PAGEPAGE1培優點十九幾何概型一、與長度有關的幾何概型一、與長度有關的幾何概型例1：某公司的班車在，，發車，小明在至之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過分鐘的概率是______．【答案】【解析】如圖所示，畫出時間軸．小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中，而當他的到達時間落在線段或上時，才能保證他等車的時間不超過分鐘，依據幾何概型的概率計算公式可得所求概率為．例2：在區間上隨機地取一個數，則事務“”發生的概率為________．【答案】【解析】由，得，得．由幾何概型的概率計算公式可得所求概率為．二、與面積有關的幾何概型二、與面積有關的幾何概型例3：在如圖所示的扇形中，，半圓切于點，與圓弧切于點，若隨機向扇形內投一點，則該點落在半圓外的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，則，因為，所以，設半圓的半徑為，則扇形的半徑為，半圓的面積，扇形的面積為，則所求概率，故選A．例4：圓內有一內接正三角形，向圓內隨機投一點，則該點落在正三角形內的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得，設正三角形的邊長為，則其面積為，其外接球的直徑為，所以其半徑為，所以面積為，由幾何概型的概率計算公式可知所求概率為，故選C．三、與體積有關的幾何概型的求法三、與體積有關的幾何概型的求法例5：在棱長為的正方體中，點為底面的中心，在正方體內隨機取一點，則點到點的距離大于的概率為________．【答案】【解析】記“點到點的距離大于”為，．例6：如圖，在一個棱長為的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現在向魚缸內隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是________．【答案】【解析】魚缸底面正方形的面積為，圓錐底面圓的面積為．所以“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是．四、與角度有關的幾何概型的求法四、與角度有關的幾何概型的求法例7：如圖，在矩形中，，，以為圓心、為半徑作圓弧，點在線段上，在圓弧上任取一點，則直線與線段有公共點的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接交圓弧于點，在中，，，所以，即，要使直線與線段有公共點，則點必需在圓弧上，于是所求的概率為．故選B．例8：在中，，過直角頂點作射線交線段于點，則的概率為________．【答案】【解析】設事務為“作射線，使”．在上取點，使，因為是等腰三角形，所以，事務發生的區域，構成事務總的區域，所以．對點對點增分集訓一、選擇題1．在區間上隨機取一個數，則事務“”發生的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，由，得或，因此所求概率為．故選C．2．在長為的線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，則這個正方形的面積介于與之間的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為以線段為邊的正方形的面積介于與之間，所以線段的長度介于與之間，滿意條件的點對應的線段長，而線段總長為，故正方形的面積介于與之間的概率為，故選B．3．安徽黃山景區，每半小時會有一趟纜車從山上發車到山下，某人下午在山上，打算乘坐纜車下山，則他等待時間不多于分鐘的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】此人在分到分或分到分之間的分鐘內到達，等待時間不多于分鐘，所以他等待時間不多于分鐘的概率為．故選B．4．在直角坐標系中，任取個滿意的點，其中滿意的點有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出可行域，如圖所示，四邊形的面積為，其中圓的面積為．由幾何概型的概率計算公式可得，則，故選D．5．三棱錐的側棱兩兩垂直，為側棱的中點，，分別為棱，上一點，平面，，若從三棱錐內部隨機選取一點，則此點取自三棱錐內部的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為平面，平面，平面平面，所以，所以，即所求概率為．故選C．6．甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠小時，假定他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停岸位時必需等待的概率（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設甲船到達的時間為，乙船到達的時間為，則全部基本領件構成的區域滿意，這兩艘船中至少有一艘在停岸位時必需等待包含的基本領件構成的區域，滿意，作出對應的平面區域如圖所示，則這兩艘船中至少有一艘在停岸位時必需等待的概率為．故選D．7．陽馬，中國古代算數中的一種幾何形體，是底面長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體，在陽馬中，為陽馬中最長的棱，，，，若在陽馬的外接球內部隨機取一點，則該點落在陽馬內的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據題意，的長等于其外接球的直徑，因為，∴，∴，又平面，所以，，∴．8．函數，在其定義域內任取一點，使的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，知，即，解得，所以由幾何概型的概率計算公式可得概率為，故選C．9．《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，直角三角形內切圓的半徑，所以現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率為．10．已知實數，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知實數，經過第一次循環，得到，；經過其次次循環，得到，；經過第三次循環，得到，，輸出的值為，令，得，由幾何概型的概率計算公式，得到輸出的不小于的概率為，故選B．11．趙爽是我國古代的數學家、天文學家，大約在公元年，趙爽為《周碑算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）．類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以．故所求概率為．故選A．12．剪紙藝術是中國最古老的民間藝術之一，作為一種鏤空藝術，它能給人以視覺上的藝術享受．在如圖所示的圓形圖案中有個樹葉狀圖形（即圖中陰影部分），構成樹葉狀圖形的圓弧均相同．若在圓內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓的半徑為，如圖所示，片樹葉是由個相同的弓形組成，且弓形的面積為．∴所求的概率為．故選B．二、填空題13．一根繩子長為米，若將其隨意剪為兩段，則剪成的兩段繩子的長度有一段大于米的概率為________．【答案】【解析】由題意，將米長的繩子剪為兩段，有一段大于米的概率為．14．為了測算如圖陰影部分的面積，作一個邊長的正方形將其包含在內，并向正方形內隨機投擲個點，已知恰有個點落在陰影部分內，據此，可估計陰影部分的面積是__________．【答案】9【解析】依據題意，可設陰影部分的面積為則正方形的面積為，向正方形內隨機投擲個點，已知恰有個點落在陰影部分內，則向正方形內隨機投擲一點，則落到陰影部分的概率為，而，則，解得．15．中國古代錢幣（如圖）承繼了禮器玉琮的觀念，它全方位承載和涵蓋了中華文明歷史進程中的文化信息，表現為圓形方孔．如圖，圓形錢幣的半徑為，正方形邊長為，在圓形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是______．【答案】【解析】圓形錢幣的半徑為，則圓的面積為，正方形邊長為，則正方形的面積為，∴在圓形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是．16．勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機械工程專家，機構運動學家勒洛首先發覺，其作法是