廣西桂林十八中2025屆高三4月19日第12周數學試題考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數（為虛數單位），則的共軛復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．將函數圖象上每一點的橫坐標變為原來的2倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．3．設，為非零向量，則“存在正數，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件4．要得到函數的圖像，只需把函數的圖像（）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位5．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．如圖，中，點D在BC上，，將沿AD旋轉得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得7．已知集合，則等于（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．29．已知函數的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像關于軸對稱，，當取得最小值時，函數的解析式為（）A． B．C． D．10．“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發展我國與沿線國家經濟合作關系，共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統計圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降11．設為等差數列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．12．如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區環境基礎設施投資額逐年增加；B．2011年該地區環境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預測該地區2019年的環境基礎設施投資額，根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次為）建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型，根據該模型預測該地區2019的環境基礎設施投資額為256.5億元.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值是______.14．若直線與直線交于點，則長度的最大值為____．15．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優質平臺，現已日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰答題”四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有________種.16．定義在封閉的平面區域內任意兩點的距離的最大值稱為平面區域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構成平面區域，則平面區域的“直徑”的最大值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，已知曲線，曲線（為參數），求曲線交點的直角坐標.18．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.19．（12分）數列滿足，且.（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點A在圓C上，右準線與圓C相切.（1）求橢圓E的方程；（2）設過點A的直線l與圓C相交于另一點M，與橢圓E相交于另一點N.當時，求直線l的方程.21．（12分）在直角坐標系中，已知點，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）若上存在兩動點（A，B在軸異側）滿足，且的周長為，求的值.22．（10分）已知函數.若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點.（1）若a，且a≠0，證明：函數有局部對稱點；（2）若函數在定義域內有局部對稱點，求實數c的取值范圍；（3）若函數在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由復數除法求出，寫出共軛復數，寫出共軛復數對應點坐標即得【詳解】解析：，，對應點為，在第三象限．故選：C．本題考查復數的除法運算，共軛復數的概念，復數的幾何意義．掌握復數除法法則是解題關鍵．2．D【解析】

根據函數圖象的變換規律可得到解析式，然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點的橫坐標變為原來的2倍,得到再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故選：D考查三角函數圖象的變換規律以及其有關性質，基礎題.3．D【解析】

充分性中，由向量數乘的幾何意義得，再由數量積運算即可說明成立；必要性中，由數量積運算可得，不一定有正數，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D本題考查平面向量數量積的運算，向量數乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.4．A【解析】

運用輔助角公式將兩個函數公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形，整理后與對比，從而可選出正確答案.【詳解】解：.對于A：可得.故選:A.本題考查了三角函數圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個，一個是混淆了已知函數和目標函數;二是在平移時，忘記乘了自變量前的系數.5．B【解析】

由平面向量垂直的數量積關系化簡，即可由平面向量數量積定義求得與的夾角.【詳解】根據平面向量數量積的垂直關系可得，，所以，即，由平面向量數量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B本題考查了平面向量數量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.6．A【解析】

根據題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，．設，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．本題考查空間直線與平面所成的角的大小關系，考查三角函數的圖象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．7．C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.8．D【解析】

設，，，根據可得①，再根據又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題．9．A【解析】

先求出平移后的函數解析式，結合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關于軸對稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.本題主要考查三角函數的圖像變換及性質.平移圖像時需注意x的系數和平移量之間的關系.10．D【解析】

根據統計圖中數據的含義進行判斷即可.【詳解】對A項，由統計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D本題主要考查了根據條形統計圖和折線統計圖解決實際問題，屬于基礎題.11．C【解析】

根據已知條件求得等差數列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C本小題主要考查等差數列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數列前項和最值的求法，屬于基礎題.12．D【解析】

根據圖像所給的數據，對四個選項逐一進行分析排除，由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于選項，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對于選項，令代入回歸直線方程得億元，故選項描述不正確.所以本題選D.本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進行預測的方法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

先將前兩項利用基本不等式去掉，，再處理只含的算式即可．【詳解】解：，因為，所以，所以，當且僅當，，時等號成立，故答案為：1．本題主要考查基本不等式的應用，但是由于有3個變量，導致該題不易找到思路，屬于中檔題．14．【解析】

根據題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關系;考查數形結合思想和運算求解能力;根據圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關鍵;屬于中檔題.15．【解析】

先分間隔一個與不間隔分類計數，再根據捆綁法求排列數,最后求和得結果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有種;因此共有種.故答案為：本題考查排列組合實際問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16．【解析】

先找到平面區域內任意兩點的最大值為，再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點E，AC中點F，BC中點G，如圖所示顯然平面區域任意兩點距離最大值為，而，當且僅當時，等號成立.故答案為：.本題考查正弦定理在平面幾何中的應用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數形結合，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【解析】

利用極坐標方程與普通方程、參數方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為，所以，所以曲線的直角坐標方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點坐標為.本題考查極坐標方程與普通方程，參數方程與普通方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.18．（1）的長為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，根據向量垂直關系計算得到答案.（2）計算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，所以.，因為，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因為，所以，又，故.設為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據圖可知，二面角的余弦值為.本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.19．（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差數列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂項法，即可求解數列的前n項和.【詳解】（1）由題意，數列滿足且可得，即，所以數列是公差，首項的等差數列，故，所以.（2）由（1）知，所以數列的前n項和：==本題主要考查了等差數列的通項公式，以及“裂項法”求解數列的前n項和，其中解答中熟記等差數列的定義和通項公式，合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.20．（1）（2）或.【解析】

（1）圓的方程已知，根據條件列出方程組，解方程即得；（2）設，，顯然直線l的斜率存在，方法一：設直線l的方程為：，將直線方程和橢圓方程聯立，消去，可得，同理直線方程和圓方程聯立，可得，再由可解得，即得；方法二：設直線l的方程為：，與橢圓方程聯立，可得，將其與圓方程聯立，可得，由可解得，即得.【詳解】（1）記橢圓E的焦距為（）.右頂點在圓C上，右準線與圓C：相切.解得，，橢圓方程為：.（2）法1：設，，顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為：.直線方程和橢圓方程聯立，由方程組消去y得，整理得.由，解得.直線方程和圓方程聯立，由方程組消去y得，由，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.分法2：設，，當直線l與x軸重合時，不符題意.設直線l的方程為：.由方程組消去x得，，解得.由方程組消去x得，，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.本題考查求橢圓的標準方程，以及直線和橢圓的位置關系，考查學生的分析和運算能力.21．（1）；（2）【解析】

（1）設，則由題設條件可得，化簡后可得軌跡的方程.（2）設直線，聯立直線方程和拋物線方程后利用韋達定