2024年浙江省初中畢業生學業水平評價考試模擬預測試卷數學試題卷

（試卷滿分120分考試時間120分鐘）

參考公式：二次函數）'=依2+法+。圖象的頂點坐標公式：I2。’4aJ9

一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分，請選出每小題中一個最符合題意的

選項，不選、多選、錯選，均不給分）

1.計算（一6尸的結果是（）

\1,

A.---B.-C.—6D.6

66

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了負整數指數事，解題時運用基的負整數指數運算，先把底數化成其倒數，然后將負整

數指數幕當成正的進行計算.

根據負整數指數第的運算法則計算即可.

【詳解】解：（一6尸二一］.

6

故選：A.

2.2023年，杭州亞運會正式舉辦.據悉，上一次廣州舉辦亞運會，總投資為1200多億人民幣.其中數據

“1200億”用科學記數法表示為（）

A.1.2x10，B.1.2xlO10C.1.2x10"D.12x10'0

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義.

科學記數法的表現形式為4X10〃的形式，其中14。|<10,〃為整數，確定〃的值時，要看把原數變成〃時，

小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，〃是正整數，

當原數絕對值小于1時，〃是負整數；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：120（）億=120000000000=1.2x10”.

故選：C.

3.下列四個幾何體中，主視圖與俯視圖不同的幾何體是（）

【答案】C

【解析】

【分析】判斷出每一個立體圖形的主視圖和俯視圖，由此即可得到答案.

【詳解】解：A、正方體的主視圖和俯視圖是相同的正方形，不符合題意；

B、圓柱的主視圖和俯視圖是相同的長方形，不符合題意；

C、圓錐主視圖是三角形，俯視圖是圓，符合題意；

D、球的主視圖與俯視圖是相同的圓，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查三視圖，熟練掌握常見立體圖形的三視圖是解題的關鍵.

4.如圖，反比例函數），=&（x>0,攵是常數）的圖象經過點A0.4）,點以加〃），其中切>1，

X

軸，8NJ,y軸，AM與BN的交點、為C.若AB=2MN,則8點的坐標為（）

53

A.（3,1）一,一

22

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的性質和判定，解答本題的關鍵是明確題

意，利用反比例函數的性質解答.

把A點坐標代入），=&可得k的值，進而得到函數解析式；根據A、8兩點坐標可得

AC4一〃4

AC=4-n.BC=n-\ON=〃,OM=1,則——=——，再根據反比例函數解析式可得一二，"，則

ftNOnn

i,而生=%zl,可得4￡=生，再由NAC3=NNOM=9O。，可得

ONMO1NOMO

△ACAs^NQM,根據AACB與△NOM的相似比為2可得加一1=2,進而得到〃?的值，然后可得

8點坐標.

【詳解】解：點A0，4）代入），二月可得：k=4,

X

4

故反比例函數解析式為y=一，

x

QA(l,4),,

/.AC=4—n,BC=77?—1,ON=n,OM=I,

AC4一〃_4

NOnn

8(〃?,〃)在)，=—上，

x

4

/.—=tn,

n

AC.BCm-\

-----m-1,------=-------

ONMOI

?_A_C___B__C_

,~NO~~MO,

?.乙4cB=NM2W=90。，

;：ACBs：.NOM,

QAB=2MN,

-1=2,

解得切=3,

故選：B.

5.現有一組樣本數據內，々，七，々，不，它們的平均數和方差分別是〃?，〃.若將其中的每個數據都擴大至

原來的兩倍，則平均數和方差分別變為（）

A.2m?nB.C."7,4〃D.2/77,4/7

【答案】D

A

則/O」NA8C=15。,

2

.".ZZMC=75°,

22

設AC=4則BD=AB=2AC=2afBC=\lAB-AC=ga.

QCD=BD+BC=Q+5a，

AD=NDC?+AC?=18+4超a=(&+佝a,

CD

7^0nAr--(2+石)。_V2+V6

??sin75-tanDAC——=一'

AZ)(72+\]6)a4

故選：B.

7.如圖，在“8C中，NB=40°,ZC=110°.現分別作出8c邊上的高AO和NA的平分線AE.則

NDAE的度數為()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】此題主要考杳了角的計算，關鍵是正確作出輔助線.

首先計算出一84七的度數，再計算出N8AQ的度數，利用角的和差關系可得答案.

【詳解】如圖所示；分別作出8c邊上的高AO和NA的平分線AE.

A

在乂8c中，ABAC=1SO0-ZB-ZACB=180°-40°-l10°=30°,

?.?AE平分NB4C,

^BAE=-ZBAC=\50,

2

在心?408中，NBA。=90。-/8=50。，

:"DAE=乙DAB-/BAE=35。，

故選：C.

8.某數學興趣小組的四位同學在討?論“比較(%+1)(%+4)與(R+2)(X+3)的大小”這一問題時意見產生

了分歧，你認為說法正確的同學是()

小明：無法比較它們的大小，與X的取值有關.

小紅：無論x取何值，都有(X+D(X+4)<(X+2)(X+3).

小華:無論工取何值，都有(x+l)(x+4)>(x+2)(x+3).

小敏:(x+l)(x+4)的值與(x+2)(x+3)的值可能相等.

A.小明氏小紅C.小華D.小敏

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查整式的混合運算，兩個代數式作差，利用多項式乘多項式的運算法則去掉括號，再合并同

類項，根據結果與。的大小比較可得結論.

【詳解】解：(x+l)(x+4)—(x+2)(x+3)

=x2+4x+x+4-，+3X+2X+6)

=x2+5x+4-x2-5x-6

=—2<0,

???無論x取何值，都有(x+l)(x+4)<(x+24x+3),即小紅說法正確,

故選:B.

9.如圖，在Rtz\A3c中，ZABC=90°,分別以A8、BC、AC為邊向外作正方形ABED、

IQ1AB

BCGF、ACHI,連結E4并延長交印于點Q.若囁二:，則一的值為（）

HQ4BC

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查正方形的性質，勾股定理.根據正方形的性質及角的和差關系得出NMAQ=NAC8,

根據篇二；'得到與二華二:’設=則A/=5x‘進而分別表示出AM、QM,再根據正切

的定義即可得答案.

【詳解】如圖，連接4H,過點。作于M,

四邊形ABDE,ACH/都是正方形,

:.ADAB=ZHAC=45°,

/.ZBAC+ZMAQ=90°,

ZE4C+Z4C?=90o,

^MAQ=ZACB,

HQ"

.絲二絲J

**IHAlS'

設/Q=x,則4=5R,

:.QH=4xf

AM=AH—MH=5叵x-2瓜=3x/2x，

?/AMAQ=AACBt

.AB/"八QM272x2

??---=tanZACB=tanZ.MAQ=-------=—=—?

BCAM3&x3

故選：A.

10.如圖，在RtZXABC中，NC=90。，點。在BC邊上，連結AO,在線段AO上取一點匕使得

DB=DH，且NC4O=NA8E.若已知CO的長，則一定可以求出（）

A.AC的長B.A3的長C.AE的長D.3七的長

【答案】C

【解析】

【分析】根據得出NDEB=/DBE=0,根據三角形外角的性質得出4。。=24，再根

據三角形內角和定理得出/。4。=90。-24，ZABE=ZmC=90°-2^,NABC=90。—夕，延長

DC至點、N,使得ON=DA,連接AN,4DNA=4DAN=90。一。,即可得出NA3C=N/W3,證

明VACV@MC8,

根據全等三角形的性質得出CN=CB,根據圖形得出￡W=2CO+BO,DE+AE=BD+2CD,即可得

出AE=2C力，即可求解.

【詳解】解：?.?OE=QB，

."DEB=NDBE，

設4DEB=/DBE=/3,

..AADC=ADEB+"BE=26,

???ZACD=90°,

/.ZDAC=90°-2/?,

ZABE=ADAC=90。-2萬,

/.ZABC=90。-2〃+4=90。一/,

延長。。至點N,使得DV=DA,連接AN,

N*

:"DNA=/DAN=I8。；24=9。。一/

/.AABC=ZANB,

AB=AN,

?；ACkBN,

:NACN訃ACB,

:.CN=CB,

:.CN=CD+BD,

QDN=DC+CN=2CD+BD,

QAD=DE+AE,AD=DN,

:.DE+AE=BD+2CD,

/.AE=2CD,

???若已知CO的長，則一定可以求出A石的長，

故選：C.

【點睛】該題主要考查了全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，等腰三角形

的性質和判定等知識點，解題的關鍵是正確作出輔助線.

二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）

11.一個不透明的袋子中裝有紅球和白球共10個，這些球除顏色不同外其余均相同.已知紅球的數量比白

球多2個，則隨機從袋子中摸出2個球，都是白球的概率為.

【答案】—

15

【解析】

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有

可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

依據題意先算出白球有4個，則紅球有6個，再用列表法法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式

求出該事件的概率.

【詳解】解：設白球有X個，則紅球有（2+X）個，

故（2+x）+x=10,

解得：x=4,

則白球有4個，則紅球有6個，

列表如圖：

白白白白紅紅紅紅紅紅

白白白白白白白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

白白白白白白白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

￡白白白白白白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

￡白白白白白白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

紅紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

紅紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

紅紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

紅紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

紅紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

紅紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白紅白

???一共有90種情況，兩個球都是白球有12種，

122

P（兩個球都是白球）=而二一,

故答案為：一.

15

12.已知點42,2）關于直線），=心；（^>0）的對稱點恰好落在坐標軸上，則左的值為.

【答案】垃-1或上+1

【解析】

【分析】本題考查了一次困數及軸對稱的性質，要熟知對稱軸是對稱點連線的垂直平分線，本題還利用了

中位線的性質及推論，這此知識點要熟練掌握：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.求正

比例函數的解析式，就是求直線上一點的坐標即可.

當點42,2）關于直線），=依（4>0）的對稱點恰好落在/軸上時，作輔助線，構建點與工軸和），軸的垂

線，先根據點A的坐標得出OA'的長，再根據中位線定理和推論得：。/是一AA'E1的中位線，所以。尸

=；AE=1,也可以求。尸的長，表示出點C的坐標，代入直線，一仆一中求出左的值.當點42,2）關于走

線y=（A>0）的對稱點恰好落在軸上時，同理，即可求解.

【詳解】解：當點42,2）關于直線），=履（々>0）的對稱點恰好落在x軸上時?，

設A關于直線>=丘的對稱點為A,連接A4'，交直線丁=6于C,分別過A、。作％軸的垂線，垂足

???4(2,2),

:,AE=OE=2,

，OA=2&，

〈A和A'關于直線)=質對稱，

???。。是AA'的中垂線，

。4=OA=2及，

QA七〃",AC=A'C,

/.EF=A!F=-1，

2

CF=-AE=\,

2

/.。歹=04-4/=2夜-(&-1)=&+1,

/.C(V2+1,1),

把C(&+1,1)代入)』履中得：1=(忘+1)2,

解得：k=>/2-1;

當點A(2,2)關于直線)，="(k>0)的對稱點恰好落在》軸上時，

當設A關于直線)，二"的對稱點為A〃，連接A4〃，交直線y=4?于C,分別過A、C作y軸的垂線,

/.AE,=OEf=2,

：?0A=2血，

???A和A〃關于直線>=kx對稱,

:.。。'是AA〃的中垂線，

.?.。4〃=。4=2及，

QAE〃CF：AC=A”C',

E'F'=AF'=2血-2=逝_i,

2

/.CF=-74EZ=1,

2

OF,=OAn-Af,F,=2y/2-(y[2-\)=y/2+\,

CZ(1,V2+I),

把C'(l,友+D代入丁=履中得：6+\=k，

解得：k=6+T；

故答案為：&-1或加+1.

13.我國古代數學著作《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多

七客，一房九客一房空.”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房住；如果每一

間客房住9人，那么就空出一間房.則該店有客房間，客人.

【答案】①.8②.63

【解析】

【分析】此題考查了一元一次方程的應用，設有“間客房，則列方程得7x+7=9(x-l),求出x即可得到

答案，正確理解題意列得方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設有x間客房，則7x+7=9(x-l),

解得x=8,

;.9(X-1)=9X7=63

???該店有客房8間，客63人，

故答案：8,63.

14.如圖，CO是，/8C的外接圓，BC=B。，點A是弧5。的中點，若NCBD=2。。,則2Aa)的

度數為.

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，圓周角定理，連

接Q4、OB、OC,可證.80。絲.3O￡>(SSS),得到NOBC=NOBD=10。,可到

/OBD=/ODB=10。,即得到N3OD=160。，再根據點A是弧8D的中點，得到

ZAOD=ZAOB=-ZBOD=80°,最后根據圓周角定理即可得到NA3。的度數，正確作出輔助線是解

2

題的關鍵.

【詳解】解：連接OA、OB、OC,

BC=BD

?：［B0=B0,

0C=0D

:.BOC-BOD(SSS),

???4OBC=ZOBD=-/CBD=10°,

2

?：OB=OD,

???/OBD=/ODB=TO0，

:./BOD=180°-10°x2=160%

???點A是弧的中點，

??48=AO,

???^AOD=ZAOB=-NBOD=80°,

2

：.AABD=-ZAOD=40°,

2

故答案為:40°.

15.如圖，邊長為1的正方形A8CO的對角線AC、8。相交于點O.N/PN=90。，使直角頂點P與點

。亙合，直角邊PM、PN分別與04、。3重合，然后逆時針旋轉NA/PN,旋轉角為。

(00<6><90°),PM、PN分別交48、BC于E、尸兩點,連結E/交。8于點G.在旋轉過程中，設

8G的長為。.問：①△3EF與sCOF面積之和的最大值為：②46+。尸2的值為.(第

②.1一\[la##->/2a+1

U針斤】

【分析】根據四邊形A3CO是正方形，得出

A8=5C,Z4BC=90。,NBAO=480=NO5C=45。,AC_L8D,再根據NEOF=90。，證出

ZBOE=ZCOF,證明上BOEgaCOF,得出=過點。作O/718C,根據直角三角形的性

質得出OH=1BC=L,設則BE=CF=1—羽8/=工，則表示出

22

\(1A2O1

5^.+5^.=--L--+二，根據二次函數最值可解出當x=w時，SBM+S。8最大，最大為

214,324

9

—；證明NOEF=45。，從而記明N8OE=N89G,證出根據相似三角形的性質得

32

出BFBE=BOBG,表示出AE?+C/？=2f-2x+l,BG=a,8O=0〃O=E，即可得出

“一產二在〃，代入即可求解.

2

【詳解】解：???四邊形A8CO是正方形,

AB=BC.ZABC=90°,ZBAO=ZABO=ZOBC=45°.AC±BD,

/EOF=90。,

:"BOE+/BOF=9(r,

??"OF+NCOF=90°,

:"BOE=NCOF,

在4BOE和aCOF中

/BOE=NCOF

<OB=OC,

△JBE=NOC”

???，BOE與COF,

:,BE=CF,OE=OF,

過點。作O”IBC,

???BC=1,

:.OH=-BC=-

2

設AE=x，則

=-BE'BF+—CF-OH=—x(l-x)+—(l-x)x—=--fx--

**SBEF+S.COF9

222222(4j32

1Q

.?.當工=工時，S麻尸+S(8最大，最大為行;

JJ

QAB=BC,BE=CF,

:.AE=BF，

QOE=OF/EOF=9。。，

ZOEF=45°,

Q"EG=ZOBC.NOGE=ZFGB,

:"BOE=/BFG,

XQNOBE=NFBG=45°,

/.BOEs；BFG,

.BEBO

~BG~~BFy

BFBE=BOBG,

?;AE=BF,

:.AEBE=BOBG,

???AE2+CF2=X2+(1-X)2=2X2-2x+1,BG=a,BO=四HO=等,

x(\-x)=^-a，

：.-x2=—a，

x2

/.AE2+CF2=2x2-2x+I=-2(x-x2)+l=-2x^y?+l=l-V2?,

9

故答案為：—；1—ypia-

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質，旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似

三角形的判定與性質，勾股定理以及二次函數的最值問題.注意掌握轉化思想的應用是解此題的關鍵.

16.如圖，在RtAABC中，ZA=90°,點。在A8邊上，連接CO，在CO上取一點F,使得

NBFD=45。,過點r作EbIAC.若A8=6,AE=2,EF=3,則△86的面積為

或22.1

【解析】

【分析】本題考查了矩形的判定與性質、解直角三角形、相似三角形的判定與性質，添加合適輔助線，利

用相似二角形的性質求解是解答的關鍵.過“作尸”J.A6于〃，過“作J_C￡＞交CZ）延K線于M,

先證明四邊形4石五”是矩形，FH=AE=2,AH=EF=3,進而解直角三角形求得8/二相

BM=FM=^~,設"。=x，則BD=3—x,，證明,.FHDs.?.BMD和

2

..FDH^.CDA分別求解即可.

【詳解】解：過尸作FHJ.AB于從過B作BWJ_CD交CO延長線于M,則

ZFHA=ZFHB=4BMF=90c,

???/FEA=ZFHA=ZA=90。，

???四邊形AEF”是矩形,

:?FH=AE=2,AH=EF=3,

在RtZ^/7/B中，3H=A3-4”=6-3=3,

???BF=\lFH2+BH2=>/22+32=V13?

?：4BFD=45°,NBMF=90。，

???BM=FM=BFcos45°=—=,

22

設=則BD=BH—HD=3—x,

???六。=^bH2+HLf=,4+f,

VZFHD=ZBMD=90°,NFDH=/BDM，

???；FHIA\.BMD,

FHFD_2=V4+r_

麗一麗’"2^3T'

2

解得x（負值己舍去），則尸O=

5

VZFf7D=ZA=9O°,4FDH=4JDA,

:?LFDHS.CDA,

27262

FDHD

■則3—二3

'~CD~~ADCD3+2

5

解得3等

?c_1廠八*_117726V26221

BCD225210

221

故答案為：—

三、解答題（本大題有7個小題，共66分，解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過

程）

17.（1）解不等式：3x+2<1.

（2）寫出二元一次方程2工一3），=1的一組解.

21-+2

（3）先化簡，后在給出的x的值中選擇一個代入求值：―其中x的值為-1,2,3.

x—2A—3

1[x=22

【答案】（1）x<—：（2）方程組的解為〈，（答案不唯一）；（3）——：-2

3[y=\x-3

【解析】

【分析】本題考杳的是二元一次方程的解，解一元一次不等式，分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值

題并非是一味的化簡，代入，求值.熟練掌握二元一次方程的解有無數個是解.許多問題還鎘運用到常見

的數學思想，如化歸思想（即轉化）、整體思想等，了解這些數學解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一

定幫助.

（!）根據一元一次不等式解答方法解答即可；

（2）寫出使二元一次方程2x-3y=1成立的一組解即可.

（3）化簡分式，最后選出合適的.1的值代入進行計算即可.

【詳解】（1）解：3x+2<1,

移頂得：3x<—1,

系數化為一得；x<--；

3

(2)???二元一次方程2x—3)，=1,

令1=2,解得y=l,

???方程組的解為《x=2，(答案不唯一).

卜=1

2x+22(x+\)2

2==,

⑶解:x-2r-3(x+l)(x-3)^3

：工工一1,工工3,

2

???將x=2代入得，原式二——=-2.

2-3

18.如圖，在菱形ABCO中，NB=40。，問：

(1)連接4C,求的度數.

(2)若以點C為圓心，8c長為半徑畫弧，交直線AC于點E,求/ABE度數.

【答案】(1)70°

(2)15。或75。

【解析】

【分析】本題主要考查了菱形的性質，等邊對等角，三角形內角和定理：

(1)由菱形的性質可得人3=3。，再根據等邊對等角和三角形內角和定理求解即可;

(2)分點E在C4延長線上和點E在4c延長線上，兩種情況討論求解即可.

【小問1詳解】

解：：四邊形ABCO是菱形，

AB=BC?

?/4=40。，

???ZBAC=ZBCA==70°；

2

D

【小問2詳解】

BC

解：由題意得，BC=CE,=CE2,

由（1）得NBCEi=70。,

???4CBE、=ZCEB=二550,

1}12

???^ABEi=NCBE「/CBA=15°；

VZBCE2=180°-ZBCA=110°,且CB=CE?,

??一功

?NCBE,=NCE,B=5=35<5

''2

.?./ABE?=ZCBE2+ZCBA=75。：

綜上所述，N7WE的度數為15。或75°.

19.小紅隨機調查了若干市民某天和用公共自行車的騎車時間/（單位:分）的情況，將獲得的數據分成四組,

繪制了如圖統計用，請根據圖中信息，解答下列問題，

每組人數的條形統計圖每組人數占被調查總人數的百分比統計圖

A：分

B:10分Vf<20分

C:20分V/W30分

C:>30分

圖2

（1）求這次被調查的總人數，并補全條形統計圖

（2）如果騎自行車的平均速度為12切〃氏請估算,在該天租凡公共自行車的市民中，騎車路程不超過

4k72的人數所占的百分比.

【答案】（1）50人；詳見解析；12）約占64%

【解析】

【分析】（1）根據條形圖得到B組人數，根據扇形圖得到B組人數所占的百分比，計算即可；（2）根據

各組市民騎車時間計算，得到答案.

【詳解】解：（1）18-36%=50（人）

。組的人數為：50-14-18-5=13,

（2）騎自行車的平均速度為12切?/爪騎車路程不超過4%

.?“K20分鐘

.*.（14+18）4-50=64%

答:掩車路程不超過的人數約占64%

【點睛】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決

問題的關鍵.

20.如圖，在矩形44CD中，AD=2AB=4.點石在射線。。上運動（不與點。重合），連接AE，將

VADE沿AE翻折，點。的對應點為點E

（1）如圖1,若點尸恰好落在矩形某一邊所在的直線上，直接寫出N7ME的度數.

（2）如圖2,當點E恰好與點C重合時，求產的面積.

（3）在點E運動的過程中，是否存在一點人使得△8b成為直角三角形？若存在，請你在虛線框內作

圖（要求：尺規作圖，并標出相應的點廠）；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴30°

5

（3）見詳解

【解析】

【分析】（1）根據四邊形A8CD是矩形，得出AO=BC,AB=CD,力。〃3C,ZB=90°,根據

AD=2AB=4,和折疊性質可得A3=2,AF=AD=4,證明r，得出NAF8=30。，再根據

平行得出/D4/=乙4/歸=30。，即可求解；

（2）設〃4C=x,根據折疊可得NC4/=NDAC=x,再根據AO〃8C,即可得出

ZCAF=ZACB,證出AM=CM,設4/=CM=a,則8M=4—。，在放一A3M中，根據勾股

定理解出。，算出AM，CM,BM,FM,過點尸作_LAB交A3的延長線于點"，證明

NABMKAHF,根據相似性質算出”/，根據&A研=g48-“尸，即可求解.

（3）當？FBC90?時，延長”,A3,尺規作=D4,AF=，再連接EE,AE;C/即可.當

/呂叱二鞏）。時，作線段CB的垂直平分線，交。于點。，以點。為圓心線段C3的一半氏為半徑畫

圓，再以點A為圓心線段A8的長為半徑畫圓，兩圓交于兩點6,與，分別連接A耳,4鳥，再分別作

/D4f；,N/）A8的角平分線，延長交。。和OC的延長線分別交于點E，即為所求.

【小問1詳解】

???四邊形/WCD是矩形,

:?AD=BC,AB=CD,AD〃BC,Z^=90°,

VA￡>=2AB=4,

:.AB=2,

根據折疊可得：AF=AD=4fZDAE=ZFAE，

:.AB=-AF,

2

則在m中，ZAFB=30°.

?：AD//BC,

/.ZDAF=ZAra=30°,

???乙DAE=Z.FAE=-4DAF=30°.

2

【小問2詳解】

設ZZMC=x,

則根據折疊可得ZCAF=ZDAC=X,

???AQ〃8C,

ZACB=ZDAC=x,

^CAF=ZACB,

:.AM=CM,

設AM=CW=。，

則BM=8C—CM=4—。，

在中，AB2+BM2=AM2^

2?+(4-4)2=/,

解得：a=2.5,

AM=CM=2.5,W=4-2.5=1.5,FM=4-2.5=1.5,

過點尸作F77_LA3交A8的延長線于點H,

???BM//HF，

???7ABMKAHF,

BMAM

:.——=——，

HFAF

1.52.5

即ltII一=—,

HF4

解得〃尸=￡,

—J

IIIoio

：.S.=-ABHF=-X2X—=—.

ARBFF2255

【小問3詳解】

???ZAFE=/D=90°ZE4C+乙FEA=90°,

故當N3CF=90。時，點EC重合，不滿足題意;

當？FBC90?時，△3（才能成為直角三角形,

作圖：如圖，延長。C,A3,尺規作。石=。44/=同。，再連接即可.

此時，AD=DE=AF=EF，ADEF是正方形,AE4￡能由VAOE沿AE翻折得至U，

且？FBC90?.

當N8FC=90。時，△3CV能成為直角三角形,

作圖：如圖，作線段C3的垂直平分線，交C5于點。，以點。為圓心線段C3的一半長為半徑畫圓，再

以點A為圓心線段AB的長為半徑畫圓，兩圓交于兩點入，分別連接A￡,A鳥，再分別作

ND44,ND4用的角平分線，延長交0c和。C的延長線分別交于點E,即為所求.

理由，3c是的直徑，

NB"C=N8鳥。=90。；

QZDAE=ZFlAE,AD=AFiyAE=AEf

:.VDAE^VF}AE,

即。EAE是由VAD石沿AE翻折得到,日是百角二角形:

同理，是由VADE沿1翻折得到，且，BCF2是直角三角形?

【點睛】該題主要考查了矩形的性

質，圓周角定理，解直角三角形，折疊的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理，尺規作-線段，角平

分線，線段垂直平分線，圓，解題的關鍵是掌握以上知識點.

21.如圖，在面積為12的等腰三角形A3。中，底邊3。的長為6.

（1）求4B的長.

（2）若點M在直線BC上運動，連接AM.則在點M運動過程中，問：

①當.A8M成為等腰三角形時，直接寫出AM的長.

②不再連接其他線段，當圖中存在某個角為45。時，求的長，并指出相應的45。角.

2525

【答案】（1）5（2）①，或5或26或46；②當NM48=45。時，8必=25或8M=—；當

67

NM4C=45。時，8M=一或3M=31；當〃VW6=45。時，BM=1或8M=7

7

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理：

（1）過點A作AO上3C于。，根據三角形面積公式求出4）=4,再由三線合一定理得到

BD=CD=；BC=3,則由勾股定理可得43=8》=5；

（2）①分當8M=B4=5時，當8M=B4=5時，當點M與點C重合時，此時有/W=AM=5,當

=時，四種情況討論求解即可；②分當NM48=45。時，當NM4C=45。時，當

NAMO-45。時，二大種情況，六小種情況，畫出對應的圖形，討論求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖所示，過點A作401BC于。,

???的面積為12,底邊BC的長為6

\-BCAD=n,即，x6AO=12,

22

；?A￡)=4,

???.ABC是以8c為底邊的等腰三角形，

:.BD=CD=-BC=3,

2

在RtZXABO中，由勾股定理得AB=Jw2+8Z)2=5；

【小問2詳解】

解：①如圖所示，當8W=84=5時，

???DM=BM+BD=X,

在RtaAZM；中，由勾股定理得AA/=攻4￡>2+￡)〃2=4石:

A

如圖所示，當6M=H4=5時，

???DM=BM-BD=2,

在RtAADM中，由勾股定理得AM=，人斤+DM?=2石:

A

當點M與點。重合時，此時有AB=AM=5；

如圖所示，當=時，設AM=8M=x,貝i」OM=x—3,

在RtZiADW中，由勾股定理得AW?=4。2+/)/2,

X2=42+（X-3）\

25

解得x二—,

6

?…25

..AM=—；

6

A

25

綜上所述，AM的長為二或5或2石或40；

6

②如圖所示，當NM43=45。時，過點8作8G_LAM于G,

5幣

：,3G=A3?sin/BAG=—

2

.：Sj-xA"tfyj=2-ADBM2=-AMBG,

?1ADW15友人..

----x48M=-x------AM，

222

45/2

???AM=—^—BM，

5

4J?

設BM=m,則AM=-----m,DM=/??+3，

5

在RtZVUW中，由勾股定理得4加2=4。2+0/2,

（4丘、，

:.-----mY=4~,+（/〃？+3）,

/

25

解得加=25或相=—―（舍去）：

???BM=25；

An

如圖所示，當NAA〃?=45。時，則DW=-------------=4,

tanZAMD

A

如圖所示，當NM4C=45。時，過點M作于從設CM=5f,

An4CD3

在Rt.ADC中，sinC=—=-,cosC=—=-,

AC5AC5

???在Rt二CW/中，CH=CMcosC=3r,=CMsinC=41,

???在R144W7中，AH=—————=4r,

tan/MAH

???AC=AH+CH=1t=5,

5

7

:.BM=6-5r=—；

7

A

525

如圖所示，當NM48=45。時，同理可得BM=-x5=一；

77

.1

如圖所示，當NAA/8=45。時，同理可得EW=6+1=7；

,1

同理可得BW=25+6=31；

綜上所述，當NM鉆=45。時，80=25或=一；當NM4C=45。時，8M=一或=31；

77

當NAMfi=45。時，8M=1或加=7.

22.如圖，在半徑為1的0O中，直徑A8與直徑CO的夾角NAOQ=60。，點。是劣弧BO上一點，連

接PA、PC分別交C。、A3于點M、N.

（1）若PC_L4B,求證：PA=PC.

（2）猜想線段與CW之和是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

（3）過點C作0O的切線小過點。作CO的切線，2,當直線4和4的夾角為80。時，求弧4P的長.

（4）求證：AM（PA+PC）=3.

【答案】（1）見解析（2）線段。W與QV之和為定值，即。M+QV=I

二、7兀8兀

（3）——或——

99

（4）見解析

【解析】

【分析】（1）先根據垂徑定理和線段垂直平分線的性質得到AC=AP,再根據圓周角定理求得

?CA8i?HOC30?,進而得到NACP=60。，根據等邊三角形的判定與性質證明△4PC是等邊三角

形即可?證得結論；

（2）連接A。，先證明△AOD是等邊三角形得到NAOM=NCON=60。，AD=OA=OC,再證明

COV（ASA）得到Z）M=QN,進而可得結論：

（3）設CO的切線乙和切線4相交于點Q,分NCQP=80。和NCQP=100。兩種情況，利用切線長定理

和弧長公式分別求解即可；

（4）連接A。、BC,先證明△AOD和△CO8都是等邊三角形，得到4。=3。=1,然后利用圓周角

ANPA

定理和相似三角形的判定與性質證明LAPNSWBN，3cpM得到一=—=PA①，

CNBC

—=—=PC②兩式相加即可求解.

AMAD

【小問1詳解】

證明：當尸C_LA8時，如圖，則A8垂直平分尸C，

：,AC=AP,

??,Z^OC=Z4OD=60°,

A?CAB-?BOC30?,

2

???ZACP=90°-ZC4B=60°,

???△4PC是等邊三角形，

???PA=PC；

解：線段。“與CW之和為定值.

連接4力，如圖，

???/8OC=ZAOD=60。，OA=OD=\,

???△AOQ是等邊三角形，

/.ZAZX?=