2023年江蘇省常州市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

2x-lx<0

設(shè)函數(shù)x=0，WJlim/（x）?

II

1,W+3x>0（）o

A.0B.1C.2D.4

若=J+,則/,《2.1）—.

3函數(shù)：y=|x|+l在x=0處［］

A.無定義B.不連續(xù)C.連續(xù)但是不可導(dǎo)D.可導(dǎo)

4.設(shè)z=e",則dz=（）。

A.燒也

B.（皿+必把。

Qxdy+ydx

D?+y短

方曹P+ZrJjr-2=。在［-3,2］內(nèi)

A.有1個實(shí)根B.有2個實(shí)根

5.C.至少有I個實(shí)根D.無實(shí)根

6.

下列各極限中，正確的是

C.lim(l-Fax)

..J?cosx.、

Llim8---1---+--7p--()

7A.oB.lC.|D.-l

8.

設(shè)函數(shù)z=3",貝嚷等于

A./R3"ln3

C.xy3*9*D.y3"ln3

9.

下列命題肯定正確的是

A.若存在Jimg(”)不存在，則lim［/(z)+g(%)］必不存在

—為LX。L*o

B.若與lim與n)都不存在，則lim［f(z)+g(力)［必不存在

C.若lim/(z)存在，limg(z)不存在，則?gG)］必不存在

LX。A*。

D.若不存在，則lim=|/(z)|必不存在

LX。廠為

10.

設(shè)/(x)=--x3—彳，則J是/(1)在1—2,2］上的

V=1

A.極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn)

B.極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

C.極大值點(diǎn)，但不是最大值點(diǎn)

D.極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

過點(diǎn)(1,3)且切線斜率為」的曲線方程是

11.&()O

A.y=2?

Qy-2y/x+1

D"=GI

12.設(shè)100件產(chǎn)品中有次品4件，從中任取5件的不可能事件是

()O

A.“5件都是正品”B."5件都是次品”C.“至少有1件是次品”D.“至少有1

件是正品”

13微分方程y"+U=siu的特解形式可設(shè)為V

若/(x)的一個原函數(shù)為arctanx,則下列等式正確的是

A.jarctanxdx=/(x)+CB.jf(x)dx=arctanx+C

C.jarctanxdr=f(x)D.J/(x)dx=arctaiu

■JLI?

根據(jù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)尸（幻的圖像，判定下列結(jié)論正確的是

A.在內(nèi)，f（x）是單調(diào)增加的

B.在（7,0）內(nèi)，/（幻是單調(diào)增加的

C.〃-1）為極大值

D./（一1）為極小值

sin/dz=

20.[]A.2xcosx4

B.x2cosx4

C.2xsinx4

D.x2sinx4

2|設(shè)函數(shù)z=cos("y2),則蠹^等于()

A.-2ycos(x+y2)

B.-2ysin(x+y2)

C.2ycos(x+y2)

D.2ysin(x+y2)

定積分Jr2Inxdj=

22.Ji

設(shè)「廠’+3,則〈等于《

A.—3xB.-3xD.-3x'+3

23.

24.

過曲線尸x+hu上Mo點(diǎn)的切線平行直線y=2x+3,則切點(diǎn)Mo的坐標(biāo)是

()O

A.(LD

B(e，e)

C(1，e+1)

D(e，e+2)

25.對于函數(shù)z=xy,原點(diǎn)(0,0)[]

A.不是函數(shù)的駐點(diǎn)B.是駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)C.是駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)D.無法

判定是否為極值點(diǎn)

/-1

A.0

B2//(x)da

c//⑴山

27善加等于(，

A.xlnx+C

B.-xlnx+C

1In

Cr.i

D.i

已知/■<*)的一個BR加數(shù)為/e*.WjJ/<2x>dx

A.4xVyB."B+cc.-cD.

284

AA4d”+C

B."C

2

r.xc^C

—e2,+C

D.4

ff|lnx|dx

29.?

J:Inxdx+J*Inxdr

A.A.?

J:Inxdx-J*Inxdx

-|iInxdx+J*Inxdx

C.c

-|；Inxdx-J*Inxdr

D.?

30設(shè)/(x)在［-1,1］上連續(xù)，則J：/(-x)dx=

A.A.O

B"：…

C-J.：/(X)dr

D，：…

二、填空題（30題）

31.

函數(shù)y=3/+6x+5的單調(diào)減少區(qū)間是

32.

%則2--------?

33.若r（Xo）=l,f（Xo）=O,則“上”1°一工

34.設(shè)y=in(x+cosx),則y

35.

曲線＞=x3-3x2-5x+6的凸區(qū)間為

36.

下列關(guān)于二次枳分交換積分次序錯誤的是

/(1,y)dy=jdyj1/(x,>)clr4-J,dy(/(x.j)cLr

B.Jd/jJ(z,y)dy=(力。(3出

fir一V/

cJM,./(了")力=Jdyj^/(x,>)dx

D.L&f.焉八"~)dy=，戶/禽人力山業(yè)

37____

xx^O

設(shè)/G)=?則

38.x<0

39

40.吧sin(x-l)

41.

若y(x)=sin(x24-x+l),Uyf(x)=

?/(x)=x2?g(x)=cosr.WJ—/(g(x))=

42.也

函數(shù)x?2(x-#-，-V的駿育坐卜為

1,J?

44函數(shù)/（1）=二在了=0處的二階導(dǎo)數(shù)/'（0）=_____-

計(jì)算lim（，....—）.

4s—式-1x-1

設(shè)/（,）=隨（言）.

>V/?

47.

設(shè)z=arcsin（xy）,貝ij=_____________.

oxdy

48.

若JfOdx=a*+log/+C,則/（x）=.

49JJD（"加?

50.

若/《力的一個原函數(shù)是e-Q?則］=

A.e。B.-2c&*CC.-ye-x,D.一"+C

51.

設(shè)函數(shù)Z=e2-y，則全微分dz=.

52.

/J)=J-)-3?r)其中僅上)可導(dǎo),則)

A?°B.6人)C./CT。)

53若「｛?&=：,則a=-------

54.

lim嗎不)=

Ix-1

A.1B.OC.21)1

sec25xdj'=__________,

55.」

56.

已知f(x)WO,且f(x)在［a,b］上連續(xù)，則由曲線y=/(x)x=a，4b及x軸圍成的平面

圖形的面積A=.

57.曲線y=x3+3x2+l的拐點(diǎn)坐標(biāo)為

32x

58.設(shè)y=x+e,貝ljy⑸=o

已知Jf(x)dx=(1+x2)arctanx+C.則f\x)=

59.

f(x+Ax)/CQ_

設(shè)/(x)=ln4?則lim

60.z△x

三、計(jì)算題（30題）

求極限limI一r'ln/1+力

61.

什算『2djdy.其中。是由J和力-1所圖成的區(qū)域.

62.4丫

求極限［看九

63.

直線y==1及y輸圍成的區(qū)域.

64.1

求曲線廠'=°'在點(diǎn)（1,一2?1）處的切線方程和法平面方程.

65.13x+2y+l-。

，業(yè)dy,其中D為及三+9=9所圉成的環(huán)形區(qū)域.

67.

計(jì)算定枳分［inQ+Ddi.

68.

69.

設(shè)x三），其中八…）為可微函數(shù)，求會”.

70.,加ay

s

7i求微分方程JV.V*=1—X的通機(jī)

^>0.

求「/《)

設(shè)人工）1&.

1Vo.

72.

73.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

74.若已知V”"百siaZx?求尸’

75.設(shè),=，（*）由方程Z=■（*＞）所確定,求務(wù)L

76.求極限懺等

已知曲線》,鼠求：

＜1＞曲線在點(diǎn)（1?1）處的切城方程與法線方程,

77.（2＞曲線上鼻一點(diǎn)處的切岐與直找）=4?一1平行？

r。求微分方程學(xué)+*=J的通解.

78.&]

79.求極限而:廣，與.

S設(shè)八/）是連續(xù)函數(shù),且「"⑺山=1,求/⑺.

80.J。

“》0?

1+4/求定根分廣JG）dr

設(shè)曲數(shù)/（X）

x<0.

81.I+1

設(shè)/⑺

82.

83求徵分方程2/+5/-5/-lr-1的通解.

84.求解微分方程ilnxdy+（y—lnj）（Lr」50滿足條件y（e）1的特解.

求處孱

」

85.-1

求不定積分［71__L.

86.J7x(4-x)

計(jì)算二次積分「dyj：竿dz

87.

88問:百業(yè)

a(t-sin/)?.

已知參數(shù)方程.求S色工

必

89.tf()-cos/),di

90.求函數(shù)/（*）=--[?的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)?

四、綜合題（10題）

求由曲線丁nI+4與y=5?尸所圍成的平面圖形的面積.

91.

求函數(shù)y=少6荷一一的單調(diào)區(qū)間和極值.

92.

求函數(shù)y=（/-DU—2"出的單調(diào)區(qū)間及極值.

93.

證明：方程〔生山=古在（0.1）內(nèi)恰有一實(shí)根.

94.

證明:方程/一?一]-J—也=0在區(qū)間（0.1＞內(nèi)有唯一的實(shí)根?

95.1+，'

96歷明，當(dāng)i＞i時.屈＞方；；—?

97.

設(shè)函數(shù)F（X）=與三/W（彳＞0）.其中/（外住區(qū)間1.+8）上連續(xù)./（工）在

Q,+8）內(nèi)存在且大于零?求證:FQ）在（a.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

98.求由曲線爐=（1一1）'和直線*=2所圍成的圖形繞」軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.

99.

設(shè)/《外在區(qū)間［a.瓦）上可導(dǎo)，且/Q）=｛加=0?證明：至少存在一點(diǎn)WWQ,6）.使得

幾）+3￡/?）=0.

100求函數(shù)/（,，二?'在定義域內(nèi)的最大值和最小色.

五、解答題（10題）

101.（本題滿分8分）

已知函數(shù)/（X）連續(xù)n1—COSJ,求J/（N）d；T的值，

設(shè)函數(shù)￥=雜,求y'.

102.1+"

103.①求曲線y二ex及直線x=l,x=0,y=0所圍成的圖形D的面積S：

②求平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.

計(jì)算「一｝—dr.

104,"g

105.

在曲線＞上某點(diǎn)A處作一切線，使之與曲線以及4軸

所圍圖形的面積為工，試求：

12

（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）過切點(diǎn)A的切線方程.

（3）由上述所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

106.求函數(shù)y-x3-3x2-l的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。

107.

甲乙兩人獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊.甲乙兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0.8與0,兩人各射擊

一次，求至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

108.求由曲線y=2—x2,）,=2x—1及xNO圍成的平面圖形的面積S以

及此平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.

計(jì)算卜『

109.（4-/

110.求曲線/=2x+L1二-2一|所因成的X域的面機(jī)％及此平

面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體枳匕.

六、單選題(0題)

設(shè)函數(shù)/(x)=i-4，在尸2處連續(xù),則k

111.la尸2

?1

A.A,

1

C,^2

1

D.272

參考答案

l.D

因?yàn)閤=lw(0,+8)，所以lim/(x)=lim(x?+3)=4,故選D.

2.1/2

3.C

“。個埃4曲內(nèi)*41，?人0孑以一,-.啟憑及?'-。時~-LLm(|J|*H-I.M/(J)<

t-。約《早上彳從京畬身~￡哀北什"。./‘<0)-|?n

<0)-l?n/《。+儀一/ffl?l：m1-Lm￥■】??十

a—?dra—?a

4.B

設(shè)i4=xj,則z二e"

/_dz加

4二瓦^=e&y=ye^

,dz

=e-x=jcev

所以dz=^-dx+^dy=dx+^e^dy=ex>(ydx+xdy).選B.

dxdy

5.C

6.D

7.A

8.D

9.A

10.B

11.C

12.B

不可能事件是指在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件。由于只有4件次

品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以選B。

13y.=Acosz+為待定常數(shù))y'=Acosz+/軸皿(人?8為待定常數(shù))

［解析］根據(jù)不定積分的定義，可知B正確.

14.B

15.f(2x)

16.C

17.C

答應(yīng)選c.

分析本題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及巳知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)的方法.本題的關(guān)昧是正

?理解/'(In*)的含義.

由于f'(In幻是表示黯洋，而不是里喈之,于是有r(lnx)=繁昌=1?跖

設(shè)”=11>%,則*=6?，則

=(1+/)d%即幽％)=(1f)dx,

去分得?工)二名+式",所以選(：.

由于這種試題的概念性較強(qiáng)，也具有一定的代表性，希柒考生能熟練掌握,特留類似題目，以

更考生練習(xí).

(1)設(shè)r(C08?)=COI2x,ffl/(x)=.(答案:"!■-—%+C)

(2)設(shè)=*1口*+3,則/(*)■?(答案：-竽+全+c)

18.B

因?yàn)閒(x)=l/x,f*(x)=-l/x2o

19.D

［解析］x軸上方的/Q)>0,x軸下方的/Q)vO,即當(dāng)xv-1時，/q)vO：當(dāng)

Q-1時fq)>0,根據(jù)極值的第一充分條件，可知/(-I)為極小值，所以選D.

2

Wfsin^d/=sinCz2)2?(/)'=2xsinx4.

20.C7,

21.A

2-+12d+1

22.

23.A

解li指導(dǎo)本題考左的知識點(diǎn)是取本初等函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)利用期函數(shù)求導(dǎo)公式，并注意南

數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零?即可得到正嘴的選項(xiàng).

24.A

本題將四個選項(xiàng)代入等式，只有選項(xiàng)A的坐標(biāo)使等式成立.

事實(shí)上y'=］+,=2得人=1,所以y二l

25.B

因z=◎,于爛=君=工；槨=°，吟=0,得駐點(diǎn)(0,0);又*=。，魯?==

dxdydidydi'oxdyOy

0,從而B2AC=1>0,故點(diǎn)(0,0)不是極值K

26.C本題考查的知識點(diǎn)是定積分的換元積分法.

?jy(M)<k.

如果審題不認(rèn)真，很容易選A或B.由十函數(shù)?(x)的奇偶性不知道，所

以選A或B都是錯誤的.

27.C本題考查的知識點(diǎn)是不定積分的概念和換元積分的方法.

對F不定枳分的根分公式如學(xué)生應(yīng)愎更深一度次地理解為箕結(jié)構(gòu)式是

JsOdO—inOC.式中的方塊-b既可以是史收*,也可以是?的哂數(shù)式.例如/b回小回二

?in,[cmInxdFnxc?inInx?C.只要符介上述tfi梅衣的函數(shù)或變外?均石上面的根分

公K成。.H；他的枳分公式也守完今類似的靖構(gòu)式如果將上述式「口內(nèi)的函數(shù)的總分寫出束,

則幺：卜<>?(『)d(/)=2卜rg(x')dx及/COM(In?)d(Inx)?/：co?(In*)dx,如果在試總中將

等式右邊部分拿出來，這就需要用湊微分法(或換元積分法)將被積表達(dá)

式寫成能利用公式的不定積分的結(jié)構(gòu)式，從而得到所需的結(jié)果或答

案.考生如能這樣深層次理解基本積分公式，則無論是解題能力還是計(jì)

算能力與水平都會有一個較大層次的提高.

基于上面對積分結(jié)構(gòu)式的理解，本題亦為：

巳M//1口乂。?0°*。?畫，)d,等于()?

由『J,)&=j/(liii)d(hn.UNCJuhiI.KUJY/(lni)dizhi?

hii-e*?.即國*CJL?.

■

28.B

根據(jù)原函數(shù)的定義可得J/(x)dx=x2e^C.

所以J/(2x)dx=1J/(2x)d(2x)=1(2x)2c2,+C=2x2c21+C.

29.C

-Inx

由|In+e

Inx

IvxWe

所以Jf|lnr|dx=-Jtlnxdx+￡Inxdx.

30.D

因?yàn)?(x)在11,1]I.連續(xù)，其奇偶性不知道,揖除A與B,乂

1

J：/(-x)dr"彳-J*/(r)(-dr)=J(/(x)dx.故選D.

31.(-oo,-l)

函數(shù)的定義域?yàn)?f,+8).

令yz=6x+6=6(x+1)=0

解得駐點(diǎn)：x=-l

在區(qū)間(一，-1)內(nèi)，/<0,y單調(diào)減少；在區(qū)間(-1.+8)內(nèi)，/>0,y單調(diào)增加.

32.1/2

33.-1

...r1\f(”。-十)一/(工。)/(一+。一八工。).]

￡

—J="-lim--------------j-----------=-lim---------------2------=—f(x0)=-1

h

34.

【答案】應(yīng)填上史」.

“CMX

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算.

>,=[ln(x+cosx)]*-----------(1-sinx)

?+cosX

35.(-oo,1)

36.D

37.0

38.3-e,

39-梟…1)十「

40.應(yīng)填2.

【解析】利用重要極限1求解.

lim.1而.丁■(*+0=2

4](2^+l)cos<x2+x+l)(2N+1)COS(/+R+1)

42.

43.

(1.-i)

442In'2(In2-1)21n'2(ln2-l)

2

解明272

45.x-\x-1xfx+12

46.

l+2/百

一二y

以7I-X2>2

；；d2z=a>>i

23f=

47V(1-x/)IrW解析：力次—為"2y22y2)3

axliuz+-r—0rhUlHr—

48.x\naxlna

49.2/3x3/2+2x,/2—In|x|+C

[<Zr-1)(1+1)&-卜*+-14-xi-J,1)<Lr■-yjl-?r+2—-InIx|+C.

50.B

51.

2e2fd

52.B

53.利用反常積分計(jì)算，冉確定a值。

?????

因?yàn)閨---zdx=arctanx

J?1+4?

W.IT

=——arctana=-7",

24

即arctana=；*，則有o=1.

54.D

55.1/5tan5x+C

Isec5xd.r=gsec25xd5xMT5j-|Aec-ucZu=-^-towu+C=-J-/Zz〃5x+C?

J°0J55

J：|/(x)|心

［解析］注意到f(x)WO,則有A=R/(x)|dx

56.

57.(-l,3)

58,-25e2x

-2x

zarctanx+----r

1+x2

I解析I因?yàn)?(x)=2xarclanx+1

_2x

所以/V)=2arctanx+----,

59.1+x

60.

0

［解析］因?yàn)閘im二是函數(shù)/3）在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)解析式，而函數(shù)

〃x)=ln4是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,故填0.

61.

該即屬于“8—8”型，我們用倒代換工=7讓其產(chǎn)生分母，然后通分計(jì)算

之.

lim/一/叫1+:)=lim「^—p-ln(14-r)'

=limj(i+n

…r

1---1—

=lim---.全'

,—o2t

—11ni--------~■■?-

；-02z(l4-/)2,

該愿屬于“8-8”型，我們用倒代換工=-J-讓其產(chǎn)生分母，然后通分計(jì)算

之.

lim/一/叫1+:)=lim「^—p-ln(14-r)'

=limj(i+n

…r

1---1—

=lim---.全'

,—o2t

=lim---------=—

；-02z(l4-/)2,

汗Ldy1號心心dx

=J-.y1)d>

=Jcosydy-Jyco?ydy

=sin_y!|>d(si”)

=sinl-sinl-cosy|=1-cosl.

62.

(號Ldy=J：亨切d/

=J—y)d>

=Jcos.ydv-[yco?ydy

—Jyd(siny)

——dz

x—sin-r

COJW

=lim=lim

r-°。+3>r(1-co?-r)

/1T37.y/1T37.全

=lim-2=2.

63.6+3-t?0

64.

枳分區(qū)域D如圖所示,由于被枳函數(shù)八..WNeT,因?yàn)榇嗽摱罔追诌m用

于化為“先對工枳分,后對>積分”的二次積分進(jìn)行計(jì)算.

，o&ya1.

乂區(qū)域D可表示為:！。4/&山

于是?I]c,dxdy=|dyjc」(tr

-*1：

1

2

T(1-c，h

枳分區(qū)域D如圖所示,由于被枳函數(shù)八.?山工//?因?yàn)榇嗽摱罔追诌m用

于化為“先對x枳分?后對>積分”的二次積分進(jìn)行計(jì)算.

，0&y&1.

乂區(qū)域D可表示為:，。4z&y，

于是?『C，irdy=Idjfc*'dr

65.

曲線方程可化為

在(I.2,1)點(diǎn)處曲線切線的方向向憒為

I=1)?/(1),/⑴)-H?—

因此,曲線在點(diǎn)(1?一2?1)處的切線方程為

工-1=2L±1.

1_22'

7

法平面方程為

(工一1》—3(_y+2)+2(￡—1)=0,

即

21—3y+4N12=0.

曲線方程可化為

x=X.

3x4-1

＜廠--

MHJ4?

在(1.-2.1)點(diǎn)處曲線切線的方向向量為

s?{/(D.ykl),/(1))-J1?--1-?2

因此,曲線在點(diǎn)(1?一2?1)處的切線方程為

/..]y.一+?2?zI-I..

1_22

7

法平面方程為

3

(jr—1)--y(>r+2)4-2(s—1)=0.

21—3y+4之-12=0.

67.

畫出區(qū)域D如圖所示.由積分區(qū)域的對稱性及被積

函數(shù)關(guān)于I軸和y軸都是偶函數(shù).故有

其中Di為區(qū)域D在第一象限的部分?即

Di=Il&L+y'&g,，)。.3》。).

利用極坐標(biāo)變換可表示為&r<3?故

||j^didy—「則(rcos^)1?rdr

畫出區(qū)域D如圖所示.由枳分區(qū)域的對稱性及被枳

函數(shù)關(guān)于，軸和y軸都是偶函數(shù).故有

r'd/dy=?4jjJ/d/d.y?

f叫

其中D,為區(qū)域D在第一象限的部分?即

D；=((.r,y)I

利用極坐標(biāo)變換?他可&示為。《&&，43,故

(rcosff)2?rdr

=|^cos:0d^|*r*dr

-201L±_普?此

=20?+；sin20]|

因此，(i"d"dy=dgr'clrdy■20x.

原式=Jln(x-+-l)dx=x?ln(x4-1)|-Jj?—-^—^cLr

=In2—[(1----二)<Lr

Jo1

=In2—(x-ln(1+1))

e

68.=In2-(1-In2)=2ln2-1.

原式=JJn(X+1)dj-=x?ln(j-41〉L-Jx?彳[

=ln2-f(1----1)dx

Jo1+1

=In2—(x-ln(14-x))|

=In2-(1-In2)=2ln2-1.

,j------1-I__9寫“T>

用(m)=如(】+母)

69.

,1—13，一2,“7,

叩（幣）=如（1+中）

at生?也十生,效

a7dudxdvdx

+/.（r）v

門?/?'4）+/廣子）?

生?也+生.史

dudydvdy

/.卜”，引.「+/.廠，4）.（一力

廣，?/?《小，?手）一,儀小，子）.

70.

生=生.更+生,大

dudxdvdJ

尸，+

=/.rq)./.'，q)/

二1?/?(廠子)+，｛「子)?

w=生?圍+生?冬

dydudydvdy

/W)?L，+/W).「熱

L，亨一,/?(「??.

所給方程是可分離變最方程，先將方程分離變量?得

2

yd.y=1-----x---c.tr,

JT

兩邊積分

可得

4-y=-4-r24-In|x|+InICL

乙乙

即=In|Cr|<

￡t

從而可得/+，=ln(Cr)2

為原方程的通解,其中C為不等于零的任意常數(shù).

所給方程是可分離變收方程?先將方程分離變量?得

2

yd,y=-1---X---c.tr.

兩邊積分

可得

4->:-4-x2+In|x|+In|C|?

即y(x2+V)=In'O|?

從而可得+y2=ln(C>y

為原方程的通解?其中C為不等于零的任意常數(shù).

晚式=【：忌如+￡母7公

=ln(14-eJ)I+，..i^r

IiJ?14-4I'

=In2ln(14-r')4-P.—yd.r

—In2—ln(1-Fc1)4-5arctanZi

Zo

?=?ln2—ln(1+c:)+-y.

72.o

隙式=f,備&+「

―In2-ln(14-c1)+|'—ycl.r

Jo】+4x*

=ln2—ln(14-e1)4-^arctan2x|T

-In2-ln(i+cT)+F

o

73.

1^=2x=^=0.

由人得駐點(diǎn)(0,-13

更=2產(chǎn)230,

dy

因?yàn)?=學(xué)=2.8=作=0/=2=2,

dxI《，?i)dxay?<e,-i)dy(0.-1)

所以8：-4C=-4<0,且4=2>0,從而可知￡(0「l)=-l為極小值.

由y""=e'sin2j?,得

y[N'=(?’5訪2”+2e'cos2z=e'(sin2?r+2cos2z),

y*'H=eJ(sin2x+2cos2x)+eJ(2COS2JT—4sin2x)

74.=e'(4cos2.r—3sin2j).

l>

由y*=e'sin21r■得

V=c1sin2x-I-2eJcos2x=er(sin2x-F2COS2JT),

rJ

=e(sjn2j-4-2cos2x)+e(2cos2x—4sin2x)

=ey(4cos2x-3sin2x).

75.解法1將等式兩邊對x求導(dǎo)，得

ex-e>'y,=cos(xy)(y+xy,),

所以

、，二dy二⑺

dxe'+xcosCxy)

為「求學(xué):，應(yīng)先將x=0代入原方程解出相應(yīng)的y值.然后代人學(xué)即可.

OXIt?0nr

由于*=0代入原方程得

c-e*=sin(0?y)=0,UPy=0,

則.。里i??0

v?0

解法2等式兩邊求做分.科

d(c'-ex)=d[sin(xy)].

即e'd%-c'dy=cos(xy)d(Ny)=co?(xy)(ydx+xdy),

d/e*-ycos(xy)

解得

d*e'+xco8(xy),

所以￥14|..o=i.

■?0

.nr

lim—=lim—=lim膽?iim—=1X1=1.

76.jajrJ>*■??COMJT

51nx

lim—=lim型=lim^?lim—=IX1=1.

.7jrj*i->oxCOSJT

77.

（1）根據(jù)導(dǎo)致的幾何意義?曲線y=在點(diǎn)《1.1）處切線的斜率為

”L「2.

曲線y=>在點(diǎn)（1?1）處法線的斜率為

所以切線方程為y-1=2（x-l）.

即

2J*-y-1=0.

則法線方程為y-l=-1（J--1）.

即

?r+2y-3-Oi

（2）設(shè)所求的點(diǎn)為曲線y-/在點(diǎn)（人.”）處切線的斜率為

yI=2x|=2x（>.

I#w#0I

切線與直線y=4,-1平行時?它們的斜率相等?即2］。=.1?所以4=2.此時y,=4?故在

點(diǎn)MJ2.4）處的切線與直線y=4.r-1平行.

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義?曲線y=/在點(diǎn)《1.1）處切線的斜率為

y=2.

Z-I

曲線y=/在點(diǎn)（1?1）處法線的斜率為

所以切線方程為y-I=2（x-l）,

即

2x->-1=0.

則法線方程為=一/（工一1）.

即

x4-2>-3?*0）

（2）設(shè)所求的點(diǎn)為,曲線y?/在點(diǎn)《〃,”）處切線的斜率為

yI=21j=2x0.

|一“I■一■■

切線與直線y=0-1平行時?它們的斜率相等?即2A=,1?所以A=2.此時M=4.故在

點(diǎn)MN2.4）處的切線與直線y=41—1平行.

由題意?知。（］）=},QJ>=J?

工該微分方程的通解丫—+C

78.

由明意?知PG)==c.

；?efw,=e4

/.該微分方程的通解N+('.

!呷lnx(j--1)

+Irw

lim1f

#-ijr1tTln-r

!呷I+In/+1

79.

1)

+Inr

lim<7?：

1txlnj,

切I4-lnx^I-7,

等式兩邊對7求導(dǎo)得

/(x1-1)-3/=1.即/(/-1)

令z=2.得/(7)

80.

等式兩邊對7求導(dǎo)得

f(j*-1)?3*:=1?即/《『-1)

令1=2,得/(7)=-L.

81.

if7/(x)dj：=f/(x)dx+，/(N)d?r

JTJTJO

?0CT1

=ln(1+eT)+■.-dx

-iJo1+4x2

-In2-ln(l+e*)+p^Lpd(2x)

=ln2—ln(1-4-e1)+《arctanZr|

2Io

=In2-ln(l4-e')4-

o

「/(x)(Lr=/(z)dz+J/(x)dj：

07

x—L_

=ln(14-e)+Jo1+4x2dj

ln2-!n(14-eLj,d(2x)

ln2—ln(1-4-e1)4--arctan2x

ln2-ln(l4-e')-i-f.

o

令I(lǐng)1=".則&=€1〃?當(dāng)?￡[0,2]時€[―1?1].于是

原式一]/(x-1)Ar

=Jf(u)du

—J0/(u)du4-J/(u)du

=r旺7dx+f業(yè)

J-i14-eJo14-jr

82.=ln(14-e).

令iI=".則clr「d”.當(dāng)《r€[0.2]時.“￡[1.1].于是

原式=//(I-DL

=Jf(.u)