第七章圖形的變化

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分

1.【原創(chuàng)題】古典園林中的花窗通常利用對(duì)稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對(duì)稱美.下面四個(gè)花窗圖案，既是軸對(duì)稱圖形又

是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形定義，關(guān)鏈?zhǔn)钦莆杖绻粋€(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后

兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.如果?個(gè)圖形繞某?點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后

能夠與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

2.如圖是一個(gè)由6個(gè)相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)主視圖的定義判斷.

【詳解】根據(jù)主視圖的定義，從正面（圖中箭頭方向）看到的圖形應(yīng)為兩層，上層有2個(gè)，下層有3個(gè)小

正方形,

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查主視圖的定義，注意觀察的方向，掌握主視圖的定義判斷是解題的關(guān)鍵.

3.在直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)A(m,2)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B.若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和

縱坐標(biāo)相等，則m=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)平移方式確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等列方程，解方程即可.

【詳解】解：???點(diǎn)4(m,2)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)3,

:.B(m+1,2+3),即+1,5),

???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，

???m+1=5,

???TH=4,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的平移，一元一次方程的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)

系內(nèi)點(diǎn)平移時(shí)坐標(biāo)的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右加左減，縱坐標(biāo)上加下減.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活一利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

4.如圖，小兵同學(xué)從4處出發(fā)向正東方向走3米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，己知乙=則4

C兩處相距()

米B.上米米米

A.sinacosaC.%?sinaD.x-cosa

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余充值的定義即可求出答案.

【詳解】解：小兵同學(xué)從4處出發(fā)向正東方向走“米到達(dá)8處，再向正北方向走到C處,

Z.ABC=90°,AB=x米.

AB

ma=就，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角

三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.

5.如圖，把△48C以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4DE,點(diǎn)力C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，E,且點(diǎn)E在BC

的延長線上，連接BD,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.Z-CAE=Z-BEDB.AB=AEC.Z-ACE=Z-ADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

可得力8=4。，AC=AE,BC=DE,

無法證明48=/E,CE=BD,故B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意，

Z.ABC=￡.ADE

LACE=￡ABC+Z.BAC

??.Z4CE=N4DE+ZB4C,故C選項(xiàng)不符合題意，

Z-ACB=/-AED

vZ.ACB=￡.CAE+Z.CEA

vLAED=Z-CEA+乙BED

LCAE=LBED,故A選項(xiàng)符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

6.【原創(chuàng)題】如圖，對(duì)正方體進(jìn)行兩次切割，得到如圖⑤所示的幾何體，則圖⑤幾何體的俯視圖為（）

①②③④⑤

【答案】A

【分析】根據(jù)俯視圖的定義，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解.：根據(jù)題意可得：從該幾何體正上方看，棱AE的投影為點(diǎn)區(qū)棱48的投影為線段8E,棱A0的

投影為線段ED，棱4c的投影為正方形BCDE的對(duì)角線，

故選:A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了俯視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握俯視圖的定義：從物體正上方看到的圖形是俯視

圖.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABCD的邊4D=5,04。。=1:4,將矩形/BCD沿直線0E折疊到如圖

所示的位置，線段0Q恰好經(jīng)過點(diǎn)8,點(diǎn)。落在y軸的點(diǎn)Ci位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

A.(1,2)B.(-1,2)C.(V5-1,2)D.(1一遍,2)

【答案】D

【分析】首先證明A/lOB?求出力B=CO=2,連結(jié)0C,設(shè)8C與。Ci交于點(diǎn)F,然后求出

7

0C=0Cr=2V5,可得G/=2遙一2,再用含E尸的式子表示出EQ,最后在RtaE/Ci中，利用勾股定理

構(gòu)建方程求出E尸即可解決問題.

【詳解】解：?矩形48co的功4。=5.OA-.OD=1:4,

：.0A=1,0D=4,BC=5,

由題意知48II0G，

LABO=乙D]OG，

又?「△BAO==90°,

:.AAOBDiGO,

?OAD】Ci

??布-0DJ

由折疊知。。1=。0=4,DG=DC=AB,

?IAB

?A?B49

：.AB=2,即CD=2,

連接OC,設(shè)8c與OCi交于點(diǎn)F，

OC=y/OD24-CD2—V424-22=2V5?

?：LFOA=乙OAB=iABF=90°,

???四邊形。力BF是矩形，

：.AB=OF=2,乙BFO=90°=乙EF(\,OA=BF=1,

/.CF=5-1=4,

由折置知。Q=OC=2V5,EC±=EC=CF-EF=4-EF,

：.CiF=OC、-OF=2遍-2,

???在RtaEFCi中，EF2+C/2=EC/,

：.EF2+(2V5-2)2=(4-")2,

解得：EF=近一1,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1一遍,2),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知

識(shí)，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出力8的長是解題的關(guān)鍵.

8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三視圖判斷圓柱上面放著小圓錐，確定具體位置后即可得到答案.

【詳解】解：由主視圖和左視圖可以得到該幾何體是圓柱和小圓錐的復(fù)合體，

由俯視圖可以得到小圓錐的底面和圓柱的底面完全重合，

故選:D.

【點(diǎn)睛】題考查了由三視圖判斷兒何體，解題時(shí)不僅要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還應(yīng)有一定的生活經(jīng)驗(yàn).

9.如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=ah時(shí)，若A/18E平移到△OCT,a=4,h=3,則4

ABE的平移距離為（）

A.3B.4C.5D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)平移的方向可得，平移到△/）",則點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，故△ABE的平移距離為4。的長.

【詳解】解：用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=a/i時(shí)，將△48E平移到

故平移后點(diǎn)力與點(diǎn)。重合，則4力BE的平移距離為AD=a=4,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì),熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.【創(chuàng)新題】如圖，四邊形48co為正方形，將△EDC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△H8C,點(diǎn)。，B,H在同一

直線上，HE與AB交于點(diǎn)、G,延長Z/E與CD的延長線交于點(diǎn)凡HB=2,HG=3.以下結(jié)論：

①“DC=135°；②EC?=CD-CF；③HG=EF；④sin“ED=—.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證

明得到啜=令即8=曙=?,利用是等腰直角三角形，求出“￡=畢，

HBnGHB22

再證明aA/GB?△“0尸即可求出"=3可知③正確；過點(diǎn)E作EM1FZ）交尸力于點(diǎn)M,求出sin"/C=

嗡=多再證明NOEC=4"C,即可知④正確.

EF3

【詳解】解：?.?△EOC旋轉(zhuǎn)得到△HBC,

，乙EDC=LHBC,

為正方形，D,B,"在同一直線上，

.??/H8C=180。-45。=135°,

???/EDC=135°,故①正確;

??NEDC旋轉(zhuǎn)得到^HBC,

?.EC=HC,LECH=90°,

??/HEC=45。，

/.zFFC=1800-45o=135°,

":&ECD=^ECF,

“EFC"DEC,

.竺_￡￡

**LC~~EC"

：.EC2=CD-CF,故②正確：

設(shè)正方形邊長為小

■:乙GHB+乙BHC=45。,乙GHB+乙HGB=45。,

:.乙BHC=LHGB=LDEC,

???，G8H=4￡DC=135°,

A△GBHs^EDC,

.?.￡￡=空，即EC=""=四，

HBHGHB2

??N"EC是等腰直角三角形，

2

■:乙GHB=LFHD,乙GBH=^HDF=135。,

：.△HBGFHDF,

常嚼，即嬴=赤，解得：打=3,

":HG=3,

：,HG=EF,故③正確；

過點(diǎn)上作EM1FD交FD于點(diǎn)M,

???/EOM=45。，

■:ED=HB=2,

:.MD=ME=&,

VEF=3,

..ME42

..sinzFFC=—=y,

VzDEC+zDCE=45°,Z-EFC+￡DCE=45°,

:,乙DEC=幺EFC,

.*.sinz.DFC=sinzEFC=答=字故④正確

綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形求解.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.點(diǎn)八（1,-5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

【答案】（-1,5）

【分析】根據(jù)若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即可求解.

【詳解】解：??,點(diǎn)A（1,-5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)從

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-1,5）.

故答案為：（-1,5）

【點(diǎn)睛】本題.主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征，熟練掌握若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,

橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

12.【創(chuàng)新題】如圖，在扇形40E中，點(diǎn)C,。在腦上，將6沿弦CD折疊后恰好與。力，0B相切于點(diǎn)E,

F.已知乙408=120°,0A=6,則酢的度數(shù)為；折痕CD的長為.

OFB

【答案】60。/60度4a

【分析】根據(jù)對(duì)稱性作。關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)M,則點(diǎn)。、E、F、8都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再

結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解口J可.

【詳解】作O美于C。的對(duì)稱點(diǎn)M,則ON=MN

連接M。、ME、MF、MO,MO交CD千N

???將6沿弦CD折疊

???點(diǎn)。、E、F、8都在以M為圓心，半徑為6的圓上

???將6沿弦CD折疊后恰好與04,0B相切于點(diǎn)E,F.

：.ME1.OA,MF上OB

：.LME0=乙MFO=90°

??Z0B=120°

四邊形MEOF^^EMF=360°-乙40B-乙MEO-乙MFO=60°

即用的度數(shù)為60°；

,：LME0=Z.MFO=90°,ME=MF

/.△MEO=△MFO(HL)

：.LEMO=乙FMO=-Z.FME=30。

2

OM=———=-J=4-\/3

COSZEMOCOS300

：.MN=2V3

,：MO1DC

:.DN=>JDM2-MN2=J62-(275)2=2>/6=\CD

：.CD=4V6

故答案為：60°：4V6

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理：熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活一利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

13.某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)星直立在水平地面，的旗桿A6的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面_L

(如圖).同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在

同一直線上，ABA.BC,DEJ,EF,OE=2.47m,則A4=m.

【答案】9.88

【分析】根據(jù)平行投影得AC〃OE，可得NACB=NQFE,證明R/MBCs△心然后利用相似三角

形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是8C=8.72m,EF=2.18m.

：.AC//DF,

:.ZACB=ZDFE,

*：AB±BC,DEYEF,

???ZABC=ZDEF=90%

/.Ri&ABCsRmDEF,

.ABBCAB8.72

??法=正,即nn行=五？

解得48=9.88,

???旗桿的高度為9.88m.

故答案為:9.88.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在

太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.證明尸是解題的關(guān)鍵.

14.在A4BC中，Z.C=90°,Q、b、c分別為4/1、乙B、的對(duì)邊，若/=QC,則sinA的值為.

【答案】孝

【詳解】解：如圖所示:

B

222

在股△A8C中，由勾股定理可知：a+b=ct

ac—b2,

???dz+ac=c2,

a>0,b>0,c>0,

...等f即：廿+?L

求出巴二二氈或g=二二四(舍去)，

c2c2

.?.在中：siivl-巴一士理

C2

故答案為：二步.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)

44的鄰邊4A的對(duì)邊

鍵.在中，sin.=/曙力cos/1=tan/1=

斜邊斜邊4A的鄰邊

15.如圖，在RtZVlBC中，NACB=90。，AC=BC=272,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在AC上，且CP=

1，將C尸繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋粘，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ,DQ.當(dāng)zMOQ=9()c時(shí)，的K

為.

【答案】而或g/g或通

【分析】連接CD,根據(jù)題意可得，當(dāng)NAOQ=90。時(shí)，分Q點(diǎn)在線段CD上和DC的延長線上，且CQ=CP=

1,勾股定理求得AQ即可.

【詳解】如圖,連接CD,

???在RlAABC中，NACB=90。，AC=BC=272,

AB=4,CD1AD,

CD=-AB=2,

2

根據(jù)題意可得，當(dāng)NAOQ=90。時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，且CQ=CP=1,

.-.BQ=CD-CQ=2-1=1,

如圖，在Rt△力OQ中，AQ=y/AD2+DQ2=V22+I2=x^5,

在Rta/WQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

AQ=JAD2+DQ2=/22+32=V13

故答案為：后或JU

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，確定點(diǎn)Q的位置是解題的關(guān)

鍵.

16.如圖，在△48C中，。是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)力為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分

別交力。于點(diǎn)M,N；②以點(diǎn)。為圓心，以長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)、M\③以點(diǎn)為圓心，以MN

長為半徑作弧，在NB/C內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)M：④過點(diǎn)"作射線。”交BC于點(diǎn)￡若ABDE與四邊形

力CEO的面積比為4:21,則當(dāng)?shù)闹禐?

【答案】|

【分析】根據(jù)作圖可得=然后得出。EMC,可證明△8DE-A8AC,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得NB/)E=/4

：.DE\\AC,

△BDEBAC?

???△8。￡與四邊形力。￡。的面枳比為4:21,

?SABDC=_4_=（些Y

S^BAC-21+4-\BcJ

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與枉似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.先化簡，再求值：+1一六)+喑出，其中a=tan45>+C)T-TT°

【答案】三，0

a+2

【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)號(hào)和零次制的

性質(zhì)求出小最后代入計(jì)算.

【詳解】解：(Q+1一六)+貯筌

_/a2-1___3_\二(a+2產(chǎn)

\a—1a—1/a—1

a2-4(a+2)2

=---------------

a—1a—1

(a+2)(a—2)a—1

=(a+2產(chǎn)

=匕

a+2

*/G=tan45°+(1)-1—n°=l+2—1=2,

二原式二”|二分=0.

a+22+2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，銳角三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)某和零次幕的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZiABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,3),B(4,4),C(2,1).

(1)把△/8C向左平移4個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A/B/G，請(qǐng)畫出平移后的△48/G；

(2)把AABC繞原點(diǎn)O旋*180。后得到對(duì)應(yīng)的AA262c2，請(qǐng)畫出旋粘后的△/1262c2；

（3）觀察圖形可知，△A/8/G與AA282C2關(guān)于點(diǎn)（，）中心對(duì)稱.

「_「_「一-一I一1一一-rT-

L_L_L_」_」____L\_1__」_」_」

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【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）-2,0.

【分析】（1）依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的△4/BQ/；

（2）依據(jù)A/WC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。，即可畫出旋轉(zhuǎn)后的△42&C2；

（3）依據(jù)對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)的位置，即可得到對(duì)稱中心的坐標(biāo).

【詳解】解：（1）如圖所示，分別確定4B,C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,當(dāng)，6,

得到△A/8/G即為所求；

（2）如圖所示，分別確定4,8,C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4,82,。2，

得到282c2即為所求；

（3）由圖可得,△A/B/G與AA282G關(guān)于點(diǎn)（-2,0）成中心對(duì)稱.

故答案為：?2,0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平移，旋轉(zhuǎn)的作圖，以及判斷中心對(duì)稱的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，掌握以上知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

19.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師要求學(xué)生將圖I所示的3x3正方形方格紙，剪掉其中兩個(gè)方格，使之成為軸

對(duì)稱圖形.規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，加圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰

請(qǐng)?jiān)趫D中畫出4種不同的設(shè)訂方案，將每種方案中要剪掉的兩個(gè)方格涂黑（每個(gè)3x3的正方形方格畫一

種,例圖除外）

rmrmrm

httlhttl

H圖3

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念作圖即可得.

【詳解】解：根據(jù)剪掉其中兩個(gè)方格，使之成為軸對(duì)稱圖形；即如圖所示:

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活一利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

20.我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座占塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最占老的寶塔.小

明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)C的仰角=45。，再

沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至8處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角“BE=53°,AB=10m；小亮在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿"G,

小亮的所在位置點(diǎn)。、標(biāo)桿頂尸、最高點(diǎn)C在一條直線上，F(xiàn)G=1.5m,GD=2m.（注：結(jié)果精確到

0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.799,cos53°?0.602,tan53°?1.327)

ABEe

⑴求阿育干塔的高度CE:

⑵求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

【答案】⑴40.58m

(2)54.11m

【分析】⑴在CEB中，由353。二號(hào)=品，解方程即可求解.

oCL￡—JLU

(2)證明RtAFGD根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)在RtAS4E中，Vzf/1F=45O,

：.CE=AE.

'：AB=10,

：.BE=AE-10=CE-10.

在股△CEB中，由tan53o=空二-^,

BECE—10

得tan530(CK-10)=CE,

解得CE?40.58.

經(jīng)檢驗(yàn)CE?40.58是方程的解

答：阿育王塔的高度約為40.58m.

(2)由題意知RtZkFGD-RCACED,

,FGGD

??，

CEED

即旦=2_,

40.58ED

:.ED?54.11.

經(jīng)檢驗(yàn)ED?54.11是方程的解

答：小亮與阿育王塔之間的距離約為54.11m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【新考法】閱讀理解題

21.中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》由國人自編（圖1）,書中記載了大量幾何

作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：

原文釋義

年乙丙為定直角.

如圖2,NA8C為直角.

以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧；

以點(diǎn)R為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線NC分別于

以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交

點(diǎn)D,E；

點(diǎn)己；

以點(diǎn)。為圓心，以BD長為半徑畫弧與此交于點(diǎn)F；

再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交

再以點(diǎn)E為圓心，仍以80長為半徑畫弧與物Ei交于點(diǎn)G；

點(diǎn)庚：

作射線8r，BG.

乙與己及庚相連作線.

圖1圖2（1）根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中

完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出乙DBG,乙GBF,dBE的大小關(guān)系.

【答案】（1）見解析

（2）LDBG=乙GBF=乙FBE

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）連接DF,EG,可得ABCF和aBEG均為等邊三角形，Z-DBF=^EBG=60°,進(jìn)而可得/DBG=

乙GBF=乙FBE=30°.

【詳解】（1）解：（［）如圖:

(2)乙DBG=乙GBF=乙FBE.

理由：連接OR￡G如圖所示

則BD=BF=DF,BE=BG=EG

即△8。/和48EG均為等邊三角形

:,乙DBF=乙EBG=60°

'：LABC=90°

，乙DBG=乙GBF=乙FBE=30°

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關(guān)鍵.

22.如圖C。是。。直徑，人是。0上異于C,。的一點(diǎn)，點(diǎn)8是DC延長線上一點(diǎn)，連接力8、AC.AD,且

Z.BAC=Z.ADB.

(1)求證：直線是。。的切線；

(2)若BC=20C,求tanz/DB的值；

⑶在(2)的條件下，作“力D的平分線4P交。0于P,交CD于E,連接PC、PD,若AB=2通,求/1E?

AP的值.

【答案】(1)見解析

(2埠

(3)472

【分析】(1)如圖所示，連接。4根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直侑得到/。力。+，。力。=90。，再證明

Z.OAD=z_B4c即可證明結(jié)論;

(2)先證明?△B/0,得到把=些，令半徑。。=。4=丁，則8C=2r,OB=3r,利用勾股定理

ADBA

求出力8=2V2r,解直角三角形即可答案；

(3)先求出。=2遍，在RtAC/lD中，登=［，AC2+AD2=CD2,解得=2,AD=2<2,證明△

AD2

CAP^^EAD,得到生="，ffl/E-AP=AC-AD=472.

AEAD

【詳解】(1)解：如圖所示，連接O八，

???co是O。直徑，

：.￡CAD=90°,

：.LOAC+Z-OAD=90。，

又1?。4=。0,

.\LOAD=Z-ODAt

*：LBAC=Z.ADB,

：.￡OAD=4BAC,

???/B4C+4O4C=90°,即4840=90°,

：,AB1OA,

又1?04為半徑，

???直線?B是O。的切線；

(2)解：'：Z.BAC=Z.ADB,Z.B=ZF,

ABCABAD?

,AC_BC

''AD~嬴’

由BC=2。。知，令半徑OC=OA=r,則BC=2r,05=3r,

在股△84。中，AB=yJOB2-OA2=2&r,

在RtaGW中，tanz/lDC=—=—==

ADBA2\f2r2

即tan乙4DB=苧；

A

B

。/)D

P

(3)解：在(2)的條件下，AB=2y/2r=25/6,

：,CD=2V3,

在力。中，—,AC2+AD2=CD2,

RtZkCAD2

解得24c=2,AD=2V2,

???/IP平分皿D,

：.ACAP=/-EAD,

y.Vz.APC=匕ADE,

ACAPEAD,

?_AC__AP

AE-AD'

：.AE-AP=AC-AD=2x2>/2=4四.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是宜角，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三

角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在△力BC巾，4ABC=30。，48=",點(diǎn)O為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不

與點(diǎn)。，。重合)，將△ACD沿4。折疊得到JA4ED,連接BE.

備用圖

(1)當(dāng)_L8C時(shí)，LAEB=

(2)探究ZAE8與乙之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明;

(3)設(shè)AC=4,的面積為x,以A。為邊長的正方形的面積為戶求)，關(guān)于x的函數(shù)解析式.

【答案】(1)60

(2)LAEB=30°+乙CAD

(3)y=(2V3-%)2+4

【分析】(1)首先由折疊的性質(zhì)可得AC=4E=48,再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

(2)首先由折疊的性質(zhì)可得AE=4C,Z.CAD=^EAD,再由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=4E=48,

Z.ABE=Z/1FF.最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解：

(3)首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求40的長，由勾股定理可求。D的長，最后根據(jù)

面枳和差關(guān)系可求解.

【詳解】(1)v/-ABC=30°,AB=AC,AE1BC,

???/.BAE=60°,

???將AACD沿力。折疊得至IJA/IED,

???AC=AE,

:.AB=AE,

???△ABE是等邊三角形，

:.LAEB=60°,

故答案為：60；

(2)2LAEB=30°+zMD,理由如下：

???將AACD沿折疊得至必AED,

AE=AC,Z.CAD=LEAD,

v/.ABC=30°,AB=AC,

￡BAC=120°,

：.Z.BAE=120°-2^CADt

vAB=4E=ACt

.￡AEB=18。。一(*。-)=30。+“他

(3)如圖，連接04

???AB=AC,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

0A1BC,

v/.ABC=/LACB=30°,AC=4,

/?AO—2,OC=25/3,

-OD2=AD2-AO2,

OD=Jy-4,

S^ADC=^xOCxAO-ODxOA,

x=x2x2V3-1x2xJy-4,

Ay=(2V3—%)2+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用.

24.【創(chuàng)新題】綜合與實(shí)踐

問題情境：在心△/WC中，NE4C=90。，A4=6,AC=8.直角三弟板EDF中NEDF=9。。,將三角板的直角

頂點(diǎn)。放在RQABC斜邊3C的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別與邊A/3,

AC交于點(diǎn)M,N,猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMON的形狀，并說明理

由：

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)乙3=4MOB時(shí)，求線段CN的長；

（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的長.

【答案】（1）四邊形AMQN為矩形；理由見解析；（2）CN=號(hào)（3）AN=y.

【分析】（1）由三角形中位線定理得到MDIL4C,證明NA二NAMQ=NMON=90。，即可證明結(jié)論;

(2)證明△%￡)(7是等腰三角形，過點(diǎn)N作NG_L8C于點(diǎn)G,證明△CGNs^CAB,利用相似三角形的性質(zhì)

即可求解：

(3)延長NQ,使。”=ON,證明△8。“g△COMffiHiBH=CN,ZDBH=ZC,證明NM8”=90。，設(shè)

AM=AN=x,在RiABMH中,利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【詳解】解：(1)四邊形AMDN為矩形.

理由如下：???點(diǎn)M為八月的中點(diǎn),點(diǎn)/Z為8C的中點(diǎn)，

：.MD\\AC,

:.NAMO+NA=180°,

NA=90。，

，ZAA/D=90°,

?/ZEDF=90°,

???/A=/AMD=/MON=90°,

四邊形AMDN為矩形；

(2)在即"BC中，NA=90。，AB=6,AO8,

:.NB+NC=90。，BC=>JAB2+AC2=10.

???點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

：.CD=-BC=5.

2

*/ZEDF=90°,

AZMDB+Zl=90°.

VZB=ZMDB,

AZI=ZC.

:?ND=NC.

過點(diǎn)N作NG_L8C于點(diǎn)G,則NCGN=9()。.

???CG《CD4

???ZC=ZC,ZCGN=ZC48=900.

:,kCGNs&CAB.

竺=竺，即1=竺,

CACB810

,CN=§

9

(3)延長NO至，，使DH=ON,連接NM,BH,

???/)是4c中點(diǎn)，

：.BD=DC,

又?：4BDH=4CDN,

:.△BDH/ACDN,

:?BH=CN,/DBH=/C,

???NBAC=90。，

VZC+ZAfiC=90°,

NDBH+NABC=9()。,

；?NM3〃=90°,

設(shè)AM=AN=x,則BM=6-x,BH=CN=S-x,MN=MH=y/2x,

在取中，BM2+BH2=MH2,

/.(6-A)2+(8-X)2=(V2A)2,

解得.旁，

???線段AN的長為

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第

(3)問的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

25.已知二次函數(shù)丫=一；/+bx+c圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A(1,0),圖像與)，軸交于點(diǎn)8(0,

4

3),C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè))，且NC4D=90。.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，求【an/CDA的值；

(3)點(diǎn)。是否存在其他的位置，使得tanNCDA的