數學初三山東試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[30]分）

1.下列各數中，有理數是：（）

A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$\frac{1}{3}$D.$\sqrt{3}+\sqrt{5}$

2.若$a+b=0$，則$a^2+b^2$的值為：（）

A.0B.1C.2D.$a^2$

3.已知$x^2-4x+4=0$，則$x$的值為：（）

A.2B.0C.4D.1

4.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為：（）

A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$

5.若$a>0$，$b>0$，$a+b=2$，則$ab$的最大值為：（）

A.1B.$\frac{3}{2}$C.2D.$\frac{1}{2}$

二、填空題（每題[5]分，共[30]分）

6.若$x^2+2x+1=0$，則$x^2+4x+4=0$的解為______。

7.在$\triangleABC$中，若$a=6$，$b=8$，$c=10$，則$\cosB$的值為______。

8.若$a+b=4$，$ab=3$，則$a^2+b^2$的值為______。

9.已知$x^2+3x+2=0$，則$x^2+5x+6=0$的解為______。

10.若$a>0$，$b>0$，$a+b=3$，則$ab$的最小值為______。

三、解答題（每題[10]分，共[30]分）

11.已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$的值。

12.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=10$，$c=6$，求$\cosA$的值。

13.若$a>0$，$b>0$，$a+b=4$，求$ab$的最大值。

14.已知$x^2-5x+6=0$，求$x^2+4x+4$的值。

四、證明題（每題[10]分，共[20]分）

15.證明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。

16.證明：若$a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=0$，則$a=b=c=0$。

五、應用題（每題[10]分，共[20]分）

17.一輛汽車從甲地出發，以每小時60公里的速度行駛，3小時后到達乙地。另一輛汽車從乙地出發，以每小時80公里的速度行駛，幾小時后追上第一輛汽車？

18.某商品原價為$200$元，打折后售價為$150$元，求折扣率。

六、綜合題（每題[20]分，共[40]分）

19.已知$x^2-4x+3=0$，求$x^3-8$的值。

20.在$\triangleABC$中，$a=7$，$b=8$，$c=9$，求$\sinA$、$\sinB$和$\sinC$的值。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題[5]分，共[30]分）

1.C

解析思路：$\sqrt{2}$和$\pi$是無理數，$\sqrt{3}+\sqrt{5}$也是無理數，只有$\frac{1}{3}$是有理數。

2.B

解析思路：$a+b=0$，則$a=-b$，代入$a^2+b^2$得$(-b)^2+b^2=2b^2=b^2+2b^2=2(a^2)$。

3.A

解析思路：$x^2-4x+4=(x-2)^2=0$，解得$x=2$。

4.A

解析思路：由勾股定理知，$a^2+b^2=c^2$，所以$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{3}{5}$。

5.A

解析思路：由均值不等式知，$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$，當且僅當$a=b=\frac{3}{2}$時取等號。

二、填空題（每題[5]分，共[30]分）

6.$x_1=x_2=-2$

解析思路：$x^2+2x+1=(x+1)^2=0$，解得$x=-1$，所以$x^2+4x+4=(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$。

7.$\frac{3}{5}$

解析思路：由余弦定理知，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{6^2+6^2-8^2}{2\times6\times6}=\frac{3}{5}$。

8.13

解析思路：由$a+b=4$，$ab=3$，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=13$。

9.$x_1=x_2=3$

解析思路：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，所以$x^2+4x+4=(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$。

10.4

解析思路：由均值不等式知，$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2=4$，當且僅當$a=b=2$時取等號。

三、解答題（每題[10]分，共[30]分）

11.$a^2+b^2=25$

解析思路：由$a+b=5$，$ab=6$，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\times6=13$。

12.$\cosA=\frac{3}{5}$

解析思路：由余弦定理知，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{8^2+9^2-7^2}{2\times8\times9}=\frac{3}{5}$。

13.$ab$的最大值為4

解析思路：由均值不等式知，$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2=4$，當且僅當$a=b=2$時取等號。

14.$x^2+4x+4=0$

解析思路：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，所以$x^2+4x+4=(x+2)^2=0$。

四、證明題（每題[10]分，共[20]分）

15.證明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。

解析思路：由勾股定理知，若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。

16.證明：若$a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=0$，則$a=b=c=0$。

解析思路：由$a+b+c=0$，得$a+b=-c$，代入$a^2+b^2+c^2$得$a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+c^2=c^2+c^2=2c^2$，因為$a^2+b^2+c^2=0$，所以$2c^2=0$，解得$c=0$，同理可得$a=b=0$。

五、應用題（每題[10]分，共[20]分）

17.3小時后追上

解析思路：設第二輛汽車行駛$t$小時后追上第一輛汽車，則有$60\times3+60t=80t$，解得$t=3$。

18.折扣率為25%

解析思路：設折扣率為$x$，則有$200(1-x)=150$，解得$x=0.25$，即折扣率為25%。

六、綜合題（每題[20]分，共[40]分）

19.$x^3-8=0$

解析思路：由$x^2-4x+3=0$，得$x^2=4x-3$，代入$x^3-8$得$x^3-8=x(4x-3)-8=4x^2-3x-8=4(4x-3)-3x-8=16x-12-3x-8=13x-20=0$，解得$x=\frac{20}{13}$。

20.$\sinA=\frac{4}{5}$，$\sinB=\frac{3}{5}$，$\sinC=\frac{4}{5}$

解析思路：由正弦定理知，$\sinA=\frac{a}{c}