大招8阿波羅尼斯圓及其應用大招總結“阿波羅尼斯圓":在平面上給定兩點A,B,設P點在同一平面上且滿足PAPB=λ,當λ(λ=1時P點的軌跡是線段阿波羅尼斯圓的證明及相關性質AB設A?a由PA=x化簡可得λ同除λ2?1配方得:x所以圓心λ2+1定理:A,B為兩已知點,P,Q分別為線段AB的定比為λ(λ≠1)的內外分點,則以PQ證(以λ>1設AB=AP由相交弦定理及勾股定理知BC是BC=而P,Q,C同時在到A,B兩點距離之比等于λ的曲線(圓)上,不共線的三點所確定的圓是唯一的,因此,圓性質1.當λ>1時,點B在圓O內,點A在圓O當0<λ<1時,點A在圓O內,點B在圓性質2.因AC2=AP?若已知圓O及圓O外一點A,可以作出與之對應的點B,反之亦然.性質3.所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為PQ=2aλ性質4.過點A作圓O的切線AC(C為切點),則CP,性質5.過點B作圓O不與CD重合的弦EF,則AB平分∠EAF反向找點當題目給了阿氏圓和一個定點,我們可以通過下述方法快速找到另一個定點,便于計算令圓O與直線OA相交于M,N兩點設點E為OA上一點,且滿足由阿氏圓定理AN則AN所以λOE=(1+同理AM所以λOE=(1?由(1)(2)消OA得:2λOE=2R,即由(1)(2)消R得:OA因此,滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點A的連線上,且ROE=λ典型例題例1.(2006-四川)已知兩定點A(?2,0),B(1,0),如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(）

A.π B.解：已知兩定點A(?2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,設P所以點的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓,所以點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π故選B.例2.(2021春-涪陵區校級月考)滿足條件AB=4,AC=2BC解：方法1:設BC=x,則AC=2由于三角形ABC的面積為S=12?4?x?sin?B=2再利用二次函數的性質可得,當x2=809時,故答案為:163方法2:求出C點軌跡,實際就是阿氏圓.例3.(2018-武漢模擬)已知BC=6,AC=2AB,點D滿足AD=2xx+y解：BC=6,AC=2AB,點D滿足AD=2xx+yAB+y2(x+y)AC=x兩邊平方化簡可得m2即有A在以(?5,0)為圓心,4為半徑的圓上運動,則|ADf(可得fx即fx故答案為:4.例4.已知圓O:x2+y2=9,點B(?5,0),在直線OB上存在定點A(不同于點B),滿足對于圓0上任意一點解：由PAPB=OPOB?PAPB例5.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,0)、B(4,0),若直線x?y+m解：由|PA|=12|r=cλλ2?1,λ=2,c易得阿氏圓圓心0(0,0),半徑r=2，所以d例6.已知圓O:x2+y2=4上的動點M和定點A(?1,0),B(2,2),則2|MA|+|MB|的最小值為()

解：欲求2|MA|+|MB|,需考慮將兩線段前系數變成1:1，則需將2|MA|+|MB|,確定另一個定點E.只需過A作AO垂線,與圓相交于D,過D作圓切線交所以2|MA|+|MB例7.已知a,b是平面內互相垂直的單位向量,若向量c滿足|c?解：設a=OA,b=OB,c=OC,a

|CD∣+2|CB∣,由于B、D兩點均在圓外,因此將|所以|CD例8.設雙曲線x216?y2b2=1的左右兩個焦點分別為F1、F2,P是雙曲線上任意一點,過F1的直線與∠F1PF2解：曲線E的軌跡方程為:x2+

例9.如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,點E在棱AB上,BE=2AE,動點P滿足BP=3PE.若點P在四邊形ABCD內運動,則點P解：由題意易知P的軌跡為圓,又P在四邊形ABCD內運動,所以P的軌跡為一段圓弧,由阿圓求半徑與圓心的方法,易得圓心為原點A,半徑r=23,設圓與四邊形ABCD相交于G、H兩點,則P的軌跡是圓弧,由cos?∠DAG=AD若P在長方體內部運用,則P點軌跡是阿氏球的一部分,且球半徑為2因此先算出A到面FB1C的距離就可以得到P到平面的最小距離,M到平面的距離,也就是高的最小值是d用等體積法得到:d得到d此時V已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4,點P在平面解：以A為坐標原點,在A1Px8xx以52,0為圓心轉到立體幾何,P在以E為球心,32EFr∴==自我檢測已知圓,定點,其中為圓上的動點,則的最小值為答案：看能否找到一定點,使設若,則與題意不符則尋找設,則.則2.（2015-湖北）如圖,圓與軸相切于點,與軸正半軸交于兩點,（在的上方）,且.（1）圓的標準方程為（2）過點任作一條直線與圓相交于M,N兩點,下列三個結論:（1）;（2）;（3）..其中正確結論的序號是.（寫出所有正確結論的序號）答案：(1)圓與軸相切于點圓心的橫坐標,取AB的中點,,則,即圓的半徑,圓心,則圓的標準方程為,故答案為:.圓心,又,且為AB中點,在圓上,可設,,,同理可得,,(1)成立,,(2)正確.,(3)正確.故答案為:(1)(2)(3).3.（2013江蘇）在平面直角坐標系xOy中,點,直線,設圓的半徑為1,圓心在上.（1）若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線方程;（2）若圓上存在點,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.答案：(1)由題設,圓心在上,也在直線上,設切點的橫坐標為,.由題,當斜率存在時,過點切線方程可設為,即,則,解得:,(4分)又當斜率不存在時,也與圓相切,所求切線為或,即或;（2）設點,由,化簡得:,點的軌跡為以為圓心,2為半徑的圓,可記為圓,又點在圓上,圓與圓的關系為相交或相切,,其中,,解得:.4.已知平面內的動點到兩定點,的距離之比為2:1.（I）求點的軌跡方程;（II）過點作直線,與點的軌跡交于不同兩點A,B,O為坐標原點,求的面積的最大值.答案：（I）設動點到兩定點的距離之比為2:1,,化簡得,所求的點的軌跡方程為.（II）由題設知直線AB斜率存在且不為零,設直線AB方程為由,消去得,,由,解得,,,令,考察函數,當,即時取等號,此時,即的面積的最大值為15.已知點到兩個頂點距離的比為（I）求動點的軌跡的方程;（II）過點的直線與曲線交于不同的兩點,,設點關于軸的對稱點為（,兩點不重合）證明:點,,在同一條直線上..答案：（I）解:設,則點到兩個頂點距離的比為,,整理得,動點的軌跡的方程是;（II）證明:由題意,直線存在斜率,設為,直線的方程為代人,化簡得,,可得.設,則,且,,在同一條直線上.6.(2021?浙江省寧波市理州中學高三其他)已知向量滿足,則的取值范圍是答案：由可知,設由,可知點在單位圓上.因此此時位于處.又所以,又,當且僅當位于時取等.因此7.如圖,已知平面是直線上的兩點,,是平面內的兩點,且,是平面上的一動點,且直線.與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是（）A.B.C.D.1答案：由題意易得PD與平面所成角為與平面所成角為點軌跡為阿氏圓.又二面角的平面角為由圖可知,當PB與圓相切時,最大,此時,本題選B8.如圖,AB是平面的斜線段,為斜足,點滿足,且在平面內運動,則（）A.當時,點的軌跡是拋物線B.當時,點的軌跡是一條直線C.當時,點的軌跡是橢圓D.當時,點的軌跡是雙曲線拋物線答案：由當時,動點在線段AB的中垂面上,又在平面上,此時動點的軌跡為直線;當時,動點的軌跡在空間為阿氏球,同時又在平面上,所以,動點的軌跡為平面截球所成的圓所以本題選B.已知為中線,,求面積的最大值9.方法1:設.設三角形的頂角,則由余弦定理得,根據公式三角形面積,當時,三角形面積有最大值6.故答案為:6.方法2:把BD當做定點,結合條件發現,故點的軌跡是一個圓,如圖所示因,且面積的最大的高為半徑,面積曽最大為6.將AB看做定點,則點軌跡為一個圓,故相切時角度取到最大,,故,此時.平面向量滿足,則與夾角最大值為答案：如圖,與夾角即為,因,且,將AB看做定點,則點軌跡為一個圓,故相切時角度取到最大,,故,此時.11.已知平面向量滿足,則的最小值為答案：方法1:利用向量的絕對值(三角)不等式,即方法2:建系,設,則,問題就變為到的距離的2倍與到點的距離和,如圖,即.由于的軌跡是單位圓,故尋找一點,使得故最小值為BM的距離,即.12.已知的面積為,則BD的最小值為答案：方法1:解:如圖,設,由,得,設,由余弦定理可得:,得,(1)由的面積為3,得,即,(2)聯立(1)(2),得,,令,則,,即,得,由,解得或(舍).即,得,的最小值為.故答案為:.方法2:由題意.由阿氏圓定理知,點在圓上,其中點在直線BD上且圓的半徑為,因此,,解得:.13.如圖,已知平面是直線上兩點,且是平面上的一動點,且有,則四棱錐體積的最大值為答案：由題意,在中,,同理,因為,則,所以,則點動點的軌跡為阿氏圓,且半徑,故.14.(2021秋-麗水期末)已知橢圓的右焦點為,上頂點為,點在圓上,點在橢圓上,則的最小值是答案：方法1:橢圓的,右焦點為,左焦點為,上頂點為,點在圓上,可設,表示點與的距離,由橢圓的定義可得,當且僅當三點共線上式取得等號,故的最小值是,故答案為:.方法2:設橢圓左焦點為,則,故,由題意知,反向找點則15.(2021-衡陽一模)阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓,后人將此圓稱為阿氏圓.若平面內兩定點A,B間的距離為4,動點滿足,則動點的軌跡所圍成的圖形的面積為最大值是答案：方法1:以經過A,B的直線為軸,線段AB的中垂線為軸,建立平面直角坐標系如圖所示,則,設,因為,所以,化簡整理可得,所以點的軌跡為圓,圓心為,半徑,故其面積為;,即OP即為圓上的點到坐標原點的距離,因為,所以OP的最大值為,所以的最大值為.故答案為:.方法2:根據阿波羅尼斯圓的結論,兩點距離故其面積為;圓心為,,得到點坐標為剩下用極化恒等式可以得到,所以的最大值為.16.(2021秋-黃石月考)古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得,阿基米德齊名.他發現:“平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓,在平面直角坐標系xOy中,,點滿足.設點的軌跡為,下列結論正確的是（）A.當A,B,P三點不共線時,射線PO是的平分線B.在上存在點,使得C.在軸上不存在異于A,B的兩定點D,E,使得D.的方程為答案：:當A,B,P三點不共線時,由,