2024年高考數學一輪復習第7章第6講：空間向量的概念與

運算學生版

【考試要求】i.r解空間向量的概念，/解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標表示2掌握空詞向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其

坐標表示,能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量,

能用向量力法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些而單定理.

■落實主干知識

【知識梳理】

i.空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向蛔且模型簽的向量

相反向量長度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相的i

共線向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量〃，WK0),的充要條件是存在實數心使。=勸.

(2)共面向量定理：如果兩個向量。，力不共線，那么向量p與向量縱8共面的充要條件是存

在唯二的有序實數對(x,y)，使p=.ia+.vb.

(3)空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,

z),使得p=xa+)力+zc,{“，b,c}叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數量積及運算律

(1)數量積

非零向量d〃的數量積a./?=|a|網ccs(a,h).

(2)空間向量的坐標表示及其應用

設。=31，。2，。3)，b=(bi，bz，Z?3).

向量表示坐標表示

第I頁共39頁

數量積d'ba也]+a2b?+空1”

共線a=，.勵WO,2￡R)。2=入卜2,

垂直。仍=O(aKO,bWO)a也i+他―+a版3=0

模悶y裙+元+曷

a?baibi+a2b2+a3b3

夾角余弦值cos〈a,b)—I,曲(aH0,bW0)cosa,質尻+儀+員

4.空間位置關系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量。的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此

向量a為直線/的方向向量.

(2)平而的法向量：直線LLa,取直線/的方向向量。，則向量Q為平面a的法向量.

(3)空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示

h//h〃1=ZW2(AER)

直線h?h的方向向量分別為〃?,“2

/11/2"I_L〃20〃「〃2=O

直線/的方向向量為小平面a的法l//aH±/rt<=>WW=0

向量為m,Ida/J_Qn/im<=>n=Am(X￡R)

a//fin//m<=>n=z/n(A￡R)

平面％4的法向量分別為〃，機

aL[i;i±m<=>/?m=0

【常用結論】

1.三點共線：在平面中A,B.。三點共線今屆=x5h+y而其中x+)=l),O為平面內任

意一點.

2.四點共面：在空間中產，A,B,C四點共面臺或+,34+二不7(其中x+y+z=l),

O為空間中任意一點.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)空間中任意兩個非零向量a.力共面.(J)

(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.(X)

(3)若A,B,C,。是空間中任意四點，則有/S+反:+詼+區1=0.(V)

(4)若直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則a〃a.(X)

【教材改編題】

1.如圖，在平行六面體4BCD—4BCQ中，AC與8。的交點為點M,設油=a,AD=b,

第2頁共39頁

麗=。，則下列向量中與"而相等的向量是()

2.如圖所示，在正方體ABCO-A山iGG中，棱長為a,M,N分別為A歸和AC上的點,

4M=42=半，則MN與平面BBiGC的位置關系是()

A.相交

C.垂直D.不能確定

答案B

解析分別以GS,C.D),GC所在直線為x,)，，z軸，建立空間直角坐標系.因為4例=

〃)，所以疝V=(一,，。，豺,

又G(OOO),。(0,40),所以33|=(0,",o),所以拓V?石石=0,所以加

因為3d是平面AAlGC的一個法向量，且MM3平面〃氏GC,所以〃平面月8iGC.

3.設直線/”6的方向向量分別為。=(一2,2,1),6=(3,-2,m),若/山2,則/〃=.

答案10

解析V71±Z2?：.aLb,

.ab=-6-44-/7:=0,/.w=10.

第3頁共39頁

■探究核心題型

題型一空間向量的線性運算

例I(1)在空間四邊形八8c。中，油=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),點￡F分別為線

段BC,4。的中點，則崩的坐標為()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,—1)

答案B

解析因為點E,F分別為線段BC,A。的中點，設。為坐標原點，

所以濟=而一dfe,d>=|(on-db),OE=^OB-\-OC).

■1?■?I■?,■1—??

所以后尸=手。八+0￡>)一手。8+。0=5(84+。。)=5乂[(3,-5,-2)+(—7,—1,-4)]

=；X(—4,—6,—6)=(—2,—3,—3).

(2)(2023?北京日壇中學模擬)在三棱柱ABC中，。是四邊形的中心，且肉=

a,AB=b,AC=c,則羸等于(

A.；a+S+；c

D.

答案D

解析M)=MA-\-XB-\-BD

=-AAi+前+宏麗+慶7)

,?6?1,?61?-?

=一M+八8+濟4+犯。一鉆)

1,一?1—?1—*

=—g4Ai

第4頁共39頁

=一3c.

思維升華用已知向量表示某一向量的三個關鍵點

(1)要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義.

(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

跟蹤訓練I⑴已知。=(2,3,—4),》=(—4,—3,—2),b=^x-2a,貝Ux等丁,()

A.(0,3,-6)B.(0,6,—20)

C.(0.6?—6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由力=$一2"，得x=4a+28=(8,12,—16)+(—8,-6.-4)=(0,6,-20).

(2)如圖，在長方體ABCO-ABIGOI中，O為AC的中點.

①化簡歷3一卡^一歹7)=

②用石，AD,而表示芯，則詬=.

答案①/②|祐+抽+4了

解析①而5—3"抽=再&V(懿+病)=45—歷=儲6+萬1=京

②因為無=；危=；(矗+病)，

,一??,1■■?.,一■1.1?i.

所以OG=OC+CG=；7(A8+HO)+AA|=5A8+5AQ+AA1.

乙乙乙

題型二空間向量基本定理及其應用

例2(I)下列命題正確的是()

A.若。與方共線，人與c共線，則。與c共線

B.向量〃，人c共面，即它們所在的直線共面

C.若空間向量a,b,c不共面，則a,b,c都不為0

D.若a,b,c共面，則存在哇一的實數對(x,y),使得。=H>+yc

答案C

第5頁共39頁

解析若。=0,則滿足〃與b共線，）與c共線，但是〃與c不一定共線，故A錯誤；

因為向量是可以移動的量，所以向量。，b,c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯

誤：

假設mb,c至少有一個為0,則空間向量a,b,c共面，故假設不成立，故C正確；

假設力=0,若a,c共線，則存在無數個實數對（.%y）,使得。=W+yc,若a,c不共線，則不

存在實數對（x,y）,使得a=H+yc,故D錯誤.

（2）（多選）下列說法中正確的是（）

A.⑷一囿=|。+切是a,力共線的充要條件

B.若油，而共線，則A8〃CO

C.A,B,C三點不共線，對空間任意一點O,若。＞=拼后+）5方+:沆，則P,A,B,C

DO

四點共面

D.若P,A,B,。為空間四點，且有萩=7/+〃元'（麗，元不共線），則2+4=1是A,B,

。三點共線的充要條件

答案CD

解析由⑷一步|=|a+"，可知向量”，，的方向相反，此時向量出力共線，反之，當向量。，

力同向時，不能得到⑷一族|=|。+"，所以A不正確；

若彳h,而共線，則A8〃C。或A,B,C,D四點共線，所以B不正確；

由4,B,C三點不共線，對空間任意一點O,若決=/工+￡歷+彳沆，因為曰+/+/=1，

可得尸，八，B,。四點共面，所以C正確；

若P,A,B,C為空間四點，且有頊=/.兩+〃正（而，正不共線），

當2+"=1時，即"=1一人可得無一元=7（兩一元），即己=北及

所以A,B,C三點共線，反之也成立，即2+"=1是A,B,C三點共線的充要條件，所以

D正確.

思維升華應用共線（面）向量定理、證明點共線（面）的方法比較

三點（P,A,8）共線空間四點（M,P,A,8）共面

PA=kPBMP=xMA+yMB

對空間任一點aOP=OA-YtAB對空間任一點O,OP=OM+.vMA+）?后方

對空間任一點0,OP=xd\-\-(\-x)OB對空間任一點0,OP=xOM-k-yd/\-\-(\-x-yyOB

跟蹤訓練2（1）己知空間中A,B,C,。四點共面，且其中任意三點均不共線，設。為空間中

第6頁共39頁

任意一點，若麗=6麗一4而一i元，則2等于()

A.2B.-2C.1D.-1

答案B

解析礪=6萬1一4瓦+7瓦;，即麗一兩=6麗一4而+:元，

整理得歷=6百一3戶后+"已

由A,B,C,。四點共面，且其中任意三點均不共線，

可得6—3+2=1,解得2=-2.

(2)(2023?金華模擬)已知正方體的樓長為L巨滿足泳=*扇+)及〕+(1一%

~y)DDi,貝ij|曲的最小值是()

A.§B.吃-C.D.’

答案C

解析因為加=*法+)'灰7+(1—4一)，)鬲，由空間向量的共而定理可知，點E,A,C,Di

四點共面，即點E在平面ACA上，所以|麗的最小值即為點O到平面AC。的距離乩由正

方體的棱長為1,可得△AC。是邊長為m的等邊三角形，則5摻皿=；X(也)2乂4片=坐,

5A4CD=1X1XI由等體積法得Vf)_ACDi=匕…e,所以《X坐XJ=1X3X1,解得d=乎,

所以I無I的最小值為坐

題型三空間向量數量積及其應用

例3⑴已知點O為空間直角坐標系的原點，向量后=(1,2,3),劣=(2,1,2),。?=(1,1,2),

且點。在直線OP上運動，當宓?麗取得最小值時，曲的坐標是.

答案G<443,38；A

解析?.?亦=(1,1,2),點Q在直線OP上運動，

設為=2而=(九x,22),

又??6=(1,2,3),加=(2,1,2),

：.QA=OA-dQ=(l-^2"3-2x),

QB=OB-dQ=(2-；.,1-2,2-22),

則畫0方=(1一#(2—乃+(2一人)(1一2)+(3—27)(2—功=6/一呦+10,

第7頁共39頁

4—>—>

當時，QVQ8取得最小值，

此時曲的坐標為傳，；，1).

(2)如圖，已知平行六而體A3CO-4&GOi中，底面A8c。是邊長為1的正方形，A4=2,

N/M8=NA|A3=12O°.

B

①求線段AG的長；

②求異面直線AG與A0所成角的余弦值:

③求證：AAilBD.

①解設油=a,AD=b,AAi=c,

則同=網=1,|c|=2,ab=O,

ca=c"=2XlXcos1200=-l.

因為AG=A8+AO+AAi=“+》+c,

所以|而|=|a+〃+c|=、(a+1+c)

=、|aF+l8|2+|c|2+2a/+2〃c+2〃?c

='1+1+4+0—2—2=6,

所以線段AG的長為小.

②解因為然=a+)+c,短)=b—c,

所以記?贏5=(a+/>+c)?(Z>-c)

=ab-ac+b2-c2

=0+1+1—4=一2,

\Ad)\=\b-c\=q(b—c)2

=、/向2+|C『-2"C

=、1+4+2=市,

設異面直線AG與4。所成的角為仇

—??A

則cos8=|cosMCi,A]D)|=

宿而

第8頁共39頁

|-2|V14

=^2^7=7

即異面直線AG與4。所成角的余弦值為華.

③證明由①知啟=c,BD=b—a,

所以AAr8O=c?3—a）=cZ>—c0=—1+I=0,

即標?訪=0,

所以AA

思維升華空間向量的數量積運算有兩條途徑，一是根據數量積的定義，利用模與夾角直接

計算：二是利用坐標運算.

跟蹤訓練3（1）（2023?益陽模擬）在正三棱錐?一八8c中，。是△八8。的中心，PA=AB=2,

則由.成等于（）

5近￥8

-C-

3

A.9B.D.3

答案D

解析??/-48c為正三核錐，。為△A8C的中心，

A

4B

，PO_L平面ABC,

POLAO,POOA=Ot

―2-2s

|710|=y|/W|-sin60°=學，

故由謖=歷.(由+晶)=|麗2=|殖2一|歷|2=4一4=4

JJ

(2)(2022?營口模擬)已知A(—1,2,1)，8(—154),C(1,3,4).

①求〈法，反?)；

②求危在矗上的投影向量.

解①因為4(-1,2,1),解一1.5,4),0(134),

所以后=(0,3,3),BC=(2,-2.0).

因為B?正=0X2+3X(-2)+3X0=-6,

第9頁共39頁

|嘉|=3?，|的=2也,

6

所以cos(贏，BC)ABBC_~__1

麗就36X2啦

故(AB,BC}=空.

②因為啟=(2,1,3),病=(0,3,3),

所以n?嬴=0+1X3+3X3=12.

因為油|=3娘，|/\C|=V14,

ACAB_12_2A/7

所以cos(AC,AB)=^^=Vi4X3V2=

*>

所以危在油上的投影向量為萌Icos(Ac,/W)半■="ix￥x斐=常屯=(02.2).

\AB\3^2-

題型四向量法證明平行、垂且

例4如圖所示，在長方體AACD—4&G4中，AAX=AD=\,笈為CO的中點.

(1)求證：BiELADi,

(2)在棱44上是否存在一點P，使得。P〃平面SAE?若存在，求AP的長：若不存在，說

明理由.

(1)證明以A為原點，矗，病，啟的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示

的空間直角坐標系.設AB=a,

則40。0),0(0,1,0),Di(0,l,l),

故A￡)i=(0,1,1),&E=(-2,,,

因為靛?麗=-Mxo+ixi+(—i)xi=o,

第10頁共39頁

所以靛_L而，即BiELAOi.

⑵解存在滿足要求的點P,

假設在棱加i上存在一點P（0。zo）,

使得OP〃平面即4￡,此時方＞=（0,-1,zo）.

設平面8NE的法向量為〃=（x,y,z）.

篇i=（a,0,】），京=（/I,0）.

因為〃_L平面84E,所以〃_L彳瓦，nlAE,

ax+z=0.

取x=l,則y=一看z=-a,

故〃=(1,一*一，

要使D"〃平面3展“，只需方九

則?一azo=O,解得期=].

所以存在點P,滿足。P〃平面8NE,此時八。=今

思維升華（1）利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當的坐標系（盡可能利用垂直條

件，準確寫出相關點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

（2）向量證明的核心是利用向量的數量積或數乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關

定理.

跟蹤訓練4如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，N/SC=90。，BC=2,CC|=4,點E在線

段3以上，且E8i=l,D,凡G分別為CG，Cifii,GA的中點.

⑴求證:平面A歸Q_L平面ABD：

⑵求證：平面EGF〃平面A8D.

證明以8為坐標原點，BA,BC,8囪所在直線分別為x軸、），軸、z軸建立如圖所示的空

第II頁共39頁

間直角坐標系，則5(0,0,0),D(0,2,2),9(0,0,4),E(0,0,3),F(0,l,4).

設BA=a,則A(a,0.0),G6，1,4).

(1)因為函=5,0,0),而=(022),助=(0,2,-2),

所以瓦萬屈=0,而辦位)=0.

所以訴51麗,BTDIBD,

即BiDLBA,BiDLBD.

又BACBD=B,BA,BOU平面A8O,所以3|O_L平面A3D.

因為SOU平面A%。，所以平面平面ABD.

(2)方法一因為席=(去1,1),赤=(0,1,1),瓦方=(0.2,-2),

所以瓦萬?比=0,Bd)EF=0.

所以B\DLEF.

因為EGnE/=￡EG,七口=平面EGE所以BQ_L平面EGF.

又由(I)知BQ,平面ABD,

所以平面EG"〃平面ABD.

方法二因為無'=(-10,0),

所以游?=一］?,：.GF//BAt

又GR1平面八30,4BU平面人8￡),

所以G”〃平面A3D,同理夕〃平面A3。，

又GFCEF=F,GF,EFU平面EGF,

所以平面EGF〃平面HAD

課時精練

0基礎保分練

第12頁共39頁

I.已知直線/的一個方向向量為機=82,—5）,平面a的一個法向量為〃=（3,-1.2）,若

l//a,則x等于（）

A.-6B.6C.-4D.4

2.（多選）下列關于空間向量的命題中，正確的有（）

A.若向量a,力與空間任意向量都不能構成基底，則。〃b

B.若非零向量a,b,c滿足a_L/?,/;±c,則有a〃c

C.若公,OB,歷是空間的一組基底，且應）=：而+3/+￥元;，則八，8,C,。四點共

面

D.若向量。+兒b+c,c+a是空間的一組基底，則。，力，c也是空間的一組基底

3.如圖，在長方體ABCO-AIBIGOI中，設AO=1,則3萬?疝等于（）

C.3D書

4.已知平面a內有一個點A（2,-1,2）,a的一個法向量為〃=（3,1,2）,則下列點P中，在平

面a內的是（）

3

B3-

A.（1?—12

33

-3-

C（1,-3.22

5.如圖在一個120。的二面角的棱上有兩點4,B,線段AC,BZ）分別在這個二面角的兩個半

平面內，且均與棱A8垂直，若AC=l,BD=2,則C。的長為（）

A.2B.3C.2小D.4

6.（多選）（2023?浙江省文成中學模擬）已知空間向量a=（2,-2,1）,1=（3。4）,則下列說法正

確的是（）

A.向量c=（—8,5,6）與a,力垂直

B.向量d=（l,—4,—2）與a,。共面

C.若〃與力分別是異面直線力與上的方向向量，則其所成角的余弦值為方2

第13頁共39頁

D.向量。在向量b上的投影向量為(6,0,8)

7.已知直線/的方向向量是m=(l,。+2從?-1)(?,bCR),平面a的一個法向量是n=

(233).若/_La,則a+b=.

8.已知丫為矩形A8C。所在平面外?點，且磔=V8=VC=V7),VP=|vC,VM=^VB,VN

=|市.則%與平面PMN的位置關系是.

9.已知0=(1,-3,2),6=(-2,1,1),A(—3,-1.4),5(-2,-2,2).

(1)求口+"

(2)在直線A8上是否存在一點￡使得麗_Lb?(O為原點)

10.如圖，四棱錐尸一/WC。的底面為正方形，側棱附，底面A3CQ,且%=A。=2,E,

F,〃分別是線段布，PD,48的中點.求證：

第14頁共39頁

D

Bk

(1)P8〃平面EFH；

(2)PZ)_L平面

巳綜合提升練

11.如圖，在長方體ABC。-AIBIGOI中，AB=y[3AD=y[3AA?=^3,點P為線段AC上的動

第15頁共39頁

點，則卜列結論不止確的是（）

A.當沅=2入聲時，Bi，P,D三點共線

B.當成_L彳泊時，成_1_9

C.當戲一3x了時，。產〃平面3￡>Ci

D.當祝=5彳市時，4C_L平面。］4/）

12.（多選）（2023?梅州模擬）如圖，在正方體A8CD—ABG。中，A4i=3,點M,N分別在

棱/W和8%上運動（不含端點）.若DTMLMN,則下列命題正確的是（）

A.MNIAiM

B.MN_L平而QiMC

C.線段所V長度的最大值步3

D.三棱錐G-4Q|M體積不變

13.在正三棱柱A8C—A出。中，側棱長為2,底面邊長為1,M為8c的中點，CJV=A7VC,

且則2的值為.

14.（2022?杭州模擬）在棱長為1的正方體ABCD-4181cd中,E,F分別為4。，Mi的中

點，WJcosZEAF=,EF=.

笠拓展沖刺練

15.已知梯形CEP。如圖（1）所示，其中PO=8,CE=6,A為線段P。的中點，四邊形A8CD

為正方形，現沿48進行折苗使得平面以8E_L平面A8CD,得到如圖⑵所示的幾何體.已

知當點廠滿足赤=小稔（0<2<1）時，平面。EF_L平而PCE,則；I的值為（）

⑵

第16頁共39頁

1234

A-2B3C5D5

16.如圖，在三棱錐〃一八8C中，麗?贏=麗京=矗京=0,|萩『=|危|?=4|矗匕

(1)求證：AB_L平面EC;

⑵若M為線段PC上的點，設毆1=人當/為何值時，直線PC_L平面M48?

\PC\

2024年高考數學一輪復習第7章第6講：空間向量的概念與

運算教師版

【考試要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標表示2掌握空訶向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其

坐標表示,能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直3理解直線的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理.

第17頁共39頁

■落實主干知識

【知識梳理】

1.空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長度相箋而方向函的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相生紅

共線向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同?個平面的向量

2.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量。，加〃關0),的充要條件是存在實數九使。=勸.

(2)共面向量定理：如果兩個向量小力不共線，那么向量p與向量。，力共面的充要條件是存

在唯_的有序實數對(X,y),使p=xa+.v力.

(3)空間向量基本定理

如果三個向量〃，b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(X,)，，

z),使得p=xa+y/>+zc,{a,b,c)叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數量積及運算律

(1)數量積

非零向量。，。的數量積。?力=|a||b|cos〈a,b).

(2)空間向量的坐標表示及其應用

設〃=(“”。2，"3)，b=(b\?戾,by).

向量表示坐標表示

數量積a'b包—+生岳+。3岳

共線0=詢后0,2GR)0=26”42=久〃2，〃3=》b3

垂直a〃=0(aX0,吐0)+。2-〃協3=0

模7畝+屆+白3

_____a1/%+〃如+小岳

夾角余弦值cos<fl,/>>力二°)C0S45+a2+a對山+質+員

4.空間位置關系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線，平行或重合，則稱此

第18頁共39頁

向量。為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線LLa,取直線/的方向向量m則向量Q為平而a的法向量.

(3)空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示

l\//h〃1=ZH2(A￡R)

直線，|，/2的方向向量分別為〃1，〃2

/山2力］=0

直線/的方向向量為〃，平面。的法l//aH±m<=>w-/n=0

向量為tn,IQal-Lan/；ni<->n=Am(XWR)

a//fin//m<=>n=xm(A￡R)

平面原4的法向量分別為“，機

alfiH±m<=>wm=0

【常用結論】

1.三點共線：在平面中A,B.。三點共線臺晶=x5h+y54其中x+y=l),O為平面內任

1-

思一點.

2.四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面O辦=不蘇+用方十z次7(共中工+y+z=l),

O為空間中任意?點.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在拈號中打“J”或“X”)

(1)空間中任意兩個非零向量a.6共面.(V)

(2)空間中模板等的兩個向量方向相同或相反.(X)

(3)若4,B,C,。是空間中任意四點，則有贏+比+日)+屬=0.(J)

(4)若直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則〃〃a.(X)

【教材改編題】

1.如圖，在平行六面體ABCD-A/IGDI中，AC與8。的交點為點M,設油=a,AD=b,

麗=小則下列向量中與3而相等的向量是()

A.一呼+于+c

C.—^a—^b—c

第19頁共39頁

答案C

解析

2.如圖所示，在正方體43CQ-ABCiDi中，棱長為a,M,N分別為48和4c上的點,

AM=AN=^，則MN與平面88CC的位置關系是()

A.相交

C.垂直D.不能確定

答案B

解析分別以G8i,G。1，GC所在直線為x,)，，z軸，建立空間直角坐標系.因為4M=

a),所以2加=(_*0,示/),

又G(0,0。)，。|(0,a.0),所以3^1=(0,",o),所以向A?3元=0,所以而V_L3sl.

因為加51是平面881cle的一個法向量，且MNQ平面ABiGC,所以MN〃平面BBlGC

3.設直線/”3的方向向量分別為。=(-2,2,1),6=(3,-2,相，若1山2,則機=1

答案10

解析V/(±Z2,：.a±b,

二〃力=-6—4+/〃=0,/.m=10.

■探究核心題型

題型一空間向量的線性運算

例I(I)在空間四邊形A8C。中，,方=(-352),CD=(-7,-1,一4),點E,產分別為線

段8C,4/)的中點，則際的坐標為()

A.(2,3,3)B.(―2?—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

答案B

第20頁共39頁

解析因為點E,"分別為線段5C,A。的中點，設0為坐標原點,

—?■?—?—?1—>—?->1■?—?

所以EF=OF—OE,。尸=](0A+。。)，0E=^0B+0O.

?'?I—?—?I—?—?I—?—?

所以八+O￡))—E(O8+OC)=E(8/1+CD)=ZX[(3,-5,-2)+(—7,-I,-4)]

=^X(—4,—6,—6)=(-2,—3,—3).

(2)(2023?北京日壇中學模擬)在三棱柱48iG—ABC中，。是四邊形B囪GC的中心，且啟=

a,AB=b,AC=c,則砸等于(

解析不方=而?+超+防

'??—>1-6-

=一44+A8+京8S+B。

=-AAi+贏+3麗+/啟一麗

=麗

I,1,1

=-5。+初+乎.

思維升華用已知向量表示某一向量的三個關鍵點

(1)要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義.

(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

跟蹤訓練1(1)已知。=(2,3,—4),力=(—4,—3,—2),b=Jx—2?，則x等于()

A.(0,3,—6)B.(0.6,-20)

第21頁共39頁

C.(0,6,-6)D.(66-6)

答案B

解析由力=%—2。，得x=4a+28=(8.12,—16)+(—8,-6.-4)=(0,6,-20).

(2)如圖，在長方體ABCO—ABiGOi中，。為AC的中點.

①化簡4。一5八8一濟。=

②用4瓦俞，麗表示5苕，則。苕=

答案①而②|矗+領）+麗

②因為3t=/正?=1（牯+而）.

所以詬=公+五=今后+石）+麗=）亞+%1）+訝.

題型二空間向量基本定理及其應用

例2（1）下列命題正確的是（）

A.若〃與方共線，8與c共線，則。與c共線

B.向量“，h,c共面，即它們所在的直線共面

C.若空間向量mb,c不共面，則出b,c都不為0

D.若a,b,c共面，則存在哇一的實數對（x,y）,使得a=.x力+yc

答案C

解析若方=0,則滿足。與力共線，〃與c共線，但是。與c不一定共線，故A錯誤；

因為向量是可以移動的量，所以向量。，瓦c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯

誤；

假設a,b,c至少有一個為0,則空間向量。，b,c共面，故假設不成立，故C正確；

假設8=0,若4C共線，則存在無數個實數對（X,>'）>使得。=A力+聲，若。，。不共線，則不

存在實數對（x,y）,使得a=H+yc,故D錯誤.

（2）（多選）下列說法中正確的是（）

A.同一步|=|°+”是a,b共線的充要條件

第22頁共39頁

B.若崩,而共線，則A8〃CD

C.A,B,C三點不共線，對空間任意一點0,若而1+3勵+上沆，則P,A,B,C

四點共面

D.若P,A,B,C為空間四點，且有萩=7而+〃麗"（麗，正不共線），則2+"=1是A,B,

。三點共線的充要條件

答案CD

解析出同一出|=|0+〃|,可知向量匹〃的方向相反，此時向量匹力共線,，反之，當向量4,

力同向時，不能得到⑷一|力|=|。+）|,所以A不正確；

若贏，而共線，則A8〃C。或4,B,C,。四點共線，所以B不正確；

由A,B,C三點不共線，對空間任意一點0,若5?=弓蘇+!為+!沆，因為:+!+:=1，

可得P,A,B,C四點共面，所以C正確；

若P,A,B,C為空間四點，且有瓦=）.而+〃布（而，正不共線），

當義十〃一1時，即〃一1一九可得—以戶方一67）,即可一高友

所以A,B,C三點共線，反之也成立，即2+4=1是A,B,C三點共線的充要條件，所以

D正確.

思維升華應用共線（面）向量定理、證明點共線（面）的方法比較

三點（P,A,5）共線空間四點（勿，P,A,3）共面

R\=APBMP=xMA-\-yMB

對空間任一點O,OP=OA+tAB對空間任一點O,OP=OM-\-xMA-\-yMB

對空間任一點0,OP=xOA-￥{\~x)OB對空間任一點0,OP=xOM+yOA+(\-x-y)OB

跟蹤訓練2（1）已知空間中A,B,C,。四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中

任意一點,若麗=6或一4而一7而*,則2等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

答案B

解析BD=6E\-4PB+APC.即西）一麗=6萬i-4而+）.無.

整理得麗=6麗一3而+）"

由A,B,C,。四點共面，且其中任意三點均不共線，

可得6—3+2=1,解得2=-2.

第23頁共39頁

(2)(2023?金華模擬)已知正方體ABC。-4BC1G的棱長為1,且滿足"七=.比%+)，。。+(【一工

->)55),則|用的最小值是()

1c應「2

A.gB.-^-C—.亞-^-D.y

答案C

解析因為方方=%而+)、比+(1—4一.丫)萬萬，由空間向量的共面定理可知，點E,A,C,Di

四點共面，即點E在平面4CQ上，所以|曲的最小值即為點。到平面八C。的距離乩由正

方體的棱長為1,可得△AC。是邊長為也的等邊三角形，則S^AS=9(陋/Xsin尹孚,

S.MCD=1X1X1=/,由等體積法得VD_ACDi=%.ACD，所以;X坐xd=gX3X1,解得d=堂,

所以I而的最小值為坐.

題型三空間向量數量積及其應用

例3(1)已知點。為空間直角坐標系的原點，向量近=(1,2,3),面=(2,1,2),而=(1,1,2),

且點。在直線OP上運動，當忠?應取得最小值時，曲的坐標是.

口案G/434,38；、

解析???麗=(1C,2),點0在直線OP上運動,

設麗=2辦=(九x,22.),

又,.?—=(123),麗=(2,1,2),

：.QA=a\-OQ=(\-^2-z,3-2A),

QB=OB-OQ=(2-^1-2,2-2；),

則宓?而=(1一團(2—乃+(2—』)(1一?+(3—2；)(2—2/1)=6乃一164+10,

4ff

當入=1時，QVQ3取得最小值，

此時麗的坐標為停，方,

(2)如圖，已知平行六面體88。。-4囪。|。|中，底面ABCO是邊長為1的正方形，AA}=2,

/AiA8=N4AD=l200.

第24頁共39頁

a

①求線段AG的長；

②求異面直線ACx與4。所成角的余弦值：

③求證：AAiYBD.

①解設AI)=h,AA\=c,

則⑷=|例=1,|c|=2,ab=0,

ca=cb=2X1Xcos1200=—1.

因為AG=AB+A￡)+AA|=a+〃+c,

所以|ACi|=|a+1+c|=\(a+b+c)2

=、|aF+1。『+|。產+2。力+2力。+2ac

=、1+1+4+0—2—2=w,

所以線段AG的長為41

②解因為記=a+b+c,