重難點08玩轉外接球、內切球、棱切球經典問題【題型歸納目錄】題型一：正方體、長方體模型題型二：正四面體模型題型三：對棱相等模型題型四：直棱柱模型題型五：直棱錐模型題型六：正棱錐與側棱相等模型題型七：側棱為外接球直徑模型題型八：共斜邊拼接模型題型九：垂面模型題型十：最值模型題型十一：二面角模型題型十二：圓錐圓柱圓臺模型題型十三：錐體內切球題型十四：棱切球【方法技巧與總結】技巧總結一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3、補成長方體（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示圖1圖2圖3圖4技巧總結二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．技巧總結三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．技巧總結四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧總結五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧總結六：正棱錐與側棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧總結七：側棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．技巧總結八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．技巧總結九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2技巧總結十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等技巧總結十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．技巧總結十二：圓錐圓柱圓臺模型1、球內接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．技巧總結十三：錐體內切球方法：等體積法，即技巧總結十四：棱切球方法：找切點，找球心，構造直角三角形【典型例題】題型一：正方體、長方體模型【例1】（2025·高一·重慶·期中）正方體內切球與外接球體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設正方體的棱長為2a，正方體內切球和外接球的半徑分別為r和R,正方體內切球的直徑等于棱長，所以2r=2a，即r=a；正方體外接球的直徑等于體對角線，所以；所以正方體內切球與外接球體積之比：.故選：B【變式1-1】（2025·高一·云南昆明·期中）已知三棱錐，，、兩兩垂直，，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為三棱錐中，，、兩兩垂直，所以其外接球半徑滿足，.故三棱錐的外接球表面積為.故選：D.【變式1-2】（2025·天津武清·模擬預測）已知正方體的棱長為2，其各面的中心分別為點E，F，G，H，M，N，則連接相鄰各面中心構成的幾何體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：設正方體的中心滿足：所以該幾何體的外接球的球心為，半徑為1則外接球表面積為故選：A題型二：正四面體模型【例2】（2025·全國·高三專題練習）棱長為a的正方體內有一個棱長為x的正四面體，且該正四面體可以在正方體內任意轉動，則x的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】棱長為的正方體的內切球的半徑為，正四面體可以在正方體內任意轉動，只需該正四面體為球的內接正四面體，換言之，棱長為的正四面體的外接球的半徑為，設正四面體為，過作平面，垂足為，為底面正的中心，則，體高為，由于外接球半徑為，利用勾股定理得：，解得，選D．【變式2-1】（2025·河南·西平縣高級中學模擬預測）一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，四面體是正四面體，棱長，將其補形成正方體，則正方體的棱長，此正方體的體對角線長為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A【變式2-2】（2025·河南新鄉·二模）在正四面體中，，D，E，F分別為SA，SB，SC的中點，則該正四面體的外接球被平面所截的圓周長為．【答案】【解析】如圖所示，過點作平面，垂足為，點必為的中點，則正四面體外接球的球心必在線段上，設點為正四面體外接球的球心，外接球半徑為，在等邊中，因為，可得，在直角，由，可得，在直角中，可得，即，解得，又由分別為的中點，所以到平面的距離，設截面圓的半徑為，則，解得，所以截面圓的周長為．故答案為：題型三：對棱相等模型【例3】四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，則該四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，可將其補為一個三個面上對角線分別為，，5的長方體，如圖所示：長方體的三邊長分別為2，3，4，長方體的外接球即是四面體的外接球，四面體的外接球的半徑為，四面體的外接球的表面積為：，故選：．【變式3-1】（2025·高一·安徽·階段練習）為了求一個棱長為的正四面體體積，小明同學設計如下解法：構造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體為棱長是的正四面體，且有.學以致用：(1)如圖2，一個四面體三組對棱長分別為，2，，求此四面體外接球表面積；(2)若四面體ABCD每組對棱長分別相等，求證：該四面體的四個面都是銳角三角形.【解析】（1）由于四面體的對棱分別相等，結合長方體的面對角線性質，可以將其置于長方體中，使其頂點與長方體頂點重合，如下圖：設此四面體所在長方體的棱長分別為a，b，c，則，解得，得，外接球的表面積為.（2）在四面體ABCD中，，，，如下圖，將四面體放置長方體中，使其頂點與長方體頂點重合四面體ABCD的四個面為全等三角形，即只需證明一個面為銳角三角形即可.設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則，，，，，，為銳角三角形，則這個四面體的四個面都是銳角三角形.【變式3-2】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，即，，，解得：，，．外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：．題型四：直棱柱模型【例4】（2025·天津·一模）如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，連接、.取中點O，連接則點O為三棱柱外接球球心，為三棱柱外接球半徑.由，可得，則則三棱柱外接球表面積為延長交與，則為四棱錐的高則則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為故選：A【變式4-1】（多選題）（2025·高一·山東青島·期中）如圖，在直三棱柱中，，，，側面的對角線交點，點是側棱上的一個動點，下列結論正確的是（

）A．直三棱柱的體積是1B．直三棱柱的外接球表面積是C．三棱錐的體積與點的位置有關D．的最小值為【答案】ABD【解析】直三棱柱中，，，，如圖所示，直三棱柱的體積為，故A選項正確；直三棱柱是長寬高分別為的長方體的一半，外接球的半徑為，外接球表面積是，故B選項正確；O是與的交點，則的面積為定值，由平面，到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，與點的位置無關，故C選項錯誤；把側面和側面展開在一個平面上，當為的中點時，的最小值等于，故D正確.故選：ABD【變式4-2】（2025·高二·上海浦東新·期中）已知一個體積為的球內切于直三棱柱（即與三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,則該直三棱柱的外接球（即使所有頂點均落在球面上）的表面積為．【答案】【解析】解:由題知，記內切球半徑為,外接球半徑為,內切圓、外接圓半徑為r,R,則,解得,因為該球內切于一個直三棱柱,當且僅當球半徑與底面三角形內切圓半徑相等,同時棱柱的高恰為球半徑的2倍,所以;由題意,設,則在中由余弦定理得,,,所以,由內切圓半徑公式,,解得,所以,由正弦定理,,得,而直三棱柱內接于一個球,當且僅當兩全等的底面位于距球心距離相同且平行的兩個小圓上,顯然該兩個小圓距球心的距離d應為棱柱高h的一半,所以平面與球心間的距離,且其所在小圓的半徑即為其本身外接圓的半徑,為,由球的垂徑定理,,所以球的表面積為．題型五：直棱錐模型【例5】（2025·高一·江蘇南京·期末）如圖，四棱錐中，面，四邊形為正方形，，與平面所成角的大小為，且，則四棱錐的外接球表面積為（

）A．26π B．28πC．34π D．14π【答案】C【解析】如圖，因為面，四邊形為正方形，所以可將四棱錐補成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球.由面，所以就是與平面所成的角，則，所以，設四棱錐的外接球的半徑為，因為長方體的對角線的長即為其外接球的直徑，所以，所以，所以四棱錐的外接球的表面積為.故選：C【變式5-1】（2025·高一·黑龍江七臺河·期中）據《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，將三棱錐補形為正方體，則外接球半徑.所以三棱錐外接球表面積.故選：B.【變式5-2】（2025·高一·河北唐山·期中）已知三棱錐中，面ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據已知中底面是邊長為2的正三角形，且底面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面，以為高的正三棱柱的外接球，因為時邊長為2的正三角形，可得的外接圓半徑為，所以球心到的外接圓圓心的距離為，故球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：B.題型六：正棱錐與側棱相等模型【例6】（2025·高三·安徽池州·期末）三棱錐中，，，，則三棱錐外接球表面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設底面外接圓圓心為，半徑為，則，即.設三棱錐高為，球的半徑為.由，得球心在上，且，則，當且僅當時等號成立，此時外接球表面積最小，則.故選：B【變式6-1】（2025·高二·江蘇南通·階段練習）已知正三棱錐的底面邊長為，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐外接球的半徑為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】因為球與該正三棱錐的各棱均相切，所以平面截球得到的截面圓與的三邊均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面垂直的直線上，又因為底面邊長為，所以底面正三角形的內切圓的半徑為，又因為球的半徑為1，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點，如圖，過球心作的垂線交于，則，又因為，所以，所以，所以，因為外接圓的半徑為，正三棱錐外接球的球心在上，設半徑為，所以，即，解得.故選：.【變式6-2】（2025·重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．【答案】【解析】三棱錐中，取BC中點D，連PD，連AD并延長至O1，使DO1=AD，連接BO1，CO1，PO1，如圖：于是得四邊形為平行四邊形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，則，是正三角形，，于是得O1是外接圓圓心，因，D為BC中點，則PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，從而有平面，，同理，而，從而得平面，由球的截面小圓性質知，三棱錐外接球球心O在直線上，又，則，解得，設球O的半徑為R，則，，中，，即，解得，則球O的表面積為，所以三棱錐外接球的表面積為．故答案為：題型七：側棱為外接球直徑模型【例7】（2025?五華區校級期末）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個三棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】解：如圖所示，由條件為直角三角形，則斜邊的中點為的外接圓的圓心，連接得平面，，，，平面，三棱錐的體積為．故選：．【變式7-1】（2025?紅花崗區校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，若該三棱錐的體積為，則該球的表面積A． B． C． D．【解析】解：根據題意作出圖形：設球心為，過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面．該三棱錐的體積為，，解得，為球的直徑，，，球半徑．該球的表面積．故選：．【變式7-2】（2025?撫順校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：設球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．，，球的表面積為．故選：．題型八：共斜邊拼接模型【例8】在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【解析】設矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示．∴外接球的半徑．故．選C．【變式8-1】三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【解析】是公共的斜邊，的中點是球心，球半徑為．【變式8-2】在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱錐的外接球的直徑為，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．題型九：垂面模型【例9】（2025·河南·模擬預測）在四棱錐中，側面底面ABCD，且，，底面ABCD是邊長為2的正方形，設P為該四棱錐外接球表面上的動點，則三棱錐的最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接交于點，取中點為，連接，作圖如下：因為，又為的中點，故為的外心，又平面平面，且面面，又面，故可得面，故；又四邊形為正方形，且為對角線交點，故可得，綜上所述，，故為四棱錐的外接球的球心.則其外接球半徑.又P為該四棱錐外接球表面上的動點，若使得三棱錐的體積最大，則此時點到平面的距離，故其體積的最大值.故選：.【變式9-1】（2025·江西南昌·模擬預測）若體積為的四棱錐的五個頂點都在表面積為的球面上，四棱錐的底面是邊長為的正方形，平面平面，則棱的長為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】設四棱錐的外接球球心為，半徑為，則，解得，設四棱錐的高為，則，解得，設的中點為，過點在平面內作，因為平面平面，平面平面，平面，平面，由球的幾何性質可知平面，且，則，所以，平面，故的外接圓的半徑為，，且，因為，所以，、在的同側，則為銳角，設，，所以，，，可得，①由余弦定理可得，，②聯立①②可解得或.故選：D.【變式9-2】（2025·高三·山東威?！て谀┮阎忮F為中點，側面底面，則三棱錐外接球的表面積為，過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為【答案】【解析】根據球和棱錐的幾何性質、面面垂直的性質定理，結合球的表面積公式和圓的面積公式進行求解即可.連接，由可知：和是等邊三角形，設三棱錐外接球的球心為，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，是等邊三角形，為中點，所以，又因為側面底面，側面底面，所以底面，而底面，因此所以是矩形.和是邊長為2的等邊三角形，所以兩個三角形的高，在矩形中，.，連接，所以，所以三棱錐外接球的表面積為；設過點的平面為，當時，此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，，因此圓的半徑為：，所以此時面積為；當點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：，所以截面的面積范圍為：，故答案為：；題型十：最值模型【例10】（2025·高一·安徽池州·期中）已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點，若線段的最小值為，則正方體的外接球的表面積為.【答案】【解析】設正方體的棱長為，則正方體的外接球與內切球半徑分別為，且球心均為正方體的中心，，且線段的最小值為，，正方體的外接球的表面積為.故答案為：【變式10-1】（2025·陜西西安·模擬預測）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，高AA1為3，底面ABCD為長方形且面積為，則該直四棱柱外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】設底面邊長分別為，，則，另設球半徑為，則，即，∴直四棱柱外接球的半徑的最小值為2，∴該直四棱柱外接球的表面積的最小值為.故答案為：【變式10-2】（2025·遼寧撫順·一模）已知三棱柱的頂點都在球O的表面上，且，若三棱柱的側面積為，則球O的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知三棱柱是直三棱柱，設其高為，設，則，，，由余弦定理得，即，設三角形的外接圓半徑為，則，所以球的半徑，當且僅當時等號成立.所以球的表面積的最小值為.故選：C題型十一：二面角模型【例11】（2025·安徽·蕪湖一中模擬預測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過這兩點分別作平面、平面的垂線，交于點O，則O就是外接球的球心；取中點E，連接，因為，，所以，因為和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半徑為，所以球體積為．故選：C.【變式11-1】（2025·全國·高三專題練習）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（

）A．12π B．13π C． D．【答案】B【解析】如圖1，取中點，連接，則，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知為二面角的平面角，此角為鈍角，所以，所以，因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，此長方體的外接球就是四面體的外接球，設長方體的棱長分別為，則，解得，所以外接球的直徑為，，球表面積為．故選：B．圖1圖2題型十二：圓錐圓柱圓臺模型【例12】（2025·高一·浙江寧波·期中）圓臺的上下底面半徑和高的比為，母線長為，則圓臺的外接球表面積為．【答案】【解析】設圓臺的上底半徑為，則下底半徑是，高為，作軸截面如圖所示：又母線長為，，解得．圓臺的上底面半徑是3，下底面半徑是4，高是1，設圓臺外接球的半徑為，則，，又，聯立解得．圓臺的外接球表面積為．故答案為：【變式12-1】（2025·高一·陜西西安·期末）底面半徑為的圓錐側面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可作圖如下：設圓錐的母線長為，由題意可得，解得，則圓錐的高，圓錐外接球的半徑設為，則，解得，故圓錐外接球的表面積.故選：A.【變式12-2】（2025·全國·高三專題練習）如圖，半徑為4的球中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖.設圓柱底面半徑為，球的半徑與圓柱底面夾角為，則，，圓柱的高，圓柱的側面積為，當且僅當時，，圓柱的側面積最大，為，球的表面積與圓柱的表面積之差為.故選：D．題型十三：錐體內切球【例13】（2025·高二·湖南常德·期中）在棱長為2的正四面體中，正四面體的內切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正四面體底面的中心記為點，連接，.由正四面體的性質可得：面.因為正四面體棱長為2，所以底面三角形的高為，則，所以正四面體的高.設正四面體內切球的半徑為，球心為.由等體積法可得：，即，解得：.所以正四面體的內切球表面積為.故選：B.【變式13-1】（2025·高二·浙江寧波·期末）已知正四棱錐的底面邊長為4，側棱長為，其內切球與兩側面，分別切于點，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：設正四棱錐內切球的球心為O，半徑為R，P為內切球與側面PAB的切點，為側面上切點所在小圓的圓心，半徑為r，E為AB中點，底面正方形ABCD中心，因為正四棱錐S-ABCD的底面邊長為4，側棱長為，所以正四棱錐側面三角形的高為，正四棱錐的高為，正四棱錐的表面積為，正四棱錐的體積為，由等體積法得：，解得，因為，所以，由正四棱錐的定義知：內切圓與四個側面相切，四個切點構成正方形，所以，故選：A【變式13-2】（多選題）（2025·江西上饒·一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個球都與其他三個球外切，下面結論正確的是（

）A．以四個球球心為頂點的四面體體積為B．以四個球球心為頂點的四面體體積為C．若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個球都內切，則該小球半徑為【答案】ACD【解析】設半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，易知，，,取中點，連接，因為，點為中點，所以，，則，故，則，因為平面，所以平面，則，故A正確，B不正確；若另一小球與這四個球都外切，設小球中心為，半徑為，則點在四面體內，取中點，中點，連接，則，，又，，所以，則球心在上，所以，同理，代入解得或（舍），故C正確；若另一小球與這四個球都內切，設小球中心為，半徑為，則，，且點在上，所以，同理，代入得或（舍），故D正確.故選：ACD.題型十四：棱切球【例14】（多選題）（2025·高三·江蘇揚州·開學考試）我們把所有棱長都相等的正棱柱(錐)叫“等長正棱柱(錐)”，而與其所有棱都相切的稱為棱切球，設下列“等長正棱柱(錐)”的棱長都為1，則下列說法中正確的有（

）A．正方體的棱切球的半徑為B．正四面體的棱切球的表面積為C．等長正六棱柱的棱切球的體積為D．等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面(側面和底面)截得的截面面積之和為【答案】BCD【解析】正方體的棱切球的直徑為正方體的面對角線，正方體的棱切球的半徑為面對角線的一半，即為，選項A錯誤；如圖，四面體ABCD為棱長為1的正四面體，把正四面體ABCD放到正方體中，則正方體的棱長即為正四面體的棱切球的直徑，所以正四面體的棱切球的半徑為，即正四面體的棱切球的表面積為，選項B正確；如圖，等長正六棱柱的棱切球的直徑為AB，即直徑為2，半徑為1，所以等長正六棱柱的棱切球的體積為，選項C正確；由棱切球的定義可知，棱切球被每一個面所截，截面為該面的內切圓，則等長正四棱錐的底面內切圓的面積為，每個側面正三角形的內切圓的半徑為正三角形高的，即，所以四個側面正三角形的內切圓的面積為，所以等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面截得的截面面積之和為，選項D正確.故選：BCD.【變式14-1】（多選題）（2025·高一·浙江·期中）已知棱長為2的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，則下列說法正確的是（

）A．球的體積為B．球內接圓柱的側面積的最大值為C．球在正方體外部的體積小于D．球在正方體外部的面積大于【答案】BCD【解析】A.依題意，得棱切球的半徑為，則球的體積為，錯誤B.記球的內接圓柱的底面半徑為，則內接圓柱的高為：，則內接圓柱的側面積為：，等號成立時，故球的內接圓柱的側面積最大值為：，正確C.球在正方體外部的體積小于球體積與正方體內切球體積之差，即，正確D.球在正方體外部的面積等于正方體外6個球冠的表面積.每一個球冠的表面積大于這個球冠中內接圓錐的側面積，則內接圓錐的底面半徑為，高為，得圓錐的母線長為：，得內接圓錐的側面積為：，所以6個球冠的表面積大于，正確故選：BCD【變式14-2】（多選題）（2025·高一·山東臨沂·期中）如圖，已知棱長為1的正方體中，下列命題正確的是（

）

A．正方體外接球的直徑為B．點在線段上運動，則四面體的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為D．是正方體的內切球的球面上任意一點，則長的最小值是【答案】ABC【解析】選項A：連接，則為正方體外接球的直徑，又，則正方體外接球的直徑為.判斷正確；選項B：點在線段上運動，點到平面的距離恒為1，則四面體的體積不變.判斷正確；選項C：與所有12條棱都相切的球的半徑為，該球體積為，則與所有12條棱都相切的球的體積為.判斷正確；選項D：正方體的內切球的半徑為，球心為中點，是球面上任意一點，則長的最小值是.判斷錯誤.故選：ABC

【過關測試】1．（2025·高一·江蘇鹽城·期末）《九章算術》中將“底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱”稱為塹堵；將“底面為矩形且一條側棱垂直于底面的四棱錐”稱為陽馬.如圖，在塹堵中，，，，陽馬的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以，又為直棱柱，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又矩形外接圓的直徑為，設的外接球的半徑為，又，，所以，所以，所以陽馬的外接球的表面積.故選：C2．（2025·高一·四川綿陽·期末）在邊長為4的正方形中，，分別為，的中點.將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意三棱錐中，兩兩垂直，以它們為相鄰棱把三棱錐中補成一個長方體，如圖，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，，，則外接球半徑為，表面積為．故選：D．3．（2025·高三·全國·階段練習）如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為3，與底面所成角的大小為，且，則該正四棱柱的外接球表面積為A． B．C． D．【答案】A【解析】連正四棱柱，平面為與底面所成角，，在中，，，正四棱柱的外接球半徑為，其表面積為.故選:A.4．（2025·高一·四川南充·階段練習）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發明了轉子發動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為4，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．勒洛四面體的體積是C．勒洛四面體內切球的半徑是D．若是勒洛四面體表面上的任意兩點，則的最大值為2【答案】C【解析】A.由對稱性可知，勒洛四面體的最大截面是經過正四面體的任意三個頂點的平面截勒洛四面體而得，如圖所示，故A選項錯誤；B.為的中心，是正四面體的外接球球心，連接，設正四面體的外接球半徑為,在中，，在中，，得，則正四面體的外接球的體積是，而勒洛四面體得體積小于其外接球的體積，故B錯誤；C.也為勒洛四面體的中心，連接，并延長交勒洛四面體的曲面于點，則為其內切球的半徑.因，，則，故C正確；D.分別為正四面體的棱的中點，連接并延長交勒洛四面體的曲面于點，則為最大值.，同理，則為等腰三角形的高，則，為等腰三角形的高，，由對稱性可知，，則，故D選項錯誤.故選：C.5．（2025·高一·福建龍巖·期末）已知球O內切于圓臺EF，其軸截面如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，，且，則圓臺EF的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】根據圓和等腰梯形的對稱性知道，分別為上下底的中點.連接，則，過于.四邊形為矩形．由于,則，則.由切線的性質知道.則.，．代入計算可得，.故選：D.6．（2025·高二·甘肅武威·階段練習）如圖，若圓臺的上?下底面半徑分別為，且，則此圓臺的內切球（與圓臺的上?下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球）的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓臺上?下底面圓心分別為，則圓臺內切球球心一定在中點處，設球與母線切于點，（為球的半徑），與全等，，同理，圓臺的內切球半徑內切球的表面積.故選：B.7．（2025·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內切球表面積為，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】球表面積為，則該球半徑為，設圓錐的高為h，則圓錐的母線長為，則此圓錐的軸截面面積為，解之得，則該圓錐的側面積為故選：B8．（2025·全國·模擬預測）正四面體的棱長為2，則其棱切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把正四面體放在正方體中，如圖，則正方體的內切球即為正四面體的棱切球，即正方體的棱長為正四面體的棱切球的直徑，因為，所以正方體的棱長為，棱切球的半徑為，所以正四面體的棱切球的體積為.故選：C.9．（2025·高一·廣東佛山·期末）已知正四棱臺，半球的球心在底面的中心，且半球與該棱臺的各棱均相切，則半球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，為下底面，記上底面的中心為，過作垂直于平面，垂足為，易知點在上，記半球與分別相切于點，由正四棱臺和球的對稱性可知，為的中點，因為，所以，，記半球的半徑為，則，所以，，分別在中，由勾股定理得，，因為，所以，解得或（舍去），所以半球的表面積為.故選：C10．（多選題）（2025·高一·黑龍江大慶·期末）如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（

）A．B．平面C．直線與平面所成的角為D．三棱錐外接球表面積為【答案】AD【解析】對于A，連接，則，因為，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，連接，由正方體得，，又，所以，因為平面，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯誤；對于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯誤；對于D，由正方體得，平面，且，，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．11．（多選題）（2025·高一·浙江寧波·期中）如圖是一個圓錐和一個圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑為2，則（

）A．圓錐的底面半徑為1B．圓柱的體積是外接球體積的四分之三C．該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為D．圓錐的側面積是圓柱側面積的一半【答案】CD【解析】如圖，設圓錐的頂點為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點為，由題意，設圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，則，解得，，故A錯誤；圓柱的體積為，外接球體積為，則，故B錯誤；圓柱底面面積為，外接球表面積，則，故C正確；圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為，圓柱側面積為，所以圓錐的側面積是圓柱側面積的一半，故D正確.故選：CD.12．（多選題）（2025·高三·湖北武漢·期中）已知球O是三棱錐的外接球，，則，點D是PB的中點，且，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐最長的棱棱長為 B．平面PABC．球心O到底面PAB的距離為 D．球O的表面積為【答案】ABD【解析】如圖，因為，所以，得，由D是PB的中點，得，又，所以，得，又，所以平面，故B正確；由，得，故三棱錐最長的棱棱長為，故A正確；取等邊三角形的中心G，連接OG，則，即球心O到底面的距離為1，故C錯誤；底面三角形外接圓的半徑，外接球的半徑，所以球的表面積為，故D正確.故選：ABD.13．（多選題）（2025·高一·江蘇蘇州·期中）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美，如圖是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關于該多面體的說法中正確的是（

）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球(即經過多面體所有頂點的球)【答案】ACD【解析】一個棱數為24的半正多面體有12個頂點，14個面；可將半正多面體補成棱長為1的正方體，故其頂點是正方體各棱的中點．半正多面體的棱長為，表面積為，體積可看作正方體的體積減去八個三棱錐的體積，則，又因為正方體的中心到多面體各頂點的距離相等，所以有外接球，故選：ACD.14．（多選題）（2025·高一·四川綿陽·期末）《九章算術》中稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖所示），已知該正方體的棱長為1，則下列命題正確的是（

）A．正方體的內切球的體積等于該牟合方蓋的內切球的體積B．該牟合方蓋的內切球的體積與其中一個圓柱體的體積之比為2∶3C．該牟合方蓋的內切球被平面截得的截面面積為D．以正方體的頂點A為球心，1為半徑的球在該正方體內部部分的體積與該牟合方蓋的內切球的體積之比為【答案】AB【解析】對于選項A：因為正方體的內切球與正方體的兩個內切圓柱的側面和底面都相切，又因為牟合方蓋與的兩個頂點和側面四個曲面剛好與正方體的側面相切，故正方體的內切球內切于牟合方蓋，所以正方體的內切球體積等于該牟合方蓋的內切球的體積，故A正確；對于選項B：由選項A可知：該牟合方蓋的內切球的半徑為，體積為，其中一個圓柱體的底面半徑為，高為1，體積為，所以該牟合方蓋的內切球的體積與其中一個圓柱體的體積之比為，故B正確；對于選項C：因為四邊形為正方形，則，平面，平面，則，，平面，平面，則，同理可證，，所以，平面，設交平面于點，則平面，因為，易知是邊長為的等邊三角形，則，由，所以，，易知正方體的內切球球心為的中點，且，所以，，而正方體的內切球半徑為，所以，正方體的內切球被平面截得的截面圓半徑為，所以，截面面積為，故C錯誤；對于選項D，以正方體的頂點A為球心，1為半徑的球在該正方體內部部分的體積恰為該球體積的，即為，該牟合方蓋的內切球的體積為，因此，所求體積之比為，故D錯誤.故選：AB.15．（2025·高一·天津南開·期末）為迎接我校建校120周年校慶，數學學科在八角形?；罩猩l靈感，設計了一枚“立體八角形”水晶雕塑，寓意南開在新時代中國“保持真純初心，駿駿汲汲前行”，以下為該雕塑的設計圖及俯視圖，它由兩個中心重合的正四棱柱組合而成，其中一個正四棱柱可看作由另一個正四棱柱旋轉45°而成，已知正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，設該雕塑的表面積為，該雕塑內可容納最大球的表面積為，該雕塑外接球表面積為，則，．

【答案】【解析】如圖，設兩個正方形的中心為，連接，

因為旋轉了45°，所以,由對稱性可設，，所以，則，所以,該雕塑底面可容納的最大的圓的半徑,所以該雕塑可容納的最大的球的半徑也為，外接球的半徑為,，故答案為：；.16．（2025·高二·四川資陽·開學考試）如圖，在邊長為6的正方形中，B，C分別