專題05離散型隨機變量及其分布列（2個知識點2個拓展1個突破7種題型2個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.離散型隨機變量知識點2.離散型隨機變量的分布列拓展1.離散型隨機變量分布列性質的應用拓展2.求離散型隨機變量的分布列突破1.離散型隨機變量的函數的分布列的求法【方法二】實例探索法題型1.隨機變量的概念題型2.離散型隨機變量的判定題型3.離散型隨機變量的取值題型4.離散型隨機變量分布列的性質題型5.離散型隨機變量的分布列題型6.兩個相關隨機變量的分布列題型7.兩點分布【方法三】差異對比法易錯點1.對離散型隨機變量的概念理解不清致誤易錯點2.對題意理解不清【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.離散型隨機變量一、隨機變量的概念、表示及特征1．概念：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω都有唯一的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量．2．表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如x，y，z.3．特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應，隨機變量有如下特征：(1)取值依賴于樣本點．(2)所有可能取值是明確的．二、離散型隨機變量可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量．例1．單選題（2024·全國·高三專題練習）袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（

）A．取到的球的個數 B．取到紅球的個數C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率知識點2.離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列及其性質1．定義：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．2．分布列的性質(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.兩點分布如果P(A)＝p，則P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列為X01P1－pp我們稱X服從兩點分布或0－1分布．例2．（2024·全國·高三專題練習）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．(1)求選出的數學教師人數多于語文教師人數的概率；(2)設X表示選出的3人中數學教師的人數，求X的分布列．拓展1.離散型隨機變量分布列性質的應用1．單選題（2024上·遼寧·高二校聯考期末）設，隨機變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．拓展2.求離散型隨機變量的分布列2．（2024·湖南株洲·統考一模）品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測試，測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求按品質優劣為它們排序，經過一段時間，等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試.設在第一次排序時被排為1，2，3，…，n的n種酒，在第二次排序時的序號為，并令，稱X是兩次排序的偏離度.評委根據一輪測試中的兩次排序的偏離度的高低為其評分.(1)當時，若等可能地為1，2，3的各種排列，求X的分布列；(2)當時，①若等可能地為1，2，3，4的各種排列，計算的概率；②假設某品酒師在連續三輪測試中，都有（各輪測試相互獨立），你認為該品酒師的鑒別能力如何，請說明理由.突破1.離散型隨機變量的函數的分布列的求法1．單選題（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個數為，則（

）A． B．C． D．【方法二】實例探索法題型1.隨機變量的概念1．（2023上·高二課時練習）連續不斷地射擊某一目標，首先擊中目標需要的射擊次數是一個隨機變量，則表示的試驗結果是．題型2.離散型隨機變量的判定2．多選題（2023上·高二課時練習）（多選）給出下列四個命題正確的是（

）A．某次數學期中考試前，其中一個考場30名考生中做對選擇題第12題的人數是隨機變量B．黃河每年的最大流量是隨機變量C．某體育館共有6個出口，散場后從某一出口退場的人數是隨機變量D．方程根的個數是隨機變量題型3.離散型隨機變量的取值3．單選題（2023上·高二課時練習）隨機變量ξ的分布列如下：其中，則等于（

）A． B．C． D．題型4.離散型隨機變量分布列的性質4．（2024上·吉林·高二校聯考期末）隨機變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.題型5.離散型隨機變量的分布列5．（2023上·高二課時練習）已知隨機變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實數的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10題型6.兩個相關隨機變量的分布列6．（2023上·高二課時練習）設離散型隨機變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求隨機變量的分布列．題型7.兩點分布7．（2024上·遼寧·高二校聯考期末）已知服從參數為0.6的兩點分布，則.【方法三】差異對比法易錯點1.對離散型隨機變量的概念理解不清致誤1．單選題（2023上·高二課時練習）下列表中能稱為隨機變量X的分布列的是（

）A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7C．X01P0.30.40.3D．X123P0.30.40.42．判斷題（2023上·高二課時練習）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．()（2）在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為隨機變量．()（3）隨機變量是用來表示不同試驗結果的量．()（4）甲進行3次射擊，甲擊中目標的概率為，記甲擊中目標的次數為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3.()易錯點2.對題意理解不清3．（2023上·遼寧·高三校聯考開學考試）踢毽子在我國流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項傳統民間體育活動.某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為；當乙接到毽子時，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為，，；當丙接到毽子時，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為，，；當丁接到毽子時，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為，，.假設毽子一直沒有掉地上，經過次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為，，，，已知.(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數為，求的分布列；(2)證明為等比數列，并判斷經過150次傳毽子后甲接到毽子的概率與的大小.【方法五】成果評定法一、單選題1．（2021·高二課時練習）設是離散型隨機變量，則下列不一定能成為的概率分布列的一組概率的是（

）A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3B．0.1，0.2，0.3，0.4C．，（為實數）D．，，，，（，）2．（2023下·上海金山·高二華東師范大學第三附屬中學校考期末）設隨機變量X的分布列，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．（2021·高二課時練習）一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開鎖，依次試驗，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗次數X的最大可能取值為（

）A．6 B．5 C．4 D．24．（2023下·高二課時練習）設隨機變量X的概率分布列如下：則（

）X－1012PA． B． C． D．5．（2023下·安徽宿州·高二安徽省泗縣第二中學校考階段練習）若隨機變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．6．（2023下·高二課時練習）若隨機變量的概率分布如下：則當時，實數x的取值范圍是（）A． B．C． D．7．（2021·高二課時練習）設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.78．（2023上·高二課時練習）如果X是一個離散型隨機變量，則假命題是（

）A．X取每一個可能值的概率都是非負數B．X取所有可能值的概率之和為1C．X取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和D．X在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和二、多選題9．（2022上·高二課時練習）(多選題)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示的可能結果為（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局平兩局10．（2023下·山東濰坊·高二統考期中）圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負互不影響，記決賽中的比賽局數為X，則（

）A．乙連勝三場的概率是B．C．D．的最大值是11．（2023下·江蘇常州·高二統考期中）“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（

）A．當時，B．當且時，C．若，則隨著n的減小而減小D．當時，隨著的增大而減小12．（2021·高二課時練習）下列變量中，不是離散型隨機變量的是（

）A．到年月日止，我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C．某人在車站等出租車的時間D．某人投籃次，可能投中的次數三、填空題13．（2023下·安徽滁州·高二安徽省定遠中學校考階段練習）已知病毒在某溶液中的存活個數的概率滿足，已知只要該溶液中存在一個病毒，就可以導致生物死亡，則該溶液能夠導致生物死亡的概率為．14．（2023下·高二課時練習）若隨機變量服從二點分布，，則.15．（2022下·山東煙臺·高二統考期中）設隨機變量的分布列為，（，2，3），則a的值為.16．（2022·高二課時練習）設隨機變量的分布列如下：123456P其中，，…，構成等差數列，則的最大值為.四、解答題17．一個袋中裝有個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有個，編號為、、；黑球有個，編號為、；白球有個，編號為.現從袋中一次隨機抽取個球.（1）求取出的個球的顏色都不相同的概率；（2）記取得號球的個數為隨機變量，求隨機變量的分布列.18．（2024上·河南·高二校聯考期末）學校羽毛球社團中的甲?乙?丙三名社員進行羽毛球比賽，約定如下：先從甲?乙?丙三人中隨機選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進行下一局的比賽，率先獲勝兩局者為優勝者，比賽結束，且每局比賽均無平局.已知甲贏乙的概率為0.3，乙贏丙的概率為0.5，丙贏甲的概率為0.7.(1)若甲?乙二人率先開局比賽，求比賽局數的概率分布列；(2)求甲成為優勝者的概率.19．（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）某地要從2名男運動員?4名女運動員中隨機選派3人外出比賽.(1)若選派的3人中恰有1名男運動員和2名女運動員，則共有多少種選派方法？(2)設選派的3人中男運動員與女運動員的人數之差為，求的分布列.20．（2024·全國·高三專題練習）北方某市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核，記考核成績不小于80分的為優秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了60名學生的考核成績，如下表：成績人數55152510(1)從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據表中數據，估計這名學生考核優秀的概率；(2)用分層抽樣的方法，在考核成績為的學生中任取8人，再從這8人中隨機選取4人，記取到考核成績在的學生數為X，求X的分布列．21．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某商場為了促銷規定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，