/四川省南充市2025屆高三下學期高考適應性考試（二診）數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數，則（

）A．0 B． C．2 D．3．在遞增的等比數列中，，，則數列的公比為（

）A． B．2 C．3 D．44．已知的內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，.則（

）A．2 B．3 C． D．5．已知非零向量，滿足，若，則在方向上的投影向量坐標為（

）A． B． C． D．6．若直線與曲線有公共點，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知正三棱錐底面邊長為2，其內切球的表面積為，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知函數，有5個不相等的實數根，從小到大依次為，，，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖所示為函數（，）的部分圖象，則下列說法正確的是（

）A．B．在區間上單調遞增C．將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象D．方程在上有三個根10．數學家波利亞說過：為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系.根據波利亞的思想，由恒等式（m，）左右兩邊展開式（其中，，）系數相同，可得恒等式，我們稱之為范德蒙德恒等式，下列關于范德蒙德恒等式說法正確的是（

）A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點為F，過x軸下方一點作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，直線PA，PB分別交x軸于M，N兩點，則下列結論中正確的是（

）A．當點P的坐標為時，則直線AB方程為B．若直線AB過點F，則四邊形PMFN為矩形C．當時，D．時，面積的最大值為4三、填空題（本大題共3小題）12．某班從含有3名男生和2名女生的5名候選人中選出兩名同學分別擔任正、副班長，則至少選到1名女生的概率.13．已知，為雙曲線的左、右頂點，直線與雙曲線C的左支相交于一點M，滿足，則雙曲線C的離心率的值為.14．若函數（其中），方程在上有解，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．某公司在年終總結大會上開展了一次趣味抽獎活動.活動規則為：先在一個密閉不透光的箱子中裝入6個標有一定金額的球（除標注金額不同外，其余均相同），其中標注金額為10元、20元、50元的球分別有3個、2個、1個.若員工甲每次從箱子中隨機摸出1個球，記下摸出的球上的金額數，摸m次.規定：摸出的球上所標注的金額之和為其所獲得的抽獎獎金總金額.(1)若，設員工甲獲得的金額，求的分布列和數學期望；(2)若，采用有放回方式摸球，設事件“員工甲獲得的總金額不低于40元”，求.16．如圖，三棱柱中，側棱底面，且各棱長均為2.分別為棱的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知，函數，.(1)若，求函數的極值；(2)設，是的導數，是的導數，，圖像的最低點坐標為，對于任意正實數，，且，恒成立.求實數m的最大值.18．已知、F分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓C上，且的面積為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l與線段AF相交于S，與橢圓交于P、Q兩點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求點P的坐標.19．對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的生成函數.(1)定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足.（Ⅰ）求證：是數列的生成函數；（Ⅱ）求數列的前n項和.(2)已知是數列的生成函數，且.若數列的前n項和為，求證：（，）.

參考答案1．【答案】A【詳解】由，，所以.故選：A.2．【答案】C【詳解】因為，所以，所以.故選：C.3．【答案】B【詳解】由題設，易知是方程的兩個根，又為遞增的等比數列，所以，故公比.故選：B4．【答案】D【詳解】由于三角形的內角和為，即：,已知，所以：，代入到中，得到：，展開并化簡：,即，整理得到：，即，根據正弦定理：,即.故選：D.5．【答案】B【詳解】首先，向量的坐標為(2,0)，其模長為2，因此，根據條件，即它們的數量積為零：展開數量積：,即：因此：,代入已知條件：因此，在方向上的投影向量坐標為(2,0)，故選：B.6．【答案】C【詳解】由得，因此曲線是圓的左半部分（直線左側），

當直線過點時，，當直線與圓相切時，，，由圖知當直線與曲線相切時，，所以的范圍是，故選：C．7．【答案】A【詳解】已知內切球表面積，則，解得.設正棱錐的頂點在底面上的射影為，取中點，連接.因為正棱錐的性質，平面，，根據三垂線定理可得，所以就是二面角的平面角.底面是邊長為的正三角形，則.設正棱錐的體積為，表面積為.底面的面積.側面中，，，則側面面積，正棱錐的表面積.根據等體積法，即化簡，即，.兩邊平方：整理得到，即，解得（舍去）或.在中，，，，所以.二面角的余弦值為.故選：A.8．【答案】D【詳解】因為當時，，所以，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，所以，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，作出函數的圖象，如圖所示：由此可得，當時，令，解得或，所以，又因為，所以，所以；由題意可得，，是方程，即的三個根，所以，即，所以，即，所以．故選：．9．【答案】AC【詳解】觀察圖象，得的最小正周期，解得，由，得，而，解得，對于A，，A正確；對于B，當時，，當，即時，取得最大值，因此在區間上不單調，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，當時，，由，得或，因此方程在上有2個根，D錯誤.故選：AC10．【答案】BCD【詳解】根據范德蒙德恒等式，而不是.例如時，左邊，右邊，此時，A錯誤.對于，這里.根據范德蒙德恒等式，此時，.所以，B正確.對于，這里.由范德蒙德恒等式，，.所以，C正確.對于，可以看作（因為）.這里，，根據范德蒙德恒等式，而.所以，D正確.故選：BCD.11．【答案】ABD【詳解】方程變形為，則.設，，直線的方程：，即，同理可得直線的方程：，點在直線和上，∴，，∴的方程為，聯立，得①，由韋達定理得，，②.對于選項A，當為時，，故A正確；對于選項B，若直線過點時，，即，，，利用韋達定理，則，∴，同理.由②得，，∴四邊形PMFN為矩形，故B正確；對于選項C，當時，取，方程①變為，即得，，，故C錯誤；對于選項D，當時，由弦長公式得，即，點到直線的距離為，，∴，∴，當取等號，故D正確.故選：ABD.12．【答案】/0.7【詳解】根據題意，從3名男生和2名女生中選出2名學生，有種選法，若選出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女兩種情況，共有種選法，則選出的2人中至少有1名女生的概率為.故答案為：．13．【答案】【詳解】由直線，可知直線的斜率為，且過點，所以，因為，所以，所以，所以，過作軸于點，則，，，所以點的坐標為，因為點在雙曲線上，所以，得，所以，所以，所以離心率.故答案為：14．【答案】【詳解】令，則要，即，兩式相加得，令，則，又因為，所以單調遞增，所以，即，即在上有解．，所以在上單調遞增，所以要，即，則的最小值為原點到直線的距離的平方，即．故答案為：．15．【答案】(1)分布列見解析，20；(2).【詳解】（1）的可能取值為10、20、50，其中，，.故的分布列如下：102050P則數學期望為.（2）采用有放回方式摸球，每次摸到10元的概率為，每次摸到20元的概率為，每次摸到50元的概率為.事件X包含4種情況：兩次均摸到20元；一次摸到10元，一次摸到50元；一次摸到20元，一次摸到50元；兩次均摸到50元.故.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在三棱柱中，，且，連結，在三角形中，因為分別為的中點，所以且，又因為為的中點，可得，且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取線段的中點為，連接，因為側棱底面，且各棱長均相等，所以直線兩兩垂直.以點為坐標原點，所在的直線分別為坐標軸建立如圖所示空間的直角坐標系，由于，則，，，，，所以，，，設平面的法向量，則，所以，設，則，所以，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)極大值，極小值(2).【詳解】（1）當時，，，，當時，，當或時，，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增.在處取得極大值，在處取得極小值.（2）由題意，得，則，當且僅當時，等號成立.，解得，所以.又恒成立，設所以.令，則，即，，，因為，所以在上單調遞減.所以.所以最大的實數.18．【答案】(1)(2)（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）或【詳解】（1）由的面積為，得，解得，所以①，又點在橢圓C上，所以②，聯立①②解得，所以橢圓C的標準方程為.（2）設，，，聯立方程，消x得：，直線l與線段AF交于S點，則，所以，，（Ⅰ）因為，所以，（Ⅱ）由得：，即，又.所以，所以，則，所以，又，所以，所以