2018-2019學(xué)年高三年級(jí)暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)卷（理科）出題人：李輝題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）若x，，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分條件 D.既不充分也不必要條件函數(shù)的大致圖象是A.

B.

C.

D.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值

A.2

B.3

C.

D.

若O為所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的形狀為A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等邊三角形已知，且，則a的值為A. B.15 C. D.225已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A.2 B.1 C. D.已知函數(shù)設(shè)，則的值等于A.1 B.2 C. D.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則最小正實(shí)數(shù)a的值為A. B. C. D.如圖，在中，，，若，則的值為

A. B. C. D.設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.6 B. C.0 D.12已知，，且，則的最小值為A.4 B. C.8 D.9若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是______．在中，角B為鈍角，則______填“”或“”或“”四棱錐的底面ABCD為正方形，底面ABCD，，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在表面積為的同一球面上，則______．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知A、B、C為的內(nèi)角，，是關(guān)于方程兩個(gè)實(shí)根．

Ⅰ求C的大小

Ⅱ若，，求p的值．

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次得到甲、乙兩位學(xué)生成績(jī)的莖葉圖．

Ⅰ現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，對(duì)預(yù)賽成績(jī)的平均值和方差進(jìn)行分析，你認(rèn)為哪位學(xué)生的成績(jī)更穩(wěn)定？請(qǐng)說(shuō)明理由；

Ⅱ若將頻率視為概率，求乙同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于84分的概率；

Ⅲ求在甲同學(xué)的8次預(yù)賽成績(jī)中，從不小于80分的成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)成績(jī)，列出所有結(jié)果，并求抽出的2個(gè)成績(jī)均大于85分的概率．

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，

證明：數(shù)列為等比數(shù)列．

若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．

已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，

，，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．

Ⅰ求證：平面PEC；

Ⅱ求PC與平面ABCD所成角的正切值；

Ⅲ求二面角的正切值．

設(shè)命題p：方程表示的曲線(xiàn)是一個(gè)圓；

命題q：方程所表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，若“”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

設(shè)a為大于0的常數(shù)，函數(shù)．

當(dāng)，求函數(shù)的極大值和極小值；

若使函數(shù)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

答案和解析【答案】1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.D 7.A

8.A 9.A 10.A 11.B 12.B 13.

14.

15.

16.

17.解：Ⅰ由已知，方程的判別式：，

所以，或．

由韋達(dá)定理，有，．

所以，，

從而．

所以，

所以．

Ⅱ由正弦定理，可得，

解得，或舍去．

于是，．

則．

所以．

18.解：Ⅰ派甲參加比較合適，理由如下：

，

，

，，

，，

故甲的成績(jī)比較穩(wěn)定，

Ⅱ；

Ⅲ從不小于80分的成績(jī)中抽取2個(gè)成績(jī)，

所有結(jié)果為，，，，，

，，，，，，

，，，，共15個(gè)，

其中，滿(mǎn)足2個(gè)成績(jī)均大于85分的有，，共3個(gè)，

故，所求的概率是．

19.解：證明：，時(shí)，

兩式相減

常數(shù)

又時(shí)，得

，

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

由

又

設(shè)

兩式相減

，

又

，

．

20.解：Ⅰ取PC的中點(diǎn)O，連接OF、OE．

，且

又E是AB的中點(diǎn)且．

．

四邊形AEOF是平行四邊形．

又平面PEC，平面PEC

平面PEC

Ⅱ連接AC

平面ABCD，是直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角

在中，即直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角正切為

Ⅲ作，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于連接PM，

由三垂線(xiàn)定理，得

是二面角的平面角

由∽，可得，

二面角P一EC一D的正切為

21.解：若命題p真：方程表示圓，則應(yīng)用，即，

解得，故m的取值范圍為．

若命題q真：，即或．

“”為假，p假或q假，

若p為假命題，則，

若q為假命題，則，

所以為假，實(shí)數(shù)m的取值范圍：．

22.解：當(dāng)時(shí)，，

令，則，或，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，

當(dāng)時(shí)，，

，．

，若為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，

，即，

即恒成立，

．

【解析】1.解：由，解得，

因此“”是“”的既不充分也不必要條件．

故選：D．

由，解得，即可判斷出結(jié)論．

本題考查了不等式的解法與性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.解：函數(shù)是偶函數(shù)，排除C，D．

當(dāng)時(shí)，．

排除A，

故選：B．

判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，然后利用特殊點(diǎn)的位置判斷即可．

本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的特殊點(diǎn)的位置的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3.解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面，梯形上下邊長(zhǎng)為1和2，高為2，

如圖：，，，，平面ABCD，．

底面的面積．

該幾何體為x，

幾何體的體積，

可得．

故選：B．

由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面的四棱錐，該幾何體為x，根據(jù)體積公式建立關(guān)系，可得答案

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三視圖投影關(guān)系，體積公式的運(yùn)用，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．4.解：因?yàn)椋?/p>

即；

又因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

所以是等腰三角形．

故選：B．

根據(jù)平面向量的線(xiàn)性表示與數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題意可得出是等腰三角形．

本題考查了平面向量的線(xiàn)性表示與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是綜合性題目．5.解：，

，

，，

，

，

，

．

故選：A．

把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

本題考查了指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．6.解：數(shù)列為等差數(shù)列，，

，

故選D．

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再利用，即可求得結(jié)論．

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生軛計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.解：，

，

則，

故選：A．

根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可得到結(jié)論．

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，先判斷a的符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．8.解：，

其對(duì)稱(chēng)軸方程由，．

得：，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

，．

當(dāng)時(shí)，最小正實(shí)數(shù)a的值為．

故選：A．

利用三角恒等變換可得，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求得答案．

本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，求得是關(guān)鍵，屬于中檔題．9.解：，，

，

，，

，

，

，，

則，

故選：A

根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進(jìn)行分解即可．

本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的和差運(yùn)算將向量進(jìn)行分解是解決本題的關(guān)鍵．10.解：作出約束條件的可行域如圖，

由知，，

所以動(dòng)直線(xiàn)的縱截距取得最大值時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)取得最大值．

由得．

結(jié)合可行域可知當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)取得最大值．

故選：A．

先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z最大值即可．

本題主要考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．11.解：，，且，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

則的最小值為，

故選B．

把要求的式子化為，再展開(kāi)后利用基本不等式求得它的最小值．

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，把要求的式子化為，是解題的關(guān)鍵．12.解：；

時(shí)，，時(shí)，；

時(shí)，取最小值；

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

又有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；

；

；

．

故選B．

可求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)便可求出函數(shù)的最小值及函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)便可得出關(guān)于a的不等式，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

考查基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)最值的方法和過(guò)程，函數(shù)零點(diǎn)的定義．13.解：展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是

展開(kāi)式中的項(xiàng)與x的乘積，加上含x項(xiàng)與的乘積；

由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

，

令，解得，；

令，解得，；

所求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

．

故答案為：．

根據(jù)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是展開(kāi)式中的項(xiàng)與x的乘積，加上x(chóng)項(xiàng)與的乘積；利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出對(duì)應(yīng)的項(xiàng)即可．

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．14.解：化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，

可得圓心坐標(biāo)為．

直線(xiàn)的斜率為，

與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為1．

則所求直線(xiàn)方程為，即．

故答案為：．

化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，再由已知可得所求直線(xiàn)的斜率，代入直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得答案．

本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查兩直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．15.解：，

又為鈍角，A為銳角，

，，，，

，即，

故答案為：．

由B為鈍角，A為銳角，可得，，，，利用兩角和的正弦函數(shù)公式，做差即可計(jì)算得解．

此題考查了三角函數(shù)值的符號(hào)，兩角和的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16.解：連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則，所以底面ABCD，則O到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即O球心，均為，

所以由球的表面積可得，解得，

故答案為：．

連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)E，則E是AC中點(diǎn)，取PC中點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出O是該四棱錐的外接的球心，可得球半徑，由四棱錐的所有頂點(diǎn)都在表面積為，建立方程求出PA即可．

本題考查四面體的外接球的表面積，考查勾股定理的運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．17.Ⅰ由判別式，可得，或，由韋達(dá)定理，有，，由兩角和的正切函數(shù)公式可求，結(jié)合C的范圍即可求C的值．

Ⅱ由正弦定理可求，解得B，A，由兩角和的正切函數(shù)公式可求，從而可求的值．

本題主要考查了和角公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，考查了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．18.Ⅰ分別求出，，判斷即可；

Ⅱ求出滿(mǎn)足條件的概率即可；

Ⅲ求出小于80分的成績(jī)的個(gè)數(shù)，求出滿(mǎn)足2個(gè)成績(jī)均大于85分的個(gè)數(shù)，求出滿(mǎn)足條件的概率即可．

本題考查了莖葉圖的讀法，考查求平均數(shù)和方差問(wèn)題，考查概率問(wèn)題，是一道中檔題．19.根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

由可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，利用分組求和和錯(cuò)位相減法求和即可．

本題考查了遞推關(guān)系，分組求和和錯(cuò)位相減法求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題20.Ⅰ取PC的中點(diǎn)O，連接OF、可得，且，又又平面PEC，平面PEC，可得線(xiàn)面平行．

Ⅱ平面ABCD可得是直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角在中，．

Ⅲ作，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于連接PM，得，是二面角的平面角．

解決成立問(wèn)題的關(guān)鍵是將空間角找出并且把空間問(wèn)題