第1頁/共1頁寧波市2024學第一學期期末九校聯考高三數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知復數滿足，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復數的除法運算求解即可.【詳解】，故選：C2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式后，根據補集運算求解.【詳解】因為，，所以，故選：D3.已知向量，，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據向量平行的充要條件求出即可得解.【詳解】因為向量，，所以，即，解得或，所以是的充分不必要條件，故選：B4.展開式中的系數為（）A. B.5 C.15 D.35【答案】A【解析】【分析】由分類、分步計數原理結合組合數即可運算求解.【詳解】若要產生這一項，則當在中取1時，再在中取2個、取4個1，當在中取時，再在中取3個、取3個1，所以展開式中的系數為.故選：A.5.圓臺的上下底面半徑分別為1和3，圓臺的母線與下底面所成角為，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據圓臺上下底面半徑以及夾角之間的關系求出圓臺的高，再利用圓臺的體積公式求解即可.【詳解】由題意該圓臺的軸截面如圖所示，設上下底面半徑分別為，圓臺的高為，則由題意可得，，所以，所以圓臺的體積，故選：D.6.下列不等式正確的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】冪函數的單調性判斷A，根據指數與根式化簡可判斷B，利用對數函數的性質及換底公式可判斷C，根據正弦函數的單調性判斷D.【詳解】由冪函數在上為增函數可知，，故A錯誤；由，故B錯誤；由，所以，故C正確；因為，，即，又，即，所以，即，故D錯誤.故選：C7.如圖，直線與函數交點的橫坐標分別為，，，若，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】結合圖象可知，，從而可解，進而求值.【詳解】由圖象知圖象的對稱軸為直線，即，可得，又圖象的對稱中心為，即，所以，可得，解得，又，所以，所以，則.故選：A8.在平面直角坐標系中，若點到直線的距離不小于2，則的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由點A的坐標消參可得點所在軌跡方程為圓，利用圓心到直線的距離求出圓上點到直線最近距離，建立不等式求解即可.【詳解】由點可知，點A在圓上，圓心到直線的距離，由題意知，即，化簡可得，解得，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.從40個能歌善舞的人中選擇15個人參加藝術節表演，其中7個人唱歌，8個人跳舞，共有多少種選擇方式，下列各式表述正確的為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】應用分步乘法原理結合組合數計算即可.【詳解】從40個能歌善舞的人中選擇15個人參加藝術節表演，其中7個人唱歌，8個人跳舞，先從40個能歌善舞的人中選擇15個人有種選擇，再從15個人參加藝術節表演中選擇7個人唱歌有種選擇，剩下的8人跳舞，共有種選擇方式，A選項正確；先從40個能歌善舞的人中選擇7個人唱歌有種選擇，再從剩下33個人中選擇8個人跳舞有種選擇，共有種選擇方式，B選項正確；先從40個能歌善舞的人中選擇8個人跳舞有種選擇，再從剩下32個人中選擇7個人跳舞有種選擇，共有種選擇方式，C選項正確；不能滿足從40個能歌善舞的人中選擇15個人參加藝術節表演，其中7個人唱歌，8個人跳舞，D選項錯誤；故選：ABC.10.如圖，圓錐SO的底面圓直徑為AB，，，D為底面圓上的動點，則（）A.當直線SD與AB所成角為60°時，直線SD與OC所成角為30°B.當直線SD與AB所成角為60°時，直線SD與OC所成角為60°C.直線SD與AB所成角的最小值為45°D.直線SD與AB所成角的最大值為60°【答案】BC【解析】【分析】作出兩條異面直線所成的角求解即可判斷AB，根據線面角的定義及性質可判斷CD.【詳解】過作直線分別平行于，交分別為，連接，如圖，則為直線與所成的角，即，且為直線所成的角，設，則，在中，，所以，故A錯誤，B正確；對于C、D，易知直線與所成角的最小值即為直線與底面所成角，同時直線與所成角的最大值為直線與所成角，故D錯誤，C正確.故選：BC11.已知函數，數列滿足，前項和為．則（）A.函數的對稱中心為B.函數為奇函數C.不等式解集為D.若，，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A：計算的和是否為即可判斷；B：設，計算的和是否為即可判斷；C：根據函數的單調性和對稱中心即可判斷；D：利用數列求和得到，再根據基本不等式求最小值即可.【詳解】.所以函數關于對稱，A正確；令，則，由A知，，所以.所以不是奇函數，B錯誤；因為，所以因為在R上單調遞增，所以，，C正確；由A知，，且，，.又因為，所以.時，，當且僅當即，，時等號成立；時，，當且僅當即，，時等號成立；所以若，，則的最小值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數據的平均數為3，方差為1，則數據，，，…，的平均數與方差的和為__________．【答案】19【解析】【分析】根據平均數和方差的公式即可計算.【詳解】設數據，，，…，平均數為，方差為，設，設的平均數為，方程為，則有，，所以，故答案為：19.13.過點的直線與拋物線交于兩點，且，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據兩直線垂直可得直線方程，與拋物線方程聯立利用韋達定理可求，根據可求的值.【詳解】由題意得，，∵，∴，故直線方程為，即，設，則，由得，，，∴，∵，∴，解得.故答案為：.14.已知函數有兩個極值點，，當時，的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由題可得，令，可得關于n的表達式，然后可得關于n的表達式，最后分別利用導數研究，，可得答案.【詳解】，因有兩個極值點，，則.令，則，則，，兩式相除可得，又，則.構造函數，，令，兩邊取對數得：，兩邊求導數，可得，則，因x1x?1xx?12>0，則令，則，故上單調遞減，則，則，即在上單調遞減.則，則，對于，注意到，因，則，則.則，，構造函數，則，則在上單調遞減，故，即.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：對于形如，等形式函數的求導，可參照解析中的過程引入輔助變量y解決；為重要極限，對于學有余力的同學可了解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙兩個箱子裝有大小及外觀相同的小球，甲箱中有5個白球和3個黑球，乙箱中有4個白球和3個黑球．（1）若從甲箱中任取2個小球，求這2個小球同色的概率；（2）若先從甲箱中任取2個小球放入乙箱中，然后再從乙箱中任取1個小球，求從乙箱中取出的球是白球的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求出從甲箱中任取2個小球的事件數，再求出這2個小球同色的事件數即可得出；（2）先求出從從甲箱中取出2個小球的各種情況的概率，再利用條件概率公式求解.【小問1詳解】從甲箱中任取2個小球的事件數為，這2個小球同色的事件數為，所以這2個小球同色的概率為．【小問2詳解】設事件A為“從乙箱中任取1個小球，取出的這個小球是白球”，事件為“從甲箱中取出的2個小球都是白球”，事件為“從甲箱中取出的2個小球為1個白球1個黑球”，事件為“從甲箱中取出的2個小球都是黑球”，則事件，，彼此互斥．，，，，，，所以，所以取出的這個小球是白球的概率為．16.已知函數．數列的首項．以后各項按如下方式取定：記曲線在處的切線為，若，則記與軸交點的橫坐標是．（1）證明：數列為等比數列；（2）設，求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導數來求出切線，再求出與軸交點橫坐標，從而可得到數列的遞推關系，然后再利用證明的等比數列后一項，通過遞推代入得到與前一項的關系，再加以說明非0，即可得證等比數列；（2）利用第一問即可求得，從而利用錯位相減法來求數列的前項和即可.【小問1詳解】由，得，曲線在處的切線方程為，根據題意令可得，，由，因為，所以，且由得，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列．【小問2詳解】由上式得，，則，①兩邊乘以2可得：，②.由①－②得，，所以．17.如圖，三棱錐中，，．異面直線和所成角的余弦值為，點是線段上的一個動點．（1）證明：平面平面；（2）若二面角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結合題目條件，利用線面垂直可證面面垂直.（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量可求結果.【小問1詳解】法一：（幾何法）如圖，取中點，由，得，作，，則四邊形為菱形，且，連接，，，則，.∵異面直線與所成角的余弦值為，∴，當時，，此時，不能構成，舍去，故，，∵，，∴為直角三角形，故，∴，即，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．法二：（基底法）如圖，取中點，由，得，，故二面角的平面角為，由題意，得，，設，，，．則，，，，，，∵，∴，∴或（舍去），∴，此時，平面平面．【小問2詳解】如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設，，則，∴，得，故.設平面的法向量，則令，得，，即，設平面的法向量為，則令，則，即，設二面角的平面角為，則，得或（舍），故，∴，故.18.如圖，雙曲線左右焦點分別為，，雙曲線與有相同的漸近線和焦距．過上一點作的兩條切線，切點分別為A，B，A在軸上方，連接AB交于點M．（注：過曲線外一點作曲線的兩條切線，則兩切點所在直線方程為）（1）求雙曲線的方程；（2）證明：直線AB與切于點M，且；（3）當點在第三象限，且時，求的值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據雙曲線的漸近線及焦距列方程求解即可；（2）聯立直線與雙曲線方程，根據相切求出切點橫坐標，再聯立直線與雙曲線方程，利用根與系數關系可得出為中點得證；（3）法一可由直線，聯立求出點坐標，代入雙曲線方程求出，再由三角形面積公式得解，法二利用，，求出即可得解.【小問1詳解】的漸近線方程為，，的漸近線方程為，，所以，得，，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】已知，且滿足，設切點，，，根據題意得，直線AB方程為．直線AB與聯立，得，化簡得，，所以直線AB與切于點．所以，．直線AB與聯立，得，即，得，所以，即為中點，所以．【小問3詳解】法一：因為，則，直線與直線聯立，得，即，將點代入，得，化簡得，由得，，所以．法二：因為，，點與點關于原點對稱，所以．因為，所以，因為，所以，所以，，所以．【點睛】關鍵點點睛：第三問的關鍵在于直接算面積需要求出，或者利用三角形面積之間關系可轉化為求，不論那種方法，都需要較強的運算能力.19.（1）證明：；（2）當時，利用所給圖形證明（1）中等式；（3）如圖，的外接圓半徑為1，，的一個外角的角平分線交外接圓于點D，過D作于點M，利用（1）中等式，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據，利用兩角和的