第1頁/共1頁佩佩教育2025屆2月湖南高三聯(lián)考數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】先求出A，B，再根據(jù)并集概念計算即可.【詳解】因為，由，解得，則，所以A∪B=x∣x>0，故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.射線上 B.射線上C.直線上 D.直線上【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出，再結(jié)合已知條件列出等式，最后化簡等式得到與的關(guān)系，從而確定復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡.【詳解】對于復(fù)數(shù)，，其共軛復(fù)數(shù)..因，由，可得.因為等式右邊，所以，即.對兩邊同時平方得，即.兩邊同時開平方得，又因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在射線上.故選：A.3.已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積的定義、平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，又，所以，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，所以當(dāng)時，，故選：B.4.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】取中間值1比較，再用換底公式變形，結(jié)合作差法比較即可.【詳解】因為，其中，所以a?b=lg3lg故選：D.5.數(shù)列中，，若是數(shù)列的前項積，則的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得，然后求得的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意得，，所以，所以，因，所以當(dāng)或8時，取得最大值為，故選：A.6.已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】借助輔助角公式與函數(shù)周期計算可得，再結(jié)合奇函數(shù)定義計算可得，再將兩者圖象畫出即可得解.【詳解】，由已知函數(shù)的最小正周期為，則，所以，其中，且，又由為奇函數(shù)知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，則有，解得，所以，所以，即.畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線與交點個數(shù)為4.故選：B7.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，方程有且只有一個實根，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，.構(gòu)造函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為有且僅有一個零點.證明為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，解得.再驗證即可.【詳解】由得，.令，則原問題等價于有且僅有一個零點.因為，所以為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得.當(dāng)時，則.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即有且僅有一個零點0，所以符合題意，故選：D.8.在四面體中，，且與所成的角為.若該四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】將四面體補形為直三棱柱，設(shè)，由可得，在中，由勾股定理可得，利用余弦定理和基本不等式求解.【詳解】依題意，可將四面體補形為如圖所示的直三棱柱.因為與所成的角為，所以或.設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點.易知平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，于是，所以.在中，，在中，由余弦定理得，顯然當(dāng)時，外接球的半徑會更小，此時，所以，所以，故它的外接球半徑的最小值為2.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將四面體補形為直三棱柱，轉(zhuǎn)化為求直三棱柱外接球半徑的最小值.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：，則（）A.極差是4 B.眾數(shù)等于平均數(shù)C.方差是2 D.第25百分位數(shù)為12【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)極差、眾數(shù)、平均數(shù)、方差、百分位數(shù)的定義求解判斷選項即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為：.對于選項A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于選項B，眾數(shù)為13，平均數(shù)為，所以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B正確；對于選項C，方差為，故C錯誤；對于選項D，由，則第25百分位數(shù)為12，故D正確，故選：ABD.10.設(shè)點是曲線上一點，曲線在點處的切線為，則（）A.，函數(shù)奇函數(shù)B.，函數(shù)有且僅有一個極小值點C.當(dāng)時，直線與兩坐標軸圍成的圖形面積為8D.當(dāng)時，直線與直線和所圍成的圖形面積為8【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A，運用奇偶性定義判定；對于選項B，舉反例判定；對于選項C，運用導(dǎo)數(shù)求出斜率，得到直線方程，還有截距，進而求得面積判定；對于選項D，借助導(dǎo)數(shù)求得切線為的方程，再求出它與直線的交點為，它與直線的交點為，得到圍成的圖形面積即可.【詳解】對于選項A，因為，故A正確；對于選項B，當(dāng)時，反比例函數(shù)無極小值和極大值，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)時，，設(shè)，則切線為的方程為，它與兩坐標軸的交點分別為和，它們圍成的圖形面積，故C正確；對于選項D，當(dāng)時，.設(shè)，則切線為的方程為，它與直線的交點為，它與直線的交點為，它們圍成的圖形面積.，故D正確，故選：ACD.11.某學(xué)習(xí)小組用曲線：和拋物線部分曲線圍成了一個封閉的“心形線”，過焦點的直線交（包含邊界點）于兩點，點是坐標原點，點是或上的動點，下列說法正確的是（）A. B.C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，通過拋物線經(jīng)過可求解，通過點共線求得可判斷，由焦點弦長公式可判斷C，由弦長公式及點到線的距離公式求得面積表達式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求解；【詳解】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分，可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分.對于A選項，拋物線過點，解得，故A正確；對于B選項，當(dāng)點三點共線時，，故B選項錯誤；對于C選項，因為是拋物線的焦點弦，所以當(dāng)為通徑時，；如圖：直線的方程為，由對稱性可設(shè)，可得，代入拋物線并整理得，可得所以即直線的方程為，，此時弦最長，且，故C正確；對于D選項，由對稱性不妨設(shè)，當(dāng)在點時，，所以，顯然離最遠的點在上，且.（：到距離，：到距離）聯(lián)立，整理得，則，則，所以，設(shè)，由在上單調(diào)遞增，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故D正確，故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則__________.【答案】【解析】【分析】由二項展開式的通項公式即可求解【詳解】展開式的通項公式為,由，故的系數(shù)為而，得，解得.故答案為：13.已知雙曲線：（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點．若，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】由題意根據(jù)圓的性質(zhì)得到圓心A到漸近線的距離，再利用點到直線的距離公式可得的關(guān)系，利用離心率公式求解即可．【詳解】雙曲線：的右頂點為，一條漸近線，即，∵圓的半徑為，且，∴，∴到漸近線的距離為，又到漸近線的距離，∴，則，則的離心率為．故答案為：．14.已知，且，則的最大值是__________.【答案】##【解析】【分析】將，運用差角公式展開，化簡，得到.結(jié)合又，代入后，得到，結(jié)合基本不等式計算即可.【詳解】因為，所以，即，即.又，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，所以的最大值是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合三角形中角的取值范圍，可得，從而確定角.（2）根據(jù)條件求角求邊，再結(jié)合三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由，及正弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，或.【小問2詳解】由得，又，所以.由（1）得，故，而為三角形內(nèi)角，.由正弦定理，得，故的面積.16.甲、乙兩人進行知識問答比賽，共進行多輪搶答賽，每輪比賽中有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計分規(guī)則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對一題得1分，答錯一題得分，未搶到題得0分，最后累計總分多的人獲勝.假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且兩人每題答題正確的概率分別為和.求：（1）甲在每輪比賽中獲勝的概率；（2）甲前二輪累計得分恰為4分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)甲在一輪比賽中獲勝為事件，甲在一輪比賽中共搶到道題為事件，由求解即可；（2）設(shè)甲前二輪累計得分恰為4分的事件為，甲在一輪比賽中得分的事件為，由即可求解，【小問1詳解】設(shè)甲在一輪比賽中獲勝為事件，甲在一輪比賽中共搶到道題為事件，則，又，，所以.【小問2詳解】設(shè)甲前二輪累計得分恰為4分的事件為，甲在一輪比賽中得分的事件為，則，，所以.17.如圖，在多面體中，的中點為.（1）求證：四點共面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定，再證明兩個平面重合即可.（2）結(jié)合（1）的信息確定二面角的平面角，再建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法列式求解.【小問1詳解】連接，由為中點，得，由，得，而平面，則平面，同理平面，又平面與平面有公共直線，所以四點共面.【小問2詳解】由（1）知，是二面角的平面角，設(shè)，由，得，則，，直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設(shè)平面法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，依題意，，即，平方化簡整理得，而則，即，又，則，，所以所求二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)和的圖象在處有相同的切線.（1）求實數(shù)和的值；（2）求函數(shù)的極值；（3）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值集合.【答案】（1）（2）函數(shù)只有唯一的極大值，無極小值（3）【解析】【分析】（1）分別求兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)即可求解；（2）表示函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性即可求得極值；（3）當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題解決.【小問1詳解】，據(jù)題意有：，聯(lián)立解得.【小問2詳解】由（1）知，，所以函數(shù)且，所以，因此函數(shù)在和單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，其大致圖象如圖，故函數(shù)只有唯一的極大值，無極小值..【小問3詳解】當(dāng)時，不等式恒成立等價于不等式恒成立，顯然有，令，則恒成立，而，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，記，則拋物線的開口向上，對稱軸為，又，所以當(dāng)時，，從而，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，不符合題意，所以，再令，則恒成立，而，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，記，則拋物線的開口向下，對稱軸為，又，所以當(dāng)時，，從而，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，不符合題意，綜上可知，實數(shù)的取值集合為.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左右函數(shù)值的符號；（2）若探究極值點個數(shù)，則探求方程在所給范圍內(nèi)實根的個數(shù)；（3）若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況來求解.19.已知橢圓經(jīng)過點，其右頂點為，上頂點為為坐標原點，且離心率為.（1）設(shè)在點處的切線，其斜率為的斜率為，求的值；（2）過在第一象限的點作橢圓的切線，分別與軸，軸交于點，且為線段的中點，記以點為中心，軸，軸為對稱軸，且過點的橢圓為，依此類推，，，過橢圓在第一象限的點作橢圓的切線，分別與軸，軸交于點，，且為線段的中點，記以點為中心，軸，軸為對稱軸，且過點，的橢圓為，由此得到一系列橢圓.（i）求的方程；（ii）過點作直線與橢圓分別交于，求證：.（附：若為橢圓上一點，則橢圓在點處的切線方程為：）【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）代入定點，結(jié)合；離心率解題，得到橢圓方程，再得到切線和斜率即可（2）（i）設(shè)，求出，代入的楠圓方程得：.求出直線的斜率和.結(jié)合（1）求出，得到.化簡可得，同理求得：，最終得到方程.（ii）分情況討論，再直曲聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和弦長公式計算，