階段拔尖專訓4分類討論思想在二次函數中的應用類型1溫馨提示：點擊進入講評234561.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－3，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C.類型1有關等腰三角形的分類討論題(1)求拋物線的表達式；(2)在y軸上找一點D，使△ACD為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標．返回2.[2024達州]如圖①，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A(－3，0)和點B(1，0)，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點.(1)求拋物線的表達式；【解】由題意得y＝a(x＋3)(x－1)＝ax2＋2ax－3a＝ax2＋bx－3，∴－3a＝－3，解得a＝1.

∴拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3.(2)如圖②，連接AC，DC，直線AC交拋物線的對稱軸于點M，若點P是直線AC上方拋物線上一點，且S△PMC＝2S△DMC，求點P的坐標.【解】由拋物線的表達式，易知C(0，－3)，D(－1，－4)，拋物線的對稱軸為直線x＝－1.過點D作直線DG∥AC交y軸于點G，在y軸上點C上方取點L，使CL＝2CG，過點L作直線LP∥AC交拋物線于點P.由點A，C的坐標，得直線AC的表達式為y＝－x－3.∵DG∥AC，∴易得直線DG的表達式為y＝－x－5.∴G(0，－5)．∴CG＝－3－(－5)＝2.∴CL＝4.∴L(0，1)．(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，是否存在以點N，A，C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.返回3.[2024淄博月考]如圖，已知二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象經過A，B兩點，BC⊥x軸于點C，且點A(－1，0)，C(4，0)，AC＝BC.類型2有關直角三角形的分類討論題(1)求二次函數的表達式.(2)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的點P，使△ABP成為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解】存在．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.設P(1，m)，分三種情況：①當點B為直角頂點時，由勾股定理得PB2＋AB2＝PA2，∴(4－1)2＋(5－m)2＋(4＋1)2＋52＝(1＋1)2＋m2，解得m＝8.

∴P(1，8)；②當點A為直角頂點時，由勾股定理得PA2＋AB2＝PB2，∴(1＋1)2＋m2＋(4＋1)2＋52＝(4－1)2＋(5－m)2，解得m＝－2.∴P(1，－2)；返回③當點P為直角頂點時，由勾股定理得PA2＋PB2＝AB2，∴(1＋1)2＋m2＋(4－1)2＋(5－m)2＝(4＋1)2＋52，解得m＝6或m＝－1.∴P(1，6)或P(1，－1)．綜上，點P的坐標為(1，8)或(1，－2)或(1，6)或(1，－1)．4.如圖，拋物線C1：y＝x2－2x－8交x軸于A，B兩點(A在B的左邊)，交y軸于點C.(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；【解】A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－8)．類型3有關三角形相似的分類討論題(2)作直線x＝t(0＜t＜4)，分別交x軸、線段BC、拋物線C1于D，E，F三點，連接CF.若△BDE與△CEF相似，求t的值.【解】∵F是直線x＝t與拋物線C1的交點，∴F(t，t2－2t－8)．①如圖，當△BE1D1∽△CE1F1時，∠BCF1＝∠CBO.∴CF1∥OB.∵C(0，－8)，∴t2－2t－8＝－8，解得t＝0(舍去)或t＝2；②如圖，當△BE2D2∽△F2E2C時，∠BCF2＝∠BD2E2＝∠BOC＝90°.過F2作F2T⊥y軸于點T.∵∠OCB＋∠OBC＝∠OCB＋∠TCF2＝90°，∴∠TCF2＝∠OBC.返回5.[2024內江節選]如圖，在平面直角坐標系中，一次函數

y＝－2x＋6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交AB于點E.(1)求這條拋物線所對應的函數表達式.(2)是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.【解】存在點D，使得△BDE和△ACE相似．∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.設D(t，－t2＋t＋6)(0<t<3)．①當△ACE∽△BDE時，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC.∴點D的縱坐標為6.∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0(舍去)或t＝1.

∴D(1，6)；②如圖，當△ACE∽△DBE時，∠BDE＝∠CAE.過B作BH⊥DC于H，則∠BHD＝90°.返回6.[2024廣元節選]如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y＝－x2＋bx＋c經過點A(－3，－1)，與y軸交于點B(0，2).類型4有關平行四邊形的分類討論題(1)求拋物線的函數表達式；(2)作拋物線F關于直線y＝－1上一點的對稱圖象F′，拋物線F與F′只有一個公共點E(點E在y軸右側)，G為直線AB上一點，H為拋物線F′對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求點G的坐標.【解】由中心對稱可知，拋物線F與F′的公共點E為直線y＝－1與拋物線F的右交點，∴令－x2－2x＋2＝－1，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1.∴E(1，－1)．∵易得拋物線F：y＝－x2－2x＋2的頂點坐標為(－1，3)，∴拋物線F′的頂點坐標為(3，－5)．∴拋物線F′的對稱軸為直線x＝3.易知直線AB的表達式為y＝x＋2.當BG為邊時，分兩種情況：如圖①，由題知xE－xG＝xH－xB＝3，∴xG＝－2.∴G(－2，0