關于測量誤差及其處理第1頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述一、測量誤差的概念人們對客觀事物或現象的認識總會存在不同程度的誤差。這種誤差在對變量進行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測量誤差。二、觀測與觀測值的分類1．同精度觀測和不同精度觀測在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術水平的人所進行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。

第2頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述二、觀測與觀測值的分類2．直接觀測和間接觀測為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。通過被觀測量與未知量的函數關系來確定未知量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測值。3．獨立觀測和非獨立觀測各觀測量之間無任何依存關系，是相互獨立的觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立觀測值。(三角形三個內角觀測則為非獨立觀測)第3頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述三、測量誤差及其來源1．測量誤差的定義真值：客觀存在的值“X”（通常不知道）真誤差：真值與觀測值之差，即：真誤差=真值-觀測值

2．測量誤差的反映測量誤差是通過“多余觀測”產生的差異反映出來的。測量中不可避免產生誤差，如測量某段距離，往返測量若干次，這些重復測量值之間存在差異。這次多余觀測導致的差異事實上就是測量誤差。3．測量誤差的來源（1）測量儀器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測者：判斷力和分辨率的限制、經驗等。（3）外界環境條件：溫度變化、風、大氣折光等。

第4頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述四、測量誤差的種類按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為系統誤差、偶然誤差和粗差。1．系統誤差在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數值大小和正負符號固定不變或按一定規律變化的誤差，稱為系統誤差。系統誤差可以消除或減弱。(計算改正、觀測方法、儀器檢校)例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差

ld

計算改正

鋼尺溫度誤差

lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I

操作時抵消(前后視等距)

經緯儀視準軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………第5頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述四、測量誤差的種類2．偶然誤差在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現的符號和數值大小都不相同，從表面看沒有任何規律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發現具有統計學規律。偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標瞄準、度盤讀數等誤差,氣象變化等外界環境等影響觀測。3.粗差由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應避免和舍棄粗差。第6頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日4、誤差處理原則7粗差

—

細心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發現，將含有粗差的觀測值剔除。系統誤差

—

找出發生規律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—

用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。

§5-1概述四、測量誤差的種類第7頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述四、測量誤差的種類

幾個概念:準確度：(測量成果與真值的差異，取決于系統誤差的大小）精（密）度：(觀測值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大小）

最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；

測量平差：（求解最或是值并評定精度）。第8頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數例如，在相同條件下對某一個平面三角形的三個內角重復觀測了358次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個內角觀測值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次觀測的真誤差

i，然后對三角形閉合差i進行分析。分析結果表明，當觀測次數很多時，偶然誤差的出現，呈現出統計學上的規律性。而且，觀測次數越多，規律性越明顯。第9頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述誤差區間(‘’)負誤差正誤差個數相對個數個數相對個數0.0～0.2450.126460.1280.2～0.4400.112410.1150.4～0.6330.092330.0920.6～0.8230.064210.0590.8～1.0170.047160.0451.0～1.2130.036130.0361.2～1.460.01750.0141.4～1.640.01120.0061.6以上00.00000.000總和1810.5051770.495第10頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數偶然誤差的四個特性：（1）有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會大；（3）對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等；（4）補償性：在相同條件下，對同一量進行重復觀測，偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數的無限增加而趨于零，即第11頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數用頻率直方圖表示的偶然誤差統計：頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。各條形頂邊中點連線經光滑后的曲線形狀，表現出偶然誤差的普遍規律。第12頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數用頻率直方圖表示的偶然誤差統計：當觀測次數n無限增多(n→∞)、誤差區間d

無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態分布的特性。第13頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日

正態分布曲線以及標準差和方差14在統計理論上如果觀測次數無限增多(n→∞)，而誤差區間dΔ又無限縮小，則頻率直方圖成為一條光滑的曲線，在統計學中稱為偶然誤差的“正態分布曲線”,其數學方程式為：式中參數σ稱為“標準差”,其平方σ

2

稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：標準差的計算式：第14頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數偶然誤差處理方式第15頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-2衡量精度的指標

一、精度精確度是準確度與精密度的總稱。對基本排除系統誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，用精密度來評價該組觀測值質量的優劣。精密度簡稱精度。二、中誤差用標準差衡量測量觀測成果的精度，在理論上是嚴格和合理的。但在實際測量工作中，不可能對某一量進行無窮多次觀測。因此，定義：根據有限次觀測的偶然誤差，用標準差計算式求得的稱為“中誤差”。第16頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-2衡量精度的指標

二、中誤差某觀測值真值X已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未知量進行了n次觀測，其觀測值分別為、、，n個觀測值的真誤差、、。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即m稱為中誤差，m小--精度高；m大--精度低。n－觀測值個數

真誤差第17頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-2衡量精度的指標二、中誤差例:設有1、2兩個小組，對三角形的內角和進行了9次觀測，分別求得其真誤差為：1組：2組：試比較這兩組觀測值的中誤差。解：說明1組的觀測精度比2組高。第18頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值誤差的正態分布曲線的比較：m1=

5.2m2=

6.219不同中誤差的正態分布曲線§5-2衡量精度的指標第19頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-2衡量精度的指標三、容許誤差根據誤差分布的密度函數，誤差出現在微分區間d

內的概率為：誤差出現在K倍中誤差區間內的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7第20頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-2衡量精度的指標三、容許誤差將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m︱第21頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-2衡量精度的指標四、相對誤差(相對中誤差)

—中誤差絕對值與觀測量之比。用分子為1的分數表示。分數值較小相對精度較高；分數值較大相對精度較低。例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。計算S1、S2的相對誤差。解：

K2<K1，所以距離S2精度較高。第22頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-3算術平均值及其中誤差（P82）一、算術平均值設在相同的觀測條件下，對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為x：第23頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-3算術平均值及其中誤差一、算術平均值證明算術平均值為該量的最或是值：設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為：當觀測次數無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。第24頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-3算術平均值及其中誤差二、觀測值改正數未知量的最或是值x與觀測值li之差稱為觀測值改正數vi，即第25頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-3算術平均值及其中誤差三、由觀測值改正數計算觀測值中誤差第26頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-3算術平均值及其中誤差三、由觀測值改正數計算觀測值中誤差第27頁，共31頁，星期日，2025年，2月5日§5-3算術平均值及其中誤差四、算術平均值中誤差算術平均值的中