射洪中學高2025屆高三二模考試數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡對應題號的位置上。寫在本試卷上無效。4.考試結束后，將答題卡交回。第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．在遞增的等比數列中，，，則數列的公比為（

）A． B．2 C．3 D．43．已知復數，其中，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知非零向量，滿足，若，則在方向上的投影向量坐標為（

）A． B． C． D．5．已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右頂點分別為，過左焦點作斜率為的直線，若直線與以為直徑的圓相切，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．在平行四邊形中，，，，是的中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知函數，有5個不相等的實數根，從小到大依次為，，，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題6分，共18分，全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選或不選得0分）9．某飲料廠商開發了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”．甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則（

）A．事件A和事件B是對立事件 B．事件A和事件C是對立事件C． D．10．聲音源于物體振動所產生的、能夠激發聽覺的波動．為了有效地消除噪聲，人類研發了主動降噪的技術，該技術的原理是通過電子設備模擬產生一種與目標噪聲頻率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差為的奇數倍）的聲音，理論上就可以和噪聲完全抵消．某一目標噪聲的數學模型函數是，則可以作為降噪模擬聲的數學函數模型有（

）A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點為F，過x軸下方一點作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，直線PA，PB分別交x軸于M，N兩點，則下列結論中正確的是（

）A．當點P的坐標為時，則直線AB方程為B．若直線AB過點F，則四邊形PMFN為矩形C．當時，D．時，面積的最大值為4第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12．某班從含有3名男生和2名女生的5名候選人中選出兩名同學分別擔任正、副班長，則至少選到1名女生的概率.13．在中，點分別在邊上，，且，則.14．若函數（其中），方程在上有解，則的最小值為.四、解答題（共5個小題，共77分。解答應寫出文字說明、計算或證明過程）15．（13分）設函數．(1)若恒成立，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，當時，函數的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．▲16．（15分）已知地物線，直線．當時，與有且僅有一個交點．(1)求的方程；(2)若與交于兩個不同的點，設的中點為，過點平行于軸的直線與交于點，求．▲17．（15分）在三棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，.(1)求證：平面；(2)求異面直線與的夾角的余弦值；(3)設點是三棱錐外接球上一點，求到平面距離的最大值.▲18．（17分）年月日國家市場監督管理總局第次局務會議審議通過《食品安全抽樣檢驗管理辦法》，自年月日起實施．某地市場監管部門對當地一食品廠生產的水果罐頭開展固形物含量抽樣檢驗，按照國家標準規定，在一瓶水果罐頭中，固形物含量不低于為優級品，固形物含量低于且不低于為一級品，固形物含量低于為二級品或不合格品．(1)現有瓶水果罐頭，已知其中瓶為優級品，瓶為一級品．（ⅰ）若每次從中隨機取出瓶，取出的罐頭不放回，求在第次抽到優級品的條件下，第次抽到一級品的概率；（ⅱ）對這瓶罐頭依次進行檢驗，每次檢驗后不放回，直到區分出瓶罐頭的等級時終止檢驗，記檢驗次數為，求隨機變量的分布列與期望；(2)已知該食品廠生產的水果罐頭優級品率為，且各件產品是否為優級品相互獨立，若在次獨立重復抽檢中，至少有次抽到優級品的概率不小于（約為），求的最小值．▲19．（17分）對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的生成函數.(1)定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足.（Ⅰ）求證：是數列的生成函數；（Ⅱ）求數列的前n項和.已知是數列的生成函數，且.若數列的前n項和為，求證：（，）.▲

參考答案一、選擇題題號1234567891011答案ABBBCCADBCABABD二、填空題：12、13、214、15．【詳解】（1）函數的定義域為，不等式，令，依題意，恒成立，，當時，；當時，，函數在上遞增，在上遞減，，則，所以實數a的取值范圍是.（2）由函數，求導得，由，得，當時，，函數在上單調遞減，，解得，無解；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，解得，符合題意，所以存在實數a，當時，函數的最小值是2，.16【詳解】（1）當時，聯立，得．因為與有且僅有一個交點，所以，解得．所以的方程為．（2）聯立，得．因為與交于不同的兩點，所以，即．設，，因為，所以．．，所以．【詳解】（1）在中，因為，滿，所以；因為平面平面，平面平面平，故平面；又因為平面，所以.因為是等腰直角三角形，，所以.又平面平面，所以平面.（2）如圖，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，以垂直平面的直線為軸建立空間直角坐標系，取的中點，則，且，則點的坐標為.又，則，，，，，故異面直線與的夾角的余弦值為.（3）設三棱錐外接球的球心的坐標為，則由，可得，解得，即.球的半徑，由（1）知，平面，則平面的一個法向量為，又因為，則球心到平面的距離為.故點到平面距離的最大值為.18．【詳解】（1）（ⅰ）設第次抽到優級品為事件，第次抽到一級品為事件，則．（ii）根據題意可知的取值可能為、、、．則，，，．則的分布列為：所以．（2）設在次抽檢中至少有次抽到優級品的概率為，則，其中，因為，所以在單調遞增．注意