”，且當時，，求的解析式，并寫出在上的單調增區間；（3）在（2）條件下，當，關于的方程為常數）有解，記該方程所有解的和為，求．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號13141516答案DCDC一、填空題（本大題共有12題，滿分48分，第1～6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果。1．已知，是第四象限角，則的值是．解：因為，是第四象限角，則．故答案為：．2．函數的最小正周期．解：函數的最小正周期是，故答案為：．3．函數的定義域為．【解答】解：函數的有意義，必有，所以函數的定義域．故答案為：．4．已知，，則．解：，，，，，，．故答案為：．5．若，則．解：由，得．故答案為：．6．已知函數，若（1），則．解：根據題意，（1）．故答案為：．7．函數的圖象在點，（1）處的切線方程為．解：由已知得：，（1），（1）．切線方程為：，即．故答案為：．8．已知函數，，圖像如圖，則函數的解析式為．解：由函數的圖像知，，，所以，又，，解得，，又因為，所以，所以函數．故答案為：．9．函數，的值域為，．解：，令，，，，則，可得，．故答案為：，．10．關于的方程在上有兩個解，則實數的取值范圍為，．解：化簡為，令，因為，，，故在，上單調遞增，在，上單調遞減，，，，，所以在上有兩個解，即與的圖象有兩個交點，即，則，所以實數的取值范圍為：，．故答案為：，．11．若函數在，上恰有2個零點，則實數的取值范圍．解：令，則，令，則函數，的圖象在區間，上有兩個交點，，當時，，當時，，所以函數在，上單調遞減，在，上單調遞增，所以（2），而，如圖，作出函數，的圖象，由圖可知時兩函數圖象有兩個交點，原函數有兩個零點．故答案為：．12．設（其中，若函數既沒有最大值，也沒有最小值，則的取值范圍是．解：（其中既沒有最大值，也沒有最小值，且，可得，或且，可得，結合正弦函數的性質，易知其它區間不符合．故答案為：．二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分，13-14每題4分，15-16每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位留，將代表正確選項的小方格涂黑。13．下列函數中，周期為1的奇函數是A． B． C． D．解：由于是周期為的奇函數，故排除；由于是非奇非偶函數，故排除；由于是周期為的奇函數，故排除；由于是周期為的奇函數，故滿足題意，故選：．14．在中，如果滿足，則一定是A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形解：因為，則由正弦定理得，可得，可得，因為，，可得，則，則為等腰三角形．故選：．15．已知，若存在，使得，則A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值 C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值解：因為，所以，，，因為，則，即沒有最大值，也沒有最小值．故選：．16．定義方程的實數根為函數的“新駐點”，若函數，，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．解：因為，則，令，解得，即，因為，則，令，設，當時，，當時，，故，因為，，則，令，即，所以，故，綜上所述，．故選：．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟。17．如圖所示，在平面直角坐標系中，以軸正半軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于、兩點，已知、的橫坐標分別為．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為點，的橫坐標分別為，由三角函數的定義，可得，因為角，為銳角，可得，則；（2）由（1）可得，所以．18．已知函數．（1）若在時取得極值，求的值；（2）求的單調區間．解：，是一個極值點，，．此時．的定義域是，當時，；當時，．當時，是的極小值點，．（2），當時，的單調遞增區間為．當時，，令有，函數的單調遞增區間為；令有，函數的單調遞減區間為．19．某居民小區為緩解業主停車難的問題，擬對小區內一塊扇形空地進行改造．如圖所示，平行四邊形區域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路和道路上，且米，，設．（1）當時，求停車場的面積（精確到0.1平方米）；（2）寫出停車場面積關于的函數關系式，并求當為何值時，停車場面積取得最大值．解：（1）在中，，，由正弦定理得，，則停車場面積（平方米），（2）在中，，，由正弦定理得，，則停車場的面積為，，因為，所以，當，即時，停車場的面積最大．20．（18分）已知函數．（1）求函數的單調減區間；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；（3）若函數在上恰有3個零點，求的取值范圍．解：（1），由，所以函數的單調遞減區間為；（2）因為不等式在上恒成立，所以，因為，所以，所以，所以，即；（3），由，得，因為函數在上恰有3個零點，所以，解得，所以的取值范圍為．21．（18分）若函數滿足且，則稱函數為“函數”．（1）試判斷是否為“函數”，并說明理由；（2）函數為“函數”，且當時，，求的解析式，并寫出在上的單調增區間；（3）在（2）條件下，當，關于的方程為常數）有解，記該方程所有解的和為，求．解：（1）不為函數，理由如下：因為，所以函數的周期為，又因為，所以函數的圖象關于對稱，因為的周期為，當時，，所以的圖象不關于對稱，不是“的函數”；（2）由可得，又因為的周期為，當