第1頁(yè)/共1頁(yè)吉安市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)2025.1數(shù)學(xué)試題（測(cè)試時(shí)間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求指數(shù)函數(shù)的值域求集合，再由集合的交補(bǔ)運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題意，∴，故.故選：B2.已知，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的意義求解.詳解】依題意，，則，所以.故選：A3.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可知是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，顯然代表數(shù)列的前66項(xiàng)和，所以.故選：B4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系的向量表示可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，由于，可得，解得，由于，因此．故選：D5.為響應(yīng)教育部推出的“德智體美勞全面發(fā)展以及五育并舉”的相關(guān)政策，某高中成立了鋼琴興趣社團(tuán)，5名同學(xué)為一小組，若某次鋼琴專業(yè)知識(shí)測(cè)試中某小組的5名成員測(cè)試成績(jī)分別為50，49，51，48，52，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A.50，2 B.50，10 C.51，2 D.51，1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的概念求解即可.【詳解】由題意可得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．故選：A.6.某小區(qū)大門口前有一圓臺(tái)形狀的人工噴泉石墩，經(jīng)測(cè)量該石墩的上下底面半徑和母線長(zhǎng)分別為，，（單位：m），且該石墩所用材料混凝土的密度約為，則該圓臺(tái)石墩的質(zhì)量約為（取3）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先求圓臺(tái)的高，利用圓臺(tái)體積公式計(jì)算，借助于混凝土密度即可求得圓臺(tái)石墩的質(zhì)量.【詳解】由題意可得，，，因此該圓臺(tái)石墩的高為，故該圓臺(tái)形石墩的體積約為，故該圓臺(tái)石墩的質(zhì)量約為故選：A7.已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則（）A.1 B.2 C. D.0【答案】C【解析】【分析】由題知函數(shù)周期和對(duì)稱軸，分類討論當(dāng)和時(shí)，利用輔助角公式和三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋詫?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，．則函數(shù)周期，則，∴，對(duì)稱軸為，，不合題，舍去；當(dāng)時(shí)，，其中，得的最小正周期，∴，∴，由，令，得，即，得，∴．∴．故選：C.8.已知雙曲線C：右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為其漸近線在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先轉(zhuǎn)化，再根據(jù)坐標(biāo)表示兩角差的正切公式，最后代入基本不等式，即可求解.【詳解】由已知得，，在第一象限的漸近線方程為，設(shè)，則，．∵，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若方程有三個(gè)實(shí)根，則b的可能取值為（）A.-1 B. C.0 D.【答案】BD【解析】【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)換成由三個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，求得極值，通過(guò)極值構(gòu)造不等式求解即可；【詳解】由題意可設(shè)函數(shù)，由題意可轉(zhuǎn)化為有三個(gè)零點(diǎn)，且，由，可得或，由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；∴在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則解得，結(jié)合選項(xiàng)只有BD符合；故選：BD10.已知，且（均為正數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)得，對(duì)于選項(xiàng)A，利用基本不等式，即可求解；對(duì)于B，利用基本不等式，再結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)果，即可求解；對(duì)于C，通過(guò)取特殊值，，即可求解；對(duì)于D，通過(guò)變形得，根據(jù)條件，利用選項(xiàng)A中結(jié)果，即可求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可得，對(duì)于選項(xiàng)A，∵，，所以，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由選項(xiàng)A知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，，滿足，此時(shí)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橛蛇x項(xiàng)A知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)D正確，故選：AD.11.現(xiàn)定義：定義域和值域均為正整數(shù)的單調(diào)增函數(shù)稱為“正直函數(shù)”，已知正直函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：假設(shè)，結(jié)合題意推出矛盾；對(duì)于BC：結(jié)合選項(xiàng)A可知：或（且），假設(shè)，結(jié)合題意推出矛盾，可得，即可得；對(duì)于D：可求，結(jié)合單調(diào)性分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，可得，兩者相矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)A可知：或（且）．若（且），令，則；再令，則，可得．因?yàn)椋瑒t，即，這與矛盾．即（且）不成立．所以，可得，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，，即．故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：令，，即．又為正整數(shù)．且單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于本題的推理，采取正難則反的思想，關(guān)鍵在于利用反證法，先假設(shè)再推出矛盾.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的斜率為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得幾何意義求得切線方程，代入即可求解；【詳解】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故曲線在處的切線方程為l：，將，代入，得，解得，∴，故答案為：213.已知，且，，則______．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立已知條件，平方相加，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和余弦的差角公式求解即可.【詳解】由題意可得平方相加得：，，．∵，∴，∴，故答案：.14.若，，，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式可得，即可根據(jù)全概率公式求解.【詳解】∵，∴．又，∴，解得，故選：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，的面積．（1）求A；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由結(jié)合立方和公式得到，再由余弦定理即可求解；（2）由三角形面積公式求得，再結(jié)合余弦定理求得，即可求解；【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，∴．又，∴．【小問(wèn)2詳解】，∴．，∴．由正弦定理可得．16.如圖，四棱錐中，平面平面ABCD，是以P為頂點(diǎn)，腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，，，．（1）求證：平面平面PAB；（2）求直線PB與平面PCD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）面面垂直得到線面垂直，再結(jié)合線面垂直的判定證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和面的法向量，結(jié)合向量夾角余弦值公式計(jì)算即可【小問(wèn)1詳解】∵平面平面ABCD，且平面平面，且，平面ABCD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴，又，且，PA，平面PAB，∴平面PAB．∵平面PCD，故平面平面PAB．【小問(wèn)2詳解】解：取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO．∵，∴，∴．∵，∴，則．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OA，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，，則，，，．設(shè)為平面PCD的一個(gè)法向量，則由，得令，則．設(shè)與平面PCD的夾角為，則，故．17.在以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓：交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為．（1）求直線與的斜率之積；（2）求而積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程得韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即可根據(jù)斜率公式求解，（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，得三角形的面積表達(dá)，即可由基本不等式求解最值.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)直線：，，．聯(lián)立，消去，得．當(dāng)，即時(shí)，有，．∴，，即，可得，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知．又點(diǎn)O到直線l的距離，∴的面積．設(shè)，則，∵，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的面積最大值為．18.函數(shù)，．（1）求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)遞增，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性結(jié)合平移判定單調(diào)區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∵，又，∴，．∴使，∴有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】，令，則函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)的圖象．由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其中，．∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，，，，則，函數(shù)單調(diào)遞增．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增19.設(shè)正n邊形，的外接圓圓心為P，且．（1）求證：；（2）若正n邊形的頂點(diǎn)為定拋物線的頂點(diǎn)，且兩相鄰頂點(diǎn)，也在此拋物線上，記正n邊形周長(zhǎng)為．①求證：拋物線與正n邊形只有三個(gè)交點(diǎn)；②討論并證明數(shù)列的單調(diào)性．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析；②減函數(shù)，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合正多邊形的性質(zhì)即可；（2）①設(shè)正多邊形的外接圓，以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．由對(duì)稱性知點(diǎn)P也在y軸上（由于拋物線過(guò)點(diǎn)兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)），設(shè)：，．兩個(gè)曲線聯(lián)立.求出根，，即可；②運(yùn)用第①問(wèn)中，正n邊形中，中心角，得到直線傾斜角和方程．再與拋物線聯(lián)立，求出，．進(jìn)而得到，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式得到和，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后換元再導(dǎo)，最后判斷單調(diào)性即可.【小問(wèn)1詳解】易知，同理：，…，，．將上面n個(gè)等式相加，得．∵，∴．【小問(wèn)2詳解】①∵正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)共圓，圓心為點(diǎn)P，記該圓為．又點(diǎn)拋物線，則與拋物線的交點(diǎn)至少有3個(gè)．不妨以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線：，由對(duì)稱性知點(diǎn)P也在y軸上（由于拋