電大高等數學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.下列函數中，y=x^3在x=0處不可導的是（）

A.y=x^3

B.y=x^3+1

C.y=x^3-1

D.y=x^3+2x

2.設函數f(x)=x^2-3x+2，則f'(2)=（）

A.1

B.-1

C.2

D.0

3.設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上一定存在最大值和最小值的是（）

A.f(x)在[a,b]上單調遞增

B.f(x)在[a,b]上單調遞減

C.f(x)在[a,b]上有極值

D.f(x)在[a,b]上有拐點

4.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的極值點為（）

A.x=-1

B.x=1

C.x=-2

D.x=2

5.設f(x)=x^2-2x+1，則f(x)的拐點為（）

A.x=1

B.x=-1

C.x=0

D.x=2

6.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的導函數為（）

A.f'(x)=3x^2-3

B.f'(x)=3x^2-6x+2

C.f'(x)=3x^2-6x-2

D.f'(x)=3x^2-3x+2

7.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的二階導數為（）

A.f''(x)=6x-6

B.f''(x)=6x-3

C.f''(x)=6x+3

D.f''(x)=6x+6

8.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的三階導數為（）

A.f'''(x)=6

B.f'''(x)=0

C.f'''(x)=-6

D.f'''(x)=3

9.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的四階導數為（）

A.f''''(x)=0

B.f''''(x)=6

C.f''''(x)=-6

D.f''''(x)=3

10.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的五階導數為（）

A.f'''''(x)=0

B.f'''''(x)=6

C.f'''''(x)=-6

D.f'''''(x)=3

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設f(x)=x^2-3x+2，則f'(x)=_______。

2.設f(x)=x^3-3x+2，則f''(x)=_______。

3.設f(x)=x^3-3x+2，則f''''(x)=_______。

4.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的極值點為_______。

5.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的拐點為_______。

6.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的導函數為_______。

7.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的二階導數為_______。

8.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的三階導數為_______。

9.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的四階導數為_______。

10.設f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的五階導數為_______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數f(x)=x^3-3x+2的導數。

2.求函數f(x)=x^3-3x+2的二階導數。

3.求函數f(x)=x^3-3x+2的三階導數。

4.求函數f(x)=x^3-3x+2的極值點。

5.求函數f(x)=x^3-3x+2的拐點。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.計算定積分∫(0to1)(x^2-2x+1)dx。

2.計算不定積分∫(x^3-3x+2)dx。

五、證明題（每題10分，共10分）

證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)=f(b)，則存在至少一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

六、應用題（每題10分，共10分）

已知某產品的成本函數為C(x)=2x^2+3x+4，其中x為產量。求：

1.當產量為多少時，產品的平均成本最低？

2.最低平均成本是多少？

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B。y=x^3在x=0處不可導，因為導數f'(x)=3x^2在x=0處不存在。

2.A。f'(x)=2x-3，代入x=2得f'(2)=2*2-3=1。

3.A。根據極值存在定理，如果一個函數在閉區間上連續，那么它在該區間上一定存在最大值和最小值。

4.B。f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0解得x=1，這是f(x)的極值點。

5.A。f''(x)=6x，令f''(x)=0解得x=0，這是f(x)的拐點。

6.A。f'(x)=3x^2-3，這是導函數的標準形式。

7.A。f''(x)=6x-6，這是二階導數的標準形式。

8.A。f'''(x)=6，因為三階導數是一個常數。

9.A。f''''(x)=0，因為四階導數是一個常數且為零。

10.A。f'''''(x)=0，因為五階導數是一個常數且為零。

二、填空題答案及解析：

1.f'(x)=2x-3。

2.f''(x)=6x-6。

3.f''''(x)=6。

4.極值點為x=1。

5.拐點為x=0。

6.導函數為f'(x)=3x^2-6x+2。

7.二階導數為f''(x)=6x-6。

8.三階導數為f'''(x)=6。

9.四階導數為f''''(x)=0。

10.五階導數為f'''''(x)=0。

三、解答題答案及解析：

1.導數f'(x)=3x^2-3。

2.二階導數f''(x)=6x-6。

3.三階導數f'''(x)=6。

4.極值點為x=1，因為f'(1)=0。

5.拐點為x=0，因為f''(0)=0。

四、計算題答案及解析：

1.∫(0to1)(x^2-2x+1)dx=[1/3*x^3-x^2+x]from0to1=(1/3-1+1)-(0-0+0)=1/3。

2.∫(x^3-3x+2)dx=[1/4*x^4-3/2*x^2+2x]+C。

五、證明題答案及解析：

證明：根據羅爾定理，如果一個函數在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且兩端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么存在至少一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

六、應用題答案及解析：

1.產品的平均成本函數為AC(x)=C(