第1頁/共1頁陸羽高中2024—025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）試卷內(nèi)容：直線與圓?圓錐曲線?數(shù)列?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率并化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】直線的斜率，所以所求的傾斜角為.故選：A2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，根據(jù)直線方程，即可求解.【詳解】因?yàn)椋話佄锞€方程為，，因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線方程為，所以拋物線準(zhǔn)線方程為.故選：D3.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程即可判斷參數(shù)范圍.【詳解】方程變形得：，該方程要表示橢圓，則需要滿足，解得：，故選：A.4.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公差，則k=（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】【詳解】D.由，公差，得，從而，所以，解得k=55.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B6.若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的概念，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題【詳解】由已知得，若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，則在上有解，即，解得.故選：D7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支相交于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義求得（用表示），再由勾股定理求得關(guān)系得離心率．【詳解】因?yàn)椋O(shè)，，又，所以，由雙曲線的定義得，，所以，從而，再由得，即，所以離心率為，故選：A．8.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的極大值為，極小值為B.的極大值為，極小值為C.的極大值為，極小值為D.的極大值為，極小值為【答案】C【解析】【分析】由圖，根據(jù)的符號(hào)，判斷出的符號(hào)，從而得到的單調(diào)性，找出的極值.【詳解】由圖象可知，當(dāng)和時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.所以在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以的極小值為，極大值為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】選項(xiàng)A:正確；選項(xiàng)B:錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：正確；選項(xiàng)D：，正確；故選：ACD10.已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推式及，求得，即可判斷A；分為奇數(shù)、為偶數(shù)，求出通項(xiàng)公式判斷B，C；利用分組求和，求出，判斷D．【詳解】解：因?yàn)椋矗裕獾茫蔄正確；由此可得，，，，……所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，==，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.在處的切線為軸 B.是上的減函數(shù)C.為的極值點(diǎn) D.最小值為0【答案】ACD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，判斷B;根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)極值的關(guān)系，判斷C,繼而判斷D.【詳解】由題意知，故，故在處的切線的斜率為，而，故在處的切線方程為，即，所以在處的切線為軸，A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；由此可得為的極小值點(diǎn)，C正確；由于在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)，故函數(shù)的極小值也為函數(shù)的最小值，最小值為，D正確，故選：三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)都有，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．再利用已知即可得出．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．對(duì)于任意的都有，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而可得的值，再利用切點(diǎn)在曲線也在切線上，可得的值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，所以,故答案為：-1.14.已知，對(duì)，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)條件做出的解釋構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】對(duì)，且，恒有，即，所以函數(shù)是增函數(shù)，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故恒成立，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即；故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系變形可得，結(jié)合等差數(shù)列定義證明結(jié)論，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)和的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）計(jì)算，判斷數(shù)列的單調(diào)性，令的最大值小于即可求解.【小問1詳解】由得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，即∴當(dāng)時(shí)，，又不滿足上式，所以.【小問2詳解】由（1）知，∴∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即所以的最大值為，依題意，即，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：16.已知函數(shù)且在處取得極值.（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)在的最大值與最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用來求得的值.（2）結(jié)合（1）求得在區(qū)間上的最值，由此確定正確結(jié)論.【小問1詳解】，依題意，解得.，所以在區(qū)間上遞增；在區(qū)間上遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意.小問2詳解】，，由（1）知，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)條件建立方程組，解出，即可求解；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問1詳解】設(shè)的首項(xiàng)為，公差為d，由題可得，解得，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則，于是，兩式相減得，所以18.如圖，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，又點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，，圓方程為．（1）求橢圓及圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點(diǎn)作直線與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1）橢圓方程為．圓的方程為．（2）或．【解析】【分析】（1）利用橢圓方程，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示，可得答案；（2）利用分類討論，分直線斜率存在與不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.【小問1詳解】由題意，，，，將代入，可得，解得，則，，，由，可得，即，故，由．代入解得，，，則橢圓方程為，圓的方程為．【小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，與圓相切，不符合題意；②如圖，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由，可得，依題意，需使，即，設(shè)，，則，，，，而圓心的坐標(biāo)為，則，，所以，即，代入得：，解得或，故得直線的方程為或．19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后對(duì)其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分再對(duì)其分子因式分解，分類討論與時(shí)單調(diào)性即可.（2）求出，將所證轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)