matlab拉格朗日試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[25]分）

1.拉格朗日插值法是一種用于在給定節(jié)點上插值多項式的方法，以下關(guān)于拉格朗日插值法的描述中，正確的是：

A.插值多項式是唯一的

B.插值多項式是唯一的，但可能不是最小二乘多項式

C.插值多項式不是唯一的，可能存在多個滿足條件的插值多項式

D.插值多項式不是唯一的，但一定是最小二乘多項式

2.在MATLAB中，使用拉格朗日插值法可以通過哪個函數(shù)實現(xiàn)？

A.lagrange

B.interp1

C.pade

D.lagrange2

3.在MATLAB中，以下哪個函數(shù)可以實現(xiàn)多項式擬合？

A.polyfit

B.polyval

C.lagrange

D.interp1

4.拉格朗日插值多項式在節(jié)點處的值為：

A.0

B.1

C.節(jié)點對應(yīng)的函數(shù)值

D.無法確定

5.拉格朗日插值法適用于以下哪種情況？

A.函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)連續(xù)

B.函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)存在多個零點

C.函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)存在無窮遠(yuǎn)處

D.函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)存在間斷點

二、填空題（每題[5]分，共[25]分）

1.拉格朗日插值多項式的形式為：__________

2.拉格朗日插值法的基本思想是：__________

3.在MATLAB中，使用lagrange函數(shù)進(jìn)行拉格朗日插值時，需要提供節(jié)點和函數(shù)值，節(jié)點和函數(shù)值的格式分別為：__________和__________

4.拉格朗日插值法在節(jié)點處的誤差為：__________

5.拉格朗日插值法在節(jié)點附近的誤差估計公式為：__________

三、簡答題（每題[10]分，共[30]分）

1.簡述拉格朗日插值法的原理。

2.比較拉格朗日插值法和牛頓插值法的優(yōu)缺點。

3.如何在MATLAB中實現(xiàn)拉格朗日插值法？請給出示例代碼。

四、編程題（每題[20]分，共[40]分）

1.編寫MATLAB函數(shù)，實現(xiàn)拉格朗日插值法，并計算給定節(jié)點和函數(shù)值下的插值多項式。

2.編寫MATLAB函數(shù)，實現(xiàn)使用拉格朗日插值法對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，并繪制原始數(shù)據(jù)和插值曲線。

五、應(yīng)用題（每題[15]分，共[30]分）

1.已知函數(shù)f(x)=e^(-x^2)在x=0,1,2,3,4處有值，請使用拉格朗日插值法構(gòu)造一個插值多項式，并計算f(1.5)的近似值。

2.設(shè)有如下一組數(shù)據(jù)點：(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，請編寫MATLAB代碼，實現(xiàn)以下要求：

a.使用拉格朗日插值法構(gòu)造插值多項式。

b.計算插值多項式在x=0.5處的值。

六、論述題（每題[15]分，共[30]分）

1.論述拉格朗日插值法的誤差特性，并說明如何估計插值誤差。

2.分析拉格朗日插值法在實際應(yīng)用中的局限性，并提出可能的改進(jìn)方法。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.答案：A

解析：拉格朗日插值法確保在所有節(jié)點處的插值多項式值與給定函數(shù)值相等，因此插值多項式是唯一的。

2.答案：B

解析：在MATLAB中，函數(shù)interp1可以用來進(jìn)行拉格朗日插值。

3.答案：A

解析：polyfit函數(shù)用于計算最小二乘多項式，而polyval用于評估多項式。

4.答案：C

解析：拉格朗日插值多項式在節(jié)點處的值為節(jié)點對應(yīng)的函數(shù)值。

5.答案：A

解析：拉格朗日插值法適用于函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)連續(xù)的情況。

二、填空題答案及解析：

1.答案：y=Σ[L_i(x)*y_i]

解析：拉格朗日插值多項式是所有基函數(shù)乘以對應(yīng)的函數(shù)值的和。

2.答案：通過構(gòu)造一個多項式，使得該多項式在給定的節(jié)點處等于函數(shù)值。

解析：拉格朗日插值法的基本思想是通過節(jié)點處的函數(shù)值構(gòu)造一個多項式來逼近函數(shù)。

3.答案：節(jié)點列表x_values，函數(shù)值列表y_values

解析：在MATLAB中，lagrange函數(shù)需要節(jié)點列表和對應(yīng)的函數(shù)值列表作為輸入。

4.答案：f(x)-L(x)

解析：拉格朗日插值法在節(jié)點處的誤差等于函數(shù)值與插值多項式值之差。

5.答案：|f(x)-L(x)|≤|h|^n*M*(n+1)!/((n+1)!!)

解析：拉格朗日插值法在節(jié)點附近的誤差估計公式考慮了節(jié)點間距和函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的最大值。

三、簡答題答案及解析：

1.答案：拉格朗日插值法通過構(gòu)造一系列的拉格朗日基函數(shù)，在每個節(jié)點處與函數(shù)值相乘，然后將這些乘積求和得到插值多項式。

解析：拉格朗日插值法的原理是通過基函數(shù)的線性組合來逼近給定的函數(shù)。

2.答案：拉格朗日插值法的優(yōu)點是計算簡單，易于實現(xiàn)，而缺點是插值多項式可能非常振蕩，且在節(jié)點處之外的性能可能較差。牛頓插值法在節(jié)點之間提供了更好的平滑性，但計算更為復(fù)雜。

解析：比較兩種插值法的優(yōu)缺點，分析各自的適用場景。

3.答案：

```matlab

functionp=lagrange_interpolation(x_values,y_values,x_interp)

n=length(x_values);

p=0;

fori=1:n

L_i=1;

forj=1:n

ifi~=j

L_i=L_i*(x_interp-x_values(j))/(x_values(i)-x_values(j));

end

end

p=p+L_i*y_values(i);

end

end

```

解析：編寫MATLAB代碼實現(xiàn)拉格朗日插值法，包括節(jié)點和函數(shù)值的輸入，以及插值點的計算。

四、編程題答案及解析：

1.答案：請參考第三部分簡答題中的代碼示例。

2.答案：

```matlab

%示例數(shù)據(jù)

x_values=[0,1,2,3,4];

y_values=[exp(-0),exp(-1),exp(-4),exp(-9),exp(-16)];

x_interp=0.5;

%拉格朗日插值

p=lagrange_interpolation(x_values,y_values,x_interp);

%繪制原始數(shù)據(jù)和插值曲線

plot(x_values,y_values,'o','MarkerFaceColor','r','DisplayName','OriginalData');

holdon;

plot(x_interp,p,'b-','LineWidth',2,'DisplayName','InterpolatedCurve');

legendshow;

xlabel('x');

ylabel('y');

title('LagrangeInterpolationExample');

holdoff;

```

解析：編寫MATLAB代碼實現(xiàn)拉格朗日插值，并繪制原始數(shù)據(jù)和插值曲線。

五、應(yīng)用題答案及解析：

1.答案：

```matlab

%給定數(shù)據(jù)點

x_values=[0,1,2,3,4];

y_values=[exp(-0),exp(-1),exp(-4),exp(-9),exp(-16)];

%使用拉格朗日插值法構(gòu)造插值多項式

p=lagrange_interpolation(x_values,y_values,1.5);

%計算f(1.5)的近似值

f_1_5=p;

```

解析：使用拉格朗日插值法計算給定點的函數(shù)值近似。

2.答案：

```matlab

%給定數(shù)據(jù)點

x_values=[0,1,2,3,4,5];

y_values=[1,2,3,4,5,6];

%使用拉格朗日插值法構(gòu)造插值多項式

p=lagrange_interpolation(x_values,y_values,0.5);

%計算插值多項式在x=0.5處的值

p_0_5=p;

```

解析：編寫MATLAB代碼實現(xiàn)拉格朗日插值，并計算指定點的插值多項式值。

六、論述題答案及解析：

1.答案：拉格朗日插值法的誤差特性與插值多項式的階數(shù)、節(jié)點間距以及函數(shù)的特性有關(guān)。誤差估