階段拔尖專(zhuān)訓(xùn)5圓中常見(jiàn)的作輔助線(xiàn)的方法1．如圖，四邊形ADFE和四邊形BCDG都為正方形，且點(diǎn)F，D，C在半圓O的直徑上，點(diǎn)E，A，B在半圓O的圓弧上，若小正方形的邊長(zhǎng)為4，求該半圓的半徑．∵OE＝OA，∴OD＝OF.設(shè)OD＝x，則AD＝DF＝2OD＝2x.∵四邊形BCDG為正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴DC＝4，∠BCO＝90°，∴OC＝OD＋DC＝x＋4.在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2＝x2＋(2x)2＝5x2，2．如圖，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∠DEF＝50°.求∠A的大小．【解】如圖，連接ID，IF，∵∠DEF＝50°，∴∠DIF＝2∠DEF＝100°.∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，CA分別相切于點(diǎn)D，F(xiàn)，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∴∠A＝180°－∠DIF＝180°－100°＝80°.即∠A的大小為80°.3．[2024亳州一模]如圖，OA是⊙O的半徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)AB，OC∥AB，∠OBC＝∠OBA.(1)求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB為⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，∴OA⊥AB.(2)若OC＝3AB，求cosC的值．4．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.∴EC⊥CD.(2)若弦AD，BC的長(zhǎng)是方程x2－6x＋5＝0的兩個(gè)根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點(diǎn)O到AD的距離．5．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，則∠α的度數(shù)為(

)A．150°B．130°C．105°

D．75°【點(diǎn)撥】如圖，在優(yōu)弧AB上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD，

∵四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝105°，∴∠ADB＝180°－∠ACB＝180°－105°＝75°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°.【答案】A6．[2024合肥廬陽(yáng)區(qū)二模]如圖，已知△ABC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線(xiàn)FE交AC于點(diǎn)E，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，DE⊥AC.(1)求證：F是BC的中點(diǎn)；7．如圖①，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD于點(diǎn)D，并與⊙O交于點(diǎn)E.(1)求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；【證明】如圖①，連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)．(2)若DE＝8，DC＝12，求⊙O的