第1頁/共1頁2025年四川省巴中市高考數學一診試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數z在復平面內滿足，則復數z對應的點的集合所形成圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合復數的幾何意義，即可求解．【詳解】由，可知在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形為以為圓心，1為半徑的圓環及內部，故在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形面積為故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，B，然后進行交集的運算即可．【詳解】，得或，即或，，得，所以或，，故選：C3.設，則“是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，則；若，則，即“”是“”的既不充分也不必要條件、故選：D.4.已知向量，，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據向量的垂直關系寫出等式，再化簡計算求解參數的值.【詳解】，即，，得：，整理得，，所以選項A正確.故選：A.5.若函數奇函數，則（）A.0 B.1 C.2 D.無解【答案】D【解析】【分析】利用奇函數定義，列出等式，即可得到結果.詳解】解：根據題意，函數，則，若為奇函數，則，即，a的值不是常數，即無解．故選：D6.已知為等差數列的前n項和，若，，則（）A.56 B.60 C.64 D.68【答案】B【解析】【分析】利用等差數列前n項和公式求解．【詳解】解：設等差數列的首項為，公差為d，由為等差數列的前n項和，，，，解得，，則故選：B7.已知三棱錐四個頂點都在球O面上，，，M為AB的中點，C在面APB內的射影為PM的中點，則球O的表面積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意可知三棱錐的外接球的球心O在過M且垂直平面PAB的垂線上，設球心O到平面PAB的距離為t，球O的半徑為R，再根據勾股定理，建立方程，即可求解．【詳解】如圖，設PM的中點為N，則由平面PAB，可知，又，，所以，所以，所以，又三棱錐的外接球的球心O在過M且垂直平面PAB的垂線上，設球心O到平面PAB的距離為t，球O的半徑為R，則，解得，所以，所以球O的表面積為故選：B8.已知函數則方程實數根的個數為（）A.6 B.7 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】令，則有，解得，，，，再結合函數的圖象，分別求出的解的個數，即可得答案．【詳解】解：作出函數的圖象，如圖所示：令，則有，易得此時有4個解，分別為，，，，結合圖象可得：當時，即，此時有1個解；當，即時，有4個解；當，即有3個解；當，即有3個解；所以原方程共有個解．故選：D【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于令，將題意轉化為方程的實數根個數，畫出函數圖象，結合圖象求解.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的有（）A.回歸直線過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B.兩個變量相關性越強，則相關系數越接近C.將一組數據中的每一個數據都加上同一個正數，則其方差不變D.將個數的一組數去掉一個最小和一個最大數，則中位數不變【答案】CD【解析】【分析】根據線性回歸方程的性質可判斷A，根據相關系數的性質可判斷B，根據方差的性質可判斷C，根據中位數的定義可判斷D.【詳解】對于A選項，回歸直線過樣本點的中心，但是不一定過樣本點，故A錯誤；對于B選項，兩個變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近，故B錯誤；對于C，由方差的性質可知，將一組數據中的每一個數據都加上同一個正數，則其方差不變，故C正確；對于D，將個數的一組數去掉一個最小和一個最大數，則中位數不變，故D正確．故選：CD.10.已知函數，則（）A.是的對稱軸 B.的最小正周期為C.在區間上單調遞減 D.在點處的切線方程為【答案】BD【解析】【分析】化簡可得，再根據余弦函數的性質逐項分析判斷即可．詳解】，對于A，由于，則不是的對稱軸，故A錯誤；對于B，函數的最小正周期為，故B正確；對于C，當時，，由余弦函數的性質可知，在區間上單調遞增，故C錯誤；對于D，，，則在點處的切線方程為，故D正確．故選：BD11.過拋物線的焦點作直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，若直線的斜率分別是，則（）A.以為直徑的圓與軸相切；B.C.D.分別過兩點作拋物線的切線相交于點，則點在上.【答案】ABD【解析】【分析】由題意作圖，對于A，由梯形中位線得性質以及拋物線的性質，可得其正誤；對于B，設出直線方程，并聯立拋物線方程，寫出韋達定理，結合拋物線的定義，整理可得其正誤；對于C，由選項B的韋達定理，結合斜率公式，可得其正誤；對于D，對拋物線函數求導，由選項B的兩個點的坐標，寫出切線方程，聯立求交點，可得其正誤.【詳解】由題意，取的中點為，分別過作準線的垂線，垂足分別為，如下圖：對于A，由拋物線，則，焦點，準線，易知以為直徑的圓的圓心為，半徑，由圖可知，由圓心到軸的距離，則圓與軸相切，故A正確；對于B，由題意易知直線的斜率存在，則設直線方程為，聯立可得，消去可得，由，設，則，，，，由A選項的圖中可知，，所以，故B正確；對于C，由選項B可知，故C錯誤；對于D，由題意作圖如下：由，求導可得，由選項B，可得直線的斜率分別為，所以直線的方程分別為，，聯立，兩個方程分別乘可得消去可得，由在直線上，則，化簡可得，由，，則，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數基本關系式即可求解的值，進而利用二倍角的正弦公式以及同角三角函數基本關系式即可求解的值．【詳解】解：因為，所以，則故答案為：13.除以7的余數為______．【答案】1【解析】【分析】由，利用二項式定理展開計算即可．【詳解】解：因為，除以7的余數是故答案：14.已知，分別是雙曲線的左右焦點，點P在雙曲線右支上且不與右頂點重合，過作平分線的垂線，垂足為若，則離心率的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據角平分線及其垂線的特征得到、的長度，再根據余弦定理和三角形三邊的關系求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】根據題意作圖如下：連接，設平分線的垂線交于點N，因為角平分線，所以三角形為等腰三角形，，且M為中點，因為，所以，即，因為O為中點，M為中點，所以，又，，在三角形中，，在三角形中，，因為，所以，即，得，所以，又在三角形中，由三角形的三邊關系，有，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.甲乙兩人進行投籃比賽，要求各投籃2次．已知甲乙兩人每次投中的概率分別為，，且每人每次投中與否互不影響．（1）求“甲第一次未投中，乙兩次都投中”的概率；（2）求“乙獲勝”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，設“甲第一次未投中，乙兩次都投中”，易得，由相互獨立事件的概率公式計算可得答案；（2）設“乙獲勝”，則，由互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算可得答案．【小問1詳解】根據題意，設“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，設“甲第一次未投中，乙兩次都投中”，則；【小問2詳解】設“乙獲勝”，則，故16.已知數列的通項公式為（1）求證：；（2）令，證明：【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接利用函數的單調性和放縮法求出結果；（2）利用對數的運算和相消法的應用求出結果．【小問1詳解】數列的通項公式為，由于函數為單調遞增函數，故，所以【小問2詳解】由，所以，因為，當時，，故當時，.綜上可知，17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．（1）若，平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直．請證明；如果不垂直，請說明理由．（2）若底面ABCD為正方形，當平面AEF與平面PCD夾角為時，求的值．【答案】（1）平面平面PBC；證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證平面PBC，再利用面面垂直得判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面AEF與平面PCD的法向量，利用向量法求解即可．【小問1詳解】平面平面PBC，理由如下：證明：平面ABCD，平面ABCD，，又，而，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，，E為PB的中點，，而，且平面，平面PBC，平面AEP，平面平面PBC；【小問2詳解】由底面ABCD為正方形及底面ABCD，，AD，AP兩兩垂直，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，，設，設平面AEF的法向量為，，，則：，取，則，，得，設平面PCD的法向量為，，，則，取，則，，得，則，解得，即18.已知函數（1）求函數的極值；（2）求證：當時，；（3）若，其中，討論函數的零點個數．【答案】（1），無極大值（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】對求導，利用導數判斷函數的單調性，進而可得函數的極值；不等式等價于，，令，，利用導數證明即可；討論的零點個數問題，先對x分類討論去絕對值，易得在上總有唯一的零點；當時，對求導，再對t分類討論，結合導數知識及零點存在性定理判斷即可．【小問1詳解】，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，無極大值．【小問2詳解】證明：原不等式等價于：，，即，，令，，下證：，則，設，則，等號當且僅當時成立，所以在上單調遞增，，等號當且僅當時成立，所以在上單調遞減，，即原不等式成立．【小問3詳解】等價于的零點個數問題：①當時，，顯然在上單調遞增，又，?e?1=e?2>0②當時，，則，Ⅰ若，則在上恒成立，在上單調遞增，?x>?e?1=Ⅱ若，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；，令，得若，則?(x)min=?t>0若，則在上有唯一零點；若，則，又?e?1=e又由知，得，得，由零點存在性定理可知，在，上各有一個零點．綜上所述：當時，有一個零點：當時，有兩個零點；當時，有三個零點．【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數研究函數的極值，不等式的證明，函數零點個數的判斷，去絕對值分類討論是關鍵.19.已知雙曲線：與曲線：有4個交點A，B，C，按逆時針排列（1）若方程有4個實數根，，，證明：（2）設O為坐標原點，證明：為定值；（3）求四邊形ABCD面積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據題意得出，展開整理，對比系數即可得證；（2）由題意整理出關于x的方程，得出，，代入，即可求解；（3）按點O的位置，分O在內部和當O在外部時兩個情況，根據面積關系