2024-2025學年河南省新鄉市長垣一中九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1．（3分）《周易》被譽為中華文化的瑰寶，其中包含了豐富的哲學思想和智慧．如圖為易經中部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一個根，則方程的另一個根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．（3分）截至2024年，長垣市建筑防腐企業1335家，全行業從業人員突破10萬大關，長垣市防腐產業不僅占據了國內70%以上的市場份額，年產值達468.79億元億元，是長垣市名副其實的支柱型產業．數據“468.79億”用科學記數法表示為（）A．468.79×108 B．46.879×109 C．4.6879×1010 D．0.46879×10114．（3分）如圖為天氣預報網站顯示的“長垣市2025年1月30日的降水概率為73%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（）A．1月30日長垣市將有73%的時間下雨 B．1月30日長垣市將有73%的地區下雨 C．1月30日長垣市下雨的可能性較大 D．1月30日長垣市最高氣溫一定為8℃5．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，則BD的長為（）A．3 B．5 C．5.5 D．66．（3分）在4×4網格中，∠α的位置如圖所示，則sinα的值為（）A．255 B．55 C．27．（3分）如圖，某小區計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．設道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝5708．（3分）如圖，⊙O的半徑為15，弦AB＝18，點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，若OM的長為整數，則這樣的點M有幾個？（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）某同學在用函數模型研究問題時觀察到x與y的幾組對應值：x…124…y…421…由此作出以下判斷①可能是一次函數關系；②可能是反比例函數關系；③可能是二次函數關系．你認為正確描述的序號應該是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）如圖①，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點P是對角線AC上一動點，設PC＝x，PE+PB＝y，圖②是y關于x的函數圖象，且圖象上最低點Q的縱坐標可能是（）A．5 B．2 C．3 D．3二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）已知：點A（2024，﹣2025）與點B（a，b）關于原點O成中心對稱，則a+b＝．12．（3分）如圖，點A是反比例函數y=kx（k＜0）的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為5，則k的值是13．（3分）元旦前夕許多人相聚鄭州二七紀念塔迎接新年，在莊重的鐘聲中，牢記歷史，傳承紅色基因，共同奮進，創造美好的明天．如圖是二七塔周邊部分通行路線示意圖，小明從入口A進入，行至每個岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則小明從F口走出的概率是．14．（3分）長垣自古有三善之地，君子之鄉的美譽．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“善”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?12，若MN＝4cm，則15．（3分）如圖所示在矩形ABCD中，AB長為5，AC長為10，以C為圓心，AC長為半徑作弧，交BD于點E，則圖中扇形ACE的面積為．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（10分）解方程：（1）x2﹣3x﹣1＝0．（2）x2﹣4x+3＝0．17．（9分）【問題情境】我們美麗的校園中植物千姿百態，某小組小張，小娟，小東三位同學觀察中發現：植物葉子通常有著不同的特征．如果用數學的眼光來觀察，會有什么發現呢？于是三位同學共同開展了“利用樹葉特征對樹木進行分類”的項目化學習活動．【實踐發現】該小組的同學從收集的楊樹葉、杏樹葉中各隨機選取了10片，通過測量它們長和寬（單位：cm）的數據后，再計算了它們的長寬比，整理數據如下：序號12345678910楊樹葉的長寬比22.42.12.42.81.82.42.22.11.7杏樹葉的長寬比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【實踐探究】分析數據如下：平均數中位數眾數方差楊樹葉的長寬比2.19a2.40.0949杏樹葉的長寬比1.511.5b0.0089【問題解決】填空：（1）上述表格中：a＝，b＝；（2）這兩種樹葉從長寬比的角度看，樹葉的形狀差別比較??；一片長為11.5cm，寬為5cm的樹葉，這片樹葉來自于樹的可能性比較大．（3）三名同學決定由兩名同學作代表展示以上發現，若每位同學選中機會均等，請你用列表法或樹狀圖求出恰好小娟小東被選中的概率為多少？18．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝k1x+b與函數y=k2x(x＞0)的圖象的兩個交點分別為（1）求直線l：y＝k1x+b與函數y=k（2）過點P（n，0）作x軸的垂線，與直線l：y＝k1x+b和函數y=k2x(x＞0)的圖象的交點分別為點M，N，當點M在點19．（9分）下面是小李設計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規作圖的過程．已知：如圖1，⊙O及圓外一點P．求作：過點P作⊙O的一條切線．作法：①連接OP；②作OP的垂直平分線，交OP于點A；③以A為圓心，OA的長為半徑作弧，交⊙O于點B；④作直線PB．即直線PB為所求作的一條切線．根據上述尺規作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）該作圖中．可以得到∠OBP＝°；依據：．20．（9分）如圖是我市某小區地下停車庫入口的設計示意圖，為保證社區居民安全，物業按規定執行人車分流，機動車不允許在小區地面行駛，如圖為某裝滿家具的小型貨車，車載滿家具最高處為2.5m，需要從地下車庫進入小區．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的鉛直高度BD與水平寬度AB的比），AB＝7.2m，點C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按規定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛入，請根據以上數據，求出該地下停車庫限高CE的長，并通過計算分析該貨車能否安全通過地下車庫？21．（9分）學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為20米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？22．（10分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），點D是拋物線的頂點，過D作x軸的垂線交直線BC于點E．（1）求點D坐標；（2）求△CDE面積．23．（11分）綜合與探究：如圖，∠AOB＝90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A．（1）【操作判斷】如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數為度；（2）【問題探究】如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，判斷線段OM、ON、PA數量關系并證明；（3）【拓展延伸】點M在射線AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，射線NM與射線PO相交于點F，若ON＝2OM，請直接寫出OPOF

2024-2025學年河南省新鄉市長垣一中九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ABC．CBACCCD一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1．（3分）《周易》被譽為中華文化的瑰寶，其中包含了豐富的哲學思想和智慧．如圖為易經中部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對稱圖形，符合題意；B、不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：A．2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一個根，則方程的另一個根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：設方程另一個根為x＝t，根據題意得t+1＝﹣1，解得t＝﹣2，則方程的另一個根是﹣2．故選：B．3．（3分）截至2024年，長垣市建筑防腐企業1335家，全行業從業人員突破10萬大關，長垣市防腐產業不僅占據了國內70%以上的市場份額，年產值達468.79億元億元，是長垣市名副其實的支柱型產業．數據“468.79億”用科學記數法表示為（）A．468.79×108 B．46.879×109 C．4.6879×1010 D．0.46879×1011【解答】解：468.79億＝46879000000＝4.6879×1010．故選：C．4．（3分）如圖為天氣預報網站顯示的“長垣市2025年1月30日的降水概率為73%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（）A．1月30日長垣市將有73%的時間下雨 B．1月30日長垣市將有73%的地區下雨 C．1月30日長垣市下雨的可能性較大 D．1月30日長垣市最高氣溫一定為8℃【解答】解：降水概率指的是下雨的可能性情況．故選：C．5．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，則BD的長為（）A．3 B．5 C．5.5 D．6【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BDDF∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，∴BD2.5∴BD＝5．故選：B．6．（3分）在4×4網格中，∠α的位置如圖所示，則sinα的值為（）A．255 B．55 C．2【解答】解：如圖：由網格的特征可知，△ABC是直角三角形，∴AB=A∴sinα=AC故選：A．7．（3分）如圖，某小區計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．設道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570【解答】解：∵道路的寬為xm，∴種植草坪的部分可合成長為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．根據題意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故選：C．8．（3分）如圖，⊙O的半徑為15，弦AB＝18，點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，若OM的長為整數，則這樣的點M有幾個？（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如圖，過點O作OP⊥AB于點P，連接OA，∵弦AB＝18，∴AP=12∵OA＝15，∴OP=O∴OM的最短距離為OP，最長距離為OA，∵點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，∴12≤OM＜15，∵OM的長為整數，∴OM可取12，13，14，即這樣的點M有5個，故選：C．9．（3分）某同學在用函數模型研究問題時觀察到x與y的幾組對應值：x…124…y…421…由此作出以下判斷①可能是一次函數關系；②可能是反比例函數關系；③可能是二次函數關系．你認為正確描述的序號應該是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：由表中數據可知，三個點不在同一直線上，故①錯誤；設y與x的關系為二次函數，設y＝ax2+bx+c，則a+b+c=44a+2b+c=2解得：a=1∴y=12x2?72三個點的橫坐標和縱坐標的積都為4，故都在反比例函數y=4x圖象上，故故選：C．10．（3分）如圖①，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點P是對角線AC上一動點，設PC＝x，PE+PB＝y，圖②是y關于x的函數圖象，且圖象上最低點Q的縱坐標可能是（）A．5 B．2 C．3 D．3【解答】解：如圖，連接PD，∵B、D關于AC對稱，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴當D、P、E共線時，PE+PB的值最小，觀察圖象可知，當點P與A重合時，PE+PB＝9，∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，在Rt△AED中，DE=62+∴PB+PE的最小值為35，∴點Q的縱坐標為35，∵AE∥CD，∴PCAP∵AC＝62，∴CP＝62×23∴點Q的橫坐標為42，∴點Q的坐標為（42，35）．故選：D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）已知：點A（2024，﹣2025）與點B（a，b）關于原點O成中心對稱，則a+b＝1．【解答】解：∵點A（2024，﹣2025）與點B（a，b）關于原點O成中心對稱，∴a＝﹣2024，b＝﹣（﹣2025）＝2025，∴a+b＝﹣2024+2025＝1．故答案為：1．12．（3分）如圖，點A是反比例函數y=kx（k＜0）的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為5，則k的值是【解答】解：連接AO，∵AB⊥x軸，∴AB∥y軸，∴S△ABO＝S△ABC＝5．又∵點A在反比例函數的圖象上，∴|k|2又∵k＜0，∴k＝﹣10．故答案為：﹣10．13．（3分）元旦前夕許多人相聚鄭州二七紀念塔迎接新年，在莊重的鐘聲中，牢記歷史，傳承紅色基因，共同奮進，創造美好的明天．如圖是二七塔周邊部分通行路線示意圖，小明從入口A進入，行至每個岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則小明從F口走出的概率是14【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結果，其中小明從F口走出的結果有1種，∴小明從F口走出的概率為14故答案為：1414．（3分）長垣自古有三善之地，君子之鄉的美譽．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“善”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?12，若MN＝4cm，則BC的長為【解答】解：∵分割線的端點A，B分別在習字格的邊MP，NQ上，且AB∥MN，四邊形NMPQ為正方形，∴AB＝MN，∵MN＝4cm，∴AB＝4cm，∵BCAB∴BC=5?12×4=2故答案為：25?15．（3分）如圖所示在矩形ABCD中，AB長為5，AC長為10，以C為圓心，AC長為半徑作弧，交BD于點E，則圖中扇形ACE的面積為25π．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴BD∥AC，CD＝AB＝5，在Rt△CDE中，∵CE＝AC＝10，CD＝5，∴sin∠CED=CD∴∠CED＝30°，∵BD∥AC，∴∠ACE＝∠CED＝30°，∴圖中扇形ACE的面積=90×π×102故答案為：25π．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（10分）解方程：（1）x2﹣3x﹣1＝0．（2）x2﹣4x+3＝0．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴x=3±∴x1=3+132，x（2）x2﹣4x+3＝0．（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．（9分）【問題情境】我們美麗的校園中植物千姿百態，某小組小張，小娟，小東三位同學觀察中發現：植物葉子通常有著不同的特征．如果用數學的眼光來觀察，會有什么發現呢？于是三位同學共同開展了“利用樹葉特征對樹木進行分類”的項目化學習活動．【實踐發現】該小組的同學從收集的楊樹葉、杏樹葉中各隨機選取了10片，通過測量它們長和寬（單位：cm）的數據后，再計算了它們的長寬比，整理數據如下：序號12345678910楊樹葉的長寬比22.42.12.42.81.82.42.22.11.7杏樹葉的長寬比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【實踐探究】分析數據如下：平均數中位數眾數方差楊樹葉的長寬比2.19a2.40.0949杏樹葉的長寬比1.511.5b0.0089【問題解決】填空：（1）上述表格中：a＝2.15，b＝1.5；（2）這兩種樹葉從長寬比的角度看，杏樹葉的形狀差別比較??；一片長為11.5cm，寬為5cm的樹葉，這片樹葉來自于楊樹的可能性比較大．（3）三名同學決定由兩名同學作代表展示以上發現，若每位同學選中機會均等，請你用列表法或樹狀圖求出恰好小娟小東被選中的概率為多少？【解答】解：（1）將楊樹葉的長寬比重新排列為1.7、1.8、2、2.1、2.1、2.2、2.4、2.4、2.4、2.8，所以其中位數a=2.1+2.2杏樹葉的長寬比的眾數b＝1.5，故答案為：2.15，1.5；（2）由表知，杏樹葉的長寬比的方差小于楊樹葉長寬比的方差，所以這兩種樹葉從長寬比的角度看，杏樹葉的形狀差別比較??；11.5÷5＝2.3，所以這片樹葉來自于楊樹的可能性比較大，故答案為：杏，楊；（3）根據題意畫樹狀圖如下：∵由圖可知，共有6種等可能的結果，其中恰好小娟小東被選中的結果有2種．∴恰好小娟小東被選中的概率為2618．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝k1x+b與函數y=k2x(x＞0)的圖象的兩個交點分別為（1）求直線l：y＝k1x+b與函數y=k（2）過點P（n，0）作x軸的垂線，與直線l：y＝k1x+b和函數y=k2x(x＞0)的圖象的交點分別為點M，N，當點M在點【解答】解：（1）∵直線l：y＝k1x+b與函數y=k2x(x＞0)的圖象的兩個交點分別為∴把A（2，8）和B（8，2）代入l：y＝k1x+b，得：2k解得：k1∴直線l：y＝k1x+b的解析式為y＝﹣x+10；∵函數y=k2x∴8=k∴k2＝16，∴函數y=k2x(x＞0)（2）∵直線l：y＝k1x+b與函數的圖象的兩個交點分別為A（2，8）和B（8，2），如圖所示：觀察圖象可知，滿足條件的n的值為：2＜n＜8．19．（9分）下面是小李設計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規作圖的過程．已知：如圖1，⊙O及圓外一點P．求作：過點P作⊙O的一條切線．作法：①連接OP；②作OP的垂直平分線，交OP于點A；③以A為圓心，OA的長為半徑作弧，交⊙O于點B；④作直線PB．即直線PB為所求作的一條切線．根據上述尺規作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）該作圖中．可以得到∠OBP＝90°；依據：直徑所對的圓周角等于90°．【解答】解：（1）如圖，補全圖形.理由：連接OB，∵OA＝PA，且OA為⊙A的半徑，∴OP為⊙A的直徑，∴∠OBP＝90°，∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，∴直線PB為⊙O的切線．（2）∵直徑所對的圓周角等于90°，OP為⊙A的直徑，∴∠OBP＝90°，故答案為：90，直徑所對的圓周角等于90°．20．（9分）如圖是我市某小區地下停車庫入口的設計示意圖，為保證社區居民安全，物業按規定執行人車分流，機動車不允許在小區地面行駛，如圖為某裝滿家具的小型貨車，車載滿家具最高處為2.5m，需要從地下車庫進入小區．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的鉛直高度BD與水平寬度AB的比），AB＝7.2m，點C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按規定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛入，請根據以上數據，求出該地下停車庫限高CE的長，并通過計算分析該貨車能否安全通過地下車庫？【解答】解：∵i＝1：2.4，∴tan∠BAD＝1：2.4=5∴BDAB∵AB＝7.2m，∴BD=512×∵BC＝0.4m，∴DC＝BD﹣BC＝2.6m，∵CE⊥AD，AB⊥DB，∴∠DCE＝∠BAD，∵tan∠BAD=5∴cos∠DCE＝cos∠BAD=12∴CE＝CD?cos∠DCE＝2.6×1213=即地下車庫入口的限高CE的長為2.4m，∵2.4＜2.5，∴該貨車不能安全通過地下車庫．21．（9分）學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為20米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB的長為x米，∴CD＝AB＝x（米）．∵矩形除AD邊外的三邊總長為20米，∴BC＝（20﹣2x）米．∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x．∵0＜x＜20﹣2x，∴0＜x＜20∴S與x之間的函數關系式為S＝﹣2x2+20x（0＜x＜20（2）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，0＜x＜20∴當x＝5時，S取最大值，最大值＝50（平方米），∴AB邊的長為5米時，花圃的面積最大，最大值為50平方米．22．（10分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），點D是拋物線的頂點，過D作x軸的垂線交直線BC于點E．（1）求點D坐標；（2）求△CDE面積．【解答】解：（1）由題意，設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0+1）×（0﹣3），解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），（2）設直線BC的解析式為y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）分別代入得3m+n=0n=?3解得m=1n=?3∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，當x＝1時，