專題12平面對量綜合必刷100題

任務一:和善模式（基礎）1-30題

一、單選題

1.已知〃工10,向量"=匕=（一2,〃?），若|a+〃H”-〃I，則實數”=（）

A.±72B.&C,-2D.2

【答案】D

【分析】

由b+加叫,可得￡$=o,用坐標表示數量積，即得解

【詳解】

由|。+〃|=|。一〃I

可得（“+by=（a-by

-2--2-2---2??

：.a+2tih+b=a-2a,b+b：.ab=O

ab=-2m+mn=0?因為〃工0,所以〃=2.

故選：D

2.設A8c中HC邊上的中線為A。，點。滿意AO=-2OO,則OC=（）

A.--AB+-ACB.-AB--AC

3333

i-2-2—I

C.-AB——ACD.——AB+-AC

3333

【答案】A

【分析】

由中線向量公式得到4O=g（AB+4cj：由AO=-2。0,利用線型運算得到人。=：,

進而利用向量的減法運算OC=40-40得到結論.

【詳解】

因為A8C中8c邊上的中線為八O,

所以AO=；(/W+AC),

因為AO=-200，所以AO=20。，

所以八0=2(人。一人O),

—?7—?1一-1

川T以=-4。=一x一(A8+AC)=-(AB+AC),

3323

11|2

所以OC=AC-AO=AC工=AB+QAC.

JJJJ

故選：A.

3.若平面對量〃也(?兩兩的夾角相等，且|。|=|們=l,|c|=3,則|“+)+c|=()

A.2B.5C.2或5D.衣或不

【答案】C

【分析】

分類探討，再由向量求模公式，即可求解.

【詳解】

當仇。兩兩的夾角均為0°時，明顯|a+"c|=5：當a也c兩兩的夾角均為120°時,

\a+b+c\=\la'+b+c~+2a?/?+2a,c+2〃,c=2，

故選：C.

4.在菱形八8C。中，M、N分別是BC、C。的中點，若AZ?=2,/。八8=?,則..從N=

()

A.0B.：C.4D.

22

【答案】B

【分析】

2

以==b為基底表示有關向量，然后利用數量積的運嵬和定義求解.

【詳解】

設A3=a,4。=/?,則悶=網=2,“?力=2x2xcosy=2-

.?.OM.AN=(OC+CM).(AD+ON)=m.(0+q]=9-l^-+3a.〃=3'

\M2I2)2242

故選:B.

5.如圖，點。在半徑為2的八8上運動，1oc=mOA+nOB，則利+〃的最大值

為()

2/

rV*-----

3

【答案】C

【分析】

建立適當的坐標系，設NAOC=a,利用向量的坐標運算得到“〃與。的關系，進而得到

研〃關于。的三角函數表達式，利用協助角公式整理后，依據三的函數的性質求得其最大值.

【詳解】

3

以0為原點、0A的方向為X釉的正方向，建立平血直角坐標系，

則有OA=(2,0),OB=(1,B.

設ZAOC=a,則OC=(2cosa,2sina).

2/〃+〃=2cosa

由題意可知｛r-c.

,3〃=2sina

.273.(乃、

所以〃?+〃=cosa+——sina=---sina+—.

33I3J

因為aw0,-j,所以a+^w~^,~Y，

故加+〃的最大值為名叵.

3

6.已知向量”,方滿意|々|=1,|〃|=五"〃=1,貝ij“-占與〃夾角為()

24卜3兀八*r兀

A.彳B,C.-D.-

【答案】B

【分析】

先求得，-4,再利用向量夾角公式，結合向量數量枳的運算計算即可得到答案.

【詳解】

p-Z?|=a-2a-b+b=1-2+2=1?

rr

(i-b=1,

（a-=a?=1-2=-1

所以8'卜-4&）=告瑞=品=-￥'

4

故向量a-b與〃的夾角為下.

4

故選:B.

7.已知。=(-1.2),1=(1,3),,則2〃-人在"〃方向上的投影為()

A.1B.5C.叵D.x/5

2

【答案】A

【分析】

由〃力的坐標求出(2a-葉伍+。)和口+可，進而利用投影的定義求解即可.

【詳解】

V?=(-l,2),力=(1,3),

則2。_)=(_3,1),a+力二(0,5)

I.(2a-b)(a+/>)=5,卜+0=5,

(2a-b\(a+b\

二2〃一6在a+8方向上的投影為：-~ir2-fr一-=1.

故選:A.

8.在中，A8=2,AC=3,且UImA8UIMJUC=3,則I|人。-丸州(2c2取最小值時2的值

為()

A3R33G

4424

【答案】B

【分析】

對,。-74耳平方，利用平面對量的數量積公式和已知條件，可知

5

AC—/M8[=4(4-qJ+等，依據二次函數的性質，即可求出結果.

【詳解】

因為k0一/1時=,可+萬阿-2/148.從0=祝2_6%+9=4(/1—()+y

所以當2=1時，,C-4Aq(/ieR)取最小值.

故選：B.

9.在一4?。中，點。是線段3c上靠近點。的三等分點，點E在線段人。上，AE.ED=3:5t

貝J|E8+EC=()

1——33-1

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2442

I一233.

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4342

【答案】B

【分析】

依據平面對量的二角形法則可得E8=4B-4￡EC=AC-AE,進而

m+EC=AB+AC-2AE，再依據AE：瓦＞=3:5和點。是線段8C上靠近點C的三等分點,

利共線定理可得AE="/)，CD=；CB,再結合平面對量的三角形法則，即可求出結果.

83

【詳解】

依據題意，作出圖形，如圖所示.

因為￡8=AB-AE,EC=AC-AE

所以EB+EC=A3—AE+AC—AE=A8+AC-24E

6

3

又AE:ED=3:5,所以=

o

aa____QI

所以￡8+￡右=48+八。-2/^=48+八。-二(43+。。)=48-二。0+—人右

44V/44

又點。是線段3c1上靠近點C的三等分點，所以CO=gcB,

所以EB+EC=AB-±x±C8+±4C=A8+-AC-L(A8-AC)=」A8+-4C.

43444、f42

故選:B.

10.己知點M(2.4),若過點N(4,0)的直線J交圓于G(x-6)2+V=9于48兩點，則

|MA+M81的最大值為()

A.12B.8&C.10D.6>/2

【答案】A

【分析】

設出AB的中點P(x,y),依據垂徑定理即可求出點P的軌跡方程是以(5,0)為圓心，1為半徑

的圓，再利用圓的性質求出IMPI的最大值，再由向量的運算性質即可求解.

【詳解】

由已知圓的方程可得：圓心。(6,0),半徑為r=3,

設/W的中點為P(x,y),則由圓的性質可得：NP_L。，

即NPCP=0，而NP=(x-4,y),CP=(x-6,y)?

所以(x-4)(x-6)+y2=0,

即點P的軌跡方程為(x-5)2+)，2=1,

設E為NC的中點，則?(5.0),半徑為1,

所以|MP|的最大值為眼目+1=J(2-5f+42+1=5+1=6,

又|MA+MB|=2|MP|,

7

所以IM4+MBI的最大值為12,

故選：A

11.以下四個命題中正確的是（）

A.若OP=；OA-；OB,則P,AB三點共線

B.若,,b,c|為空間的一個基底，則｛a+4〃+c,c、+d構成空間的另一個基底

C.|（。創十=4忡，

D.A4C為直角三角形的充要條件是A3AC=0

【答案】B

【分析】

對于A,。，A,4三點共線時，0尸=ZOA+〃OBQ+〃=1）,故從不正確：

對JB,a+〃,〃+c,c+a不共線，所以｛a+〃,〃+c,c+”｝構成空間的另一個基底，故6正

確：

對JC，|（。/）|。我示與c共線的向量，叱忖?，表示與a共線的向量，故C不正確；

對于。，48人右=0時，ZA為直角，反之也可以是DA,NC為直角，故。不正確.

【詳解】

對于A：P、A，3三點共線時，OP=WA+/iOB（A+/t=\）,

-OP=-OA--OB,

23

;.P，A,8三點共線不成立，故A不正確；

對于B：若｛小仇引為空間的?個基底，

則不共線，

a+b.b+c,c+a下共線，

8

優+力2+c,c+a｝構成空間的另一個基底，故B正確;

對于C假設|(〃囪.0=州陽，

不妨設|(。而卜”"用。卜"，

則me=na，

因為向量不肯定共線，故C不正確：

對于D,ABAC=O時，為直角，

故《48c為直角三角形，反之也可以是D8,NC為直角，

故D不正確.

故選：B.

12.已知向量〃、人滿意卜+4=W，且同=2,貝山在〃方向上的投影是()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【分析】

II

在等式,+。|=|同兩邊同時平方，求出〃.〃的值，進而可得出〃在a方向上的投影為加

【詳解】

???忖=2,在等式卜+耳=%兩邊平方并化簡得a+2a-/?=()?ah=-^-=-2?

ab,

因此，〃在a方向上的投影為TT=T.

故選:D.

13.在△胸中，己知止3,405,△胸的外接圓圓心為0,貝IJAO.8C=

A.4B.8C.10D.16

9

【答案】B

【分析】

畫出圖形，并將。和AC中點D,。和A5中點E連接，從而得到OD_LAC,OE工AB,依

據數量積的計算公式以及條件即可得出40MC=W?5，AOAB=9^從而

22

AOBC=AO（AC-AB）,從而可得到AO?BC的值.

【詳解】

如圖，取AC中點。，A8中點E,并連接OQ,0E,

則OO_LAC,OELAB,

22s

/.AOAC=-AC=—,

22

OSQ

AOBC=AO(AC-AB]=AOAC-AOAB=-----=8.

''22

故選：B

14.已知向量”與向量。不共線，力=(1.1),對隨意feR,恒有卜一加上|。-勸|,貝IJ()

A.albB.C.方_L(a—勸)D.(a+2b)_L(a-2/))

【答案】C

10

【分析】

設向量〃的坐標為(x,y)，代入題中向量等式，解出MJ，之間的關系式，再逐項驗證答案.

【詳解】

設4=(.1,y),則“―/力=(%_/,y-r),o-2/?=(x-2,y-2)

2222

.?.,一/2,一勸]可化簡為(x-t)+(y-r)>(x-2)+(y-2)

依據題意，WfGR,(x-f)2+(y-f『》(x-2)2+()，-2『恒成立

即，DfeR,產一(x+)，)f+2(x-y)—420恒成立

.,.?=(.￥+y)2-4x2[(x+y)—4】40,用孕得x+y=4

ah=(只句，)=x玲H)。，選項A錯誤：

a(4-2Z?)=(x,y)[.">2,)=2r2+y2-(x2-y)*,選項B錯誤；

/>p-2/7)=(l,lX-^-)，及,)=9+)』=S選項C正確：

(d-2b)(a+/￡)=(￡Wy-)(2,+2+)=X?+W-0H,選項D錯誤.

故選：C.

15.如圖所示，矩形ABC力的對角線相交于點。，點E在線段03上且?！?：。8,若

AE=ZAB+pAD(A,〃wR),則2一〃=()

11

【答案】A

【分析】

2I

以為基底表示出八E,求得//=-,從而確定正確答案.

【詳解】

因為四邊形A3CQ為矩形，OE=goB,所以OE=：D8=：（/仍—AD）,所以

AE=AD+DE=AO+：（A3—AO）=|A8+gAQ,因為AE=2A5+〃AD（4,//eR）,

21211

所以4=3，〃=§'所以義一"=5-5=I，

故選：A

二、多選題

16.已知平面對量。A、OB、0C為三個單位向量，且04.08=0，若OC=xOA+yOB

（x,ycR）,則x+F的取值可能為（）

A.--B.1C.72D.73

2

【答案】ABC

【分析】

建立如圖坐標系，以向晶。4、。8作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點C

12

(cosasin。)(0表示由x軸非負半軸旋轉到17所形成的角)構成的向量oc，0e[O,2/r),

求出。4、08、0C的坐標，列出等式，結合兩角和的正弦公式和正弦函數的值域即可得出

結果.

【詳解】

依題意，0A、03是?組垂直的單位向量，如圖建立坐標系，

向量。4、0后作為?組垂直的單位基底可以表小不位國上任小《cosasin。)(。表示由*

軸非負半軸旋轉到"所形成的角)構成的向量OC，040,2公，

因為OA=(LO),05=(0,1),OC=(cos，,sin9)，OC=xOA+yOB,

0+?),同0,2不).

所以x=cosO,y=sin6,故A+y=cos0+sin〃=41sin

故x+)，e卜"Jfj,故可以是選項中的-李，1,72.

故選:ABC.

17.下列說法中錯誤的是()

A.已知“=(1,-3),〃=(1,-3),則“與〃可以作為平面內全部向量的一組基底

B.若〃與。共線，則〃在8方向上的投影為|。|

C.若兩非零向量a，b滿意1。+“=|"-匕|,則aJ_b

D.平面直角坐標系中，41J),8(4,2),C(5,0),貝心月加?為銳角三角形

【答案】ABD

【分析】

結合向量基底定義，投影的運兌，及模的轉化，夾角的運第分別檢驗各選項即可推斷.

13

【詳解】

對于A,b=a,所以4〃力，故不能作為平面內全部向量的一組基底，A錯誤:

對于B,“與8共線，則〃在〃方向.上的投影為±1。1，所以B錯誤：

對于C,兩非零向量”，人滿意1。+勿=|"-/)|,則|6+邸=O,則a_L〃,

C成立：

對于D,A(l,l),8(4,2),C(5,0),則初=(3,1),ZJC=(1.-2),AC=(4,-1),

cos<AB,AC>=-:------------=—)=-f=>0.

\A13\\AC\VK)VI7

ABCH-1c

cos<AB,CH>=--------------=—f=-r=<0,

\AB\-\CB\V1()V5

?“BCAC5

cos<BC.AC>=---------------=—f=-f=>0A,

|BC|-|4C|拒

所以D8為鈍角，

則，A4C為鈍角三角形，D錯誤；

故選：ABD.

18.設“，。是兩個非零向量，下列四個命題為真命題的是()

A.若外向=}4,則〃和〃的夾角為?

B.若+忖=|。+〃|,則〃和力的夾角為學

C.若卜+N=M+W，貝和3方向相同

D.若ab<0,則“和b的夾角為鈍角

【答案】ABC

【分析】

利用向量加減法的幾何意義，推斷A、B的正誤：兩向量模的性質推斷C,由向量的夾角與

14

數量枳回的關系判定推斷I).

【詳解】

解：|4=忖=,一人|，a，b，a-b構成等邊三角形，A正確：

卜卜W=|a+q由向量加法的平行四邊形法則可知，”和^，的夾角為B正確：

1+目=慟+忖=>1+42=(口+忖)="力=,卜忖n(a,b)=0,則〃與〃同向，C正確:

若￡石<。則￡和方的夾角為鈍角或者兀，D錯誤,

故選:ABC.

19.在MAC中，有如下四個命題正確的有()

A.若人C.八8>0,貝LA8C為銳角三角形

B.若|成+8。卜卜q,則.ABC的形態為直角三角形

C.&AAC內一點G滿意GA+GB+GC=O,貝UG是的重心

D.若PAPB=PBPC=PC,PA，則點P必為▲八8c的外心

【答案】BC

【分析】

對于A,由ACA3〉OuJ■得角A為銳角，從而可推斷，對于B,對|曲+=,。|兩邊平方

化簡，再結合余弦定理可得結論，對于C,由向量加法和共線及三角形重心概念推斷，對于

D,由向量運算性質和三角形垂心概念可推斷

【詳解】

解：對于A,由ACMB>0,得卜4|4q8$4>0,所以cosA>0,所以角A為銳角，但不

能推斷三角形為銳角三角形，所以A錯誤，

對于B,因為忸+財=罔，+2BABC+BC2=A(^?即

15

網斗心-AC『

網-+2網.|/JC|cos8+,C/=|AC|?,所以-cos8=cosB,得cos5=0,

2網

因為8c（0,m,所以8=],所以三角形為直角三角形，所以3正確，

對于C,因為GA+G8+GC=G，所以GA+GB=—GC，所以2G0=—GC（。為84的中點），

所以G,C,Q三點共線，所以點G在胡邊的中線C。上，同理，可得點G在其它兩邊的中線

上，所以G是“8c的重心，所以C正確，

對于D,因為PAPB=PBPC，所以PAPB-PB，PC=0,PB（PA-PC）=PBCA=0,

以PBIGI,所以點尸在邊a的高上，同理可得點尸也在其它兩邊的高上，所以點P為

.A8c的垂心，所以D錯誤，

故選:BC

20.已知向量他。是兩個非零向量，在下列條件中，肯定能使力共線的是（）

A.2a-3〃=4e且。+2〃=-2e

B.存在相異實數人〃，使"-〃〃=0

C.xa+yb=0（其中實數％y滿意X+y=。）

D.已知梯形地力，其中A8=a,CO=〃

【答案】AB

【分析】

選項4依據2a—36=4e〃+28=—2e，即可得出。=-4a,從而得出。，〃米線：選項8：可

得出4〃都不等于0,并得出4人從而得出。口共線：選項G當x=y=0,時，滿意

選項的條件，明顯得不出共線；對于選項〃：明顯得不出“力共線.

【詳解】

解：A.聯立2〃一3/）=46和4+2/，=一26消去向量6可得出4〃+4=0.

b=—4a?且ah（）,所以a力共線.

16

8.都是非零向量，1工2?！ǎ蟆鼻?0,

所以。=今匕,

:.都不為0,所以。力共線.

C.當x=），=0時，滿意x+y=O,此時對隨意的向量都有xa+y〃=O,.?.得不出a〃

共線；

〃.?.?在梯形中/應與切不肯定平行，???得不出共線.

故選：AB.

第口卷(非選擇題)

三、填空題

21.已知在.A8c中，AB=3.AC=\,ZBAC=^,BD=DC,AE=2ED貝UCEZ?C=

3t

13

【答案】

O

【分析】

設AB=&AC=〃，依據B力=￡>C4E=2E￡>,得至U〃—〃利CE=；a—1/),結合向量的

數量枳的運算公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，設八8=?*=/九可得,耳=3,卜4=1,??=2，

因為4D=OC,4E=2E。，可得8C=AC-A8=〃-“，

92I?I9.I9-

CE=AE-AC=-AD-AC=-x-(AB+AC)-AC=-AB--AC=-a一一b,

3323333

19-?--1-22-211213

所以Cf.8C=(_a—h){b-a)=ab—a—b=3xlx----x9—xl=---.

33332336

17

3

22.在八8C中，點D滿意RD=^BC,當E點在線段AZ）上移動時，^AE=AAB+pAC

4t

則/=（/I-If+"2的最小值是.

9

【答案】—/0.9

【分析】

L1LB1HUU

依據題意畫出圖形，利用48,4。表示出A。，再設AE=A4/），04kVI；用k分別表示出

求出2與〃，再將其代入，=（/-iy+〃，可得，="-七十］,然后利用二次函數的性質即

82

可求1=（4-1）2+〃2的最小值.

【詳解】

如圖所示,

-3

“8C中，BD=-RC,

4

OO1

.?.AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB\=-AB+-AC,

18

inn]?nin

又點E點在線段AO上移動，設AE=*/AO，O<A:<1,

k一

：.AE=-AB+—AC,

44

f；k

A.=—

4

又AE=/IA3+〃AC,：.\；,

，A

HAj+傳j片爭，

29

.?.當時，，取到最小值，最小值為歷.

故答案為:..

23.在/WC中，點〃是邊8C的中點，點G在4。上，且是ABC的重心，則用向量AS、AC

表示BG為.

21I2

【答案】BG=——AB+-AC^BG=-AC——AB

3333

【分析】

依據三角形重:心的性質可知，AG=；(A3+AC),再依據向量減法8G=4G-人8即可求出.

【詳解】

在4ABe中，點〃是邊8。的中點，點。在入。上，且是S8C的重心，

9.7II

所以AG=—/W=—X—(A8+AC)=—(A8+AC),

3323

——1———2一1—

BG=AG-AB=-(AB+AC)-AB=一一AB+-AC.

333

21

故答案為：RG=--AB+-AC.

24.已知點G為△腦的重心，過G作直線與四JC兩邊分別交于兩點，且AM=^AB，

19

AN=yACf求'的值為_______.

xy

【答案】3

【分析】

以AMAM為基底，由G是AA4c的重心和MG,1V三點共線，可得(+(=1，即求.

【詳解】

依據條件：AC=-AN,AB=-AM,

yx

如圖設〃為aI的中點，則+

22

因為。是MBC的重心，AG=^AD=-AB+^AC,

AG--AM+—4A(,

3x3y

又MG,N三點共線，

+]=即‘+'=3.

3x3yxy

故答案為：3.

25.如圖，在菱形A3co中，AB=2?NHAD=?F.已知BE=；6C,DE=FC?EG=；EF,

貝IJAGEb=.

20

D

C

G

【答案爆

【分析】

利用向量的線性運算以及向量數量積的定義即可求解..

【詳解】

因為=DF=FC，

所以AK=4〃+-4〃+■!■4D,AF^AD+DF^-AB-i-AD.

32

1.2.

所以"=AA'-A￡=-—A8+-AD.

23

又EG=、EF,所以AG=，（AE+Ab）=3A4+2AO.

22V743

因為AB=2，ZBAD=HT,

所以人G.EF=（：A8+gAo]{-jA3+gA。]

3]4-2II

=--AB+-ABAD+-AD=—.

8698

故答案為：9

1o

四、解答題

26.已知同=4,1卜3,（2a—3〃）（2a-〃）=43.

（1）求〃與〃的夾角叫

⑵求卜+年

（3）若（a-O）_L（a+勸），求實數4的值.

【答案】

⑴8=%

（2）歷

⑶丸罟

3

【分析】

（1）利用數量積的運算律即可求解：

（2）由（1）中的結果結合模平方之后轉化為數量枳運算即可求解：

（3）由向量垂直得出數量積為零的等式，進而求出實數人的值.

（1）

解：?.?（2〃-3/4（2〃-/＞）=43即4--8公〃+3￡=43

又因為同=4,岡=3

/.64-8X4X3cos〃+27=43,

/.cos^=—.

2

V^e[0,司，

：.0=-.

3

（2）

解：由（1）得k+b|=J（a+/?）2=??；+2ab+b，=^42+2x4x3x-i+32=737.

(3)

解：?.[〃-/))旦。+/1/)),

(a-〃).(a+Nb)=O,

?2...2

??a+Aab-ah-Ab=0

即42+Ax4x3xi-4x3x1-9A=0,

.?.3/1=10,

10

.?.X2=——.

3

27.已知已A,5是不共線的三點，ROP=mOA+nOB(min^R)

(1)若㈤■77=1,求證：A,P,8三點共線：

(2)若4P,8三點共線，求證：Ml.

【答案】(1)證明見解析：(2)證明見解析.

【分析】

(1)由，〃+〃=1原式可代換為OP=〃QA+(1—〃?)O3,再由。戶=[切+(1-，叨。兒兩式聯立

變形即可求證：

(2)由爪〃,4三點共線，可得AP=2PB，變形得。夕-。八=4。8-04，整理成0戶關于。408

的表達式，再結合+“小，由對應關系即可求證

【詳解】

(1)證明：

若爐爐1,則OP=/〃OA+(1-冽)08,OP=[〃i+("，〃)]OP,

mOP+(\-m)OP=mOA+(\-fn)OB,g|jm(0P-0A)=(\-m)(0B-0P),

〃MP=("〃j)P8,即人P,8P共線，又AP,8P有公共點，則月，化8三點共線:

(2)證明:

23

若4P,8三點共線，則存在實數，使得AP=2P8,變形得。夕-以=斗用-OP),即

{\^Z)OP-AOB+OA,OP=20：+。八=,丈OP=〃QA+“OB,T"r+T~r=*?故

14-2I+A1+21+x1+x

m+n=\

28.如圖，己知〃,￡尸分別為5次?的三邊AC,AC,"的中點，求證：AD+BE+CF=0.

【答案】證明見解析

【分析】

利用向量加法的三角形法則，在圖形中找尋回路，即可證明.

【詳解】

由題意知A。=AC+C/)，BE=BC+CE，CF=CB+BF?

由題意可知EF=CO，BF=FA.

：.AD+BE+CF=(AC+CD)-F(BC+CE)+(CB+BF)

=(AC+CO+CE+?)+(4C+C8)

=(AE+EC+CO+CE+3F)+0

=AE+CD+BF=AE+EF-￥FA=O.

29.已知向量04=(3,-4),。8=(6,-3),OC=(5-m,-3-m).

24

(1)若點A,B,C能夠成三角形，求實數"，應滿意的條件；

(2)若，A/C為直角三角形，且ZA為直角，求實數機的值.

【答案】⑴〃，■：(2)〃1=:

【分析】

(1)點A,B,C能構成三角形，則這三點不共線，即A8與"C不共線，利用向量共線的坐

標公式計算即可.

(2)AAHC為直角三角形，ILNA為直角，則48_LAC，利用向量的數量積坐標公式計算即

可.

【詳解】

(1)已知向量04=(3,-4),。8=(6,-3),OC=(5-〃?,-3-〃?j,

若點A,B,C能構成三角形，則這三點不共線，即48與6C不共線.

LUU

A8=(3,l),AC=,

故知工2-〃?，

???實數，〃工;時，滿意條件.

(2)若4ABe為直角三角形，.且乙4為直角，則A6_LAC，

3(2-〃?)+(1-"?)=0,

解得，〃二.

4

30.設ABC的內角4B,。的對邊長a,b,c成等比數列，2ccs(A-C)-2sin^+=1,

延長月C至〃使B￡>=3.

(1)求DB的大?。?/p>

⑵求作荀的取值范圍.

25

【答案】(1)￡:(2)(。,卷

【分析】

(1)先依據2cos(A-C)-2sin('+B卜1,得到cosAcosC=：：①再結合。,反。成等比數

列得到sin23=sin人sinC：②二者聯馬上可求出DB的大??；

(2)上面的二者聯立求得A=C,得到其為正三角形，再結合二次函數的性質即可求得結

論.

【詳

(1)依題可得：cos(A-C)-cosfi=—,/.cos(A-C)+cos(A+C)=—,

22

cosAcosC=；①

又因為長a,力，c成等比數列，所以。2=雙，由正弦定理得：sin28=sin4sinC②

①一②得：--sin2/^=cosAcosC-sin4sinC,

4

化簡得：4cosn3+4cosB-3=0，解得：cos8=g,又0<8<%，所以8=q,

(2)①+②得：cos(y4-C)=l,即A—C=O,即丹=。，即三角形A3C為正三角形，

設.ABC的邊長為x,由已知可得0<x<3,

UUUHIV.lainULM7rI

則-CDcosZACD)=X(3-A)COS—=—X(3-J)

32

99\<9

"--€a-3

47<8(當且僅當％時取等號).

IUJULHM1I9

ACCO的】僅值范圍［。柒

26

任務二:中立模式(中檔)1-40題

一、單選題

1.設八b、￡為非零不共線向量，若卜-%+(一)〃卜|。-。|小/?),則()

A.(a+〃)_L(a-c)B.(a+))_L()+c)

C.D.(4-C)_LR+C)

【答案】D

27

【分析】

由題意化簡得到卜-c+(lT)(c+〃)/2|a-cf,整理得

(〃+c)2產-2|(%+。)2+(〃+。).5-。"+俗+。尸+2(〃+3-(。-4之0恒成立，結合二次函數的

性質，結合AWO,即可求解.

【詳解】

由向量0、〃、C為非零不共線向星，若,一川十(1一，)小卜

貝1巾一"(17)9+〃)卜,一目，可得,_c+(l-f)(c+時訃

化簡得(1T)2(C+方)2+2(1T)(C+(a-c)NO,

即(b+c)2t2-2[(b+c)2+(b+c)(a-(?)]/+(b+c):+2(b+c)?(￡-&N0恒成立，

令(b+")，2-2[區+1)2+(b+c)(a-c)]r+(b+c)2+2(b+c)-(a-c)=0,

則△=41(/?+c)2+(h+c)?(n-c)]2-4(6+c)2?[(/?+c)2+2(/?+c)(a-c)J

=4|(/?+C)-(?-C)J2<0,即S+C)-(“-C)=(),

所以(a_c)_L(O+c)

故選：D.

2.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-2),若動點M滿意需=正，則OMON

的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[Y4]C.[<6]D.[-2,6]

【答案】D

【分析】

設M(x,y),求出動點軌跡方程，然后用.；.用換元法衣小出苑九計算血.麗，并由兩角

和的正弦公式變形，由正弦函數性質求得范圍.

【詳解】

28

設M(x,y)t則由假=日得J/的方程為/+()-2)2=8,設歷(2缶os6,2+2缶而〃卜

〃+撲卜2,6].

故選：D.

3.已知48CD是邊長為2的正方形，P為平面A8CD內一點，則卜A+啊PC的最小值是

()

A.—2B.—C.-3D.—4

2

【答案】B

【分析】

依據給定條件建立平而直角坐標系，利用向量運算的坐標表示即可計算作答.

【詳解】

八8。。是邊長為2的正方形，則以點力為原點，直線仍業?分別為x軸，y軸建立平面直

角坐標系，如圖：

則A(0,0),B(2,0),C(2,2),設點P(x,y),

PA-(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-j)?

于是得:(PA+PB)-PC=(2-2x-2y)-(2-2-^)=2(x-l)(x-2)+2y(y-2)=

2(x-1)2+2(y-l)2-|,

當x=',y=l時，(PA+PBAPC1取得最小值一3，

29

5

所以(PA+P8)PC的最小值是

故選：B

4.已知點。為正AAC所在平面上一點，且滿意OA+2O8+(l+/i)OC=0,若"MC的面積

與.049的面積比值為1:4,則以的值為(