北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

L已知全集UHL"，，｝,A=咋＜2｝,則獷=（）

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,叫

2.復(fù)數(shù)」一在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在△力弘中，若G奸2Ain/1,則8為

Jic冗〃乃2萬

A.§B.-C.§或彳

4.已知QER,貝廠0v“vl”是“函數(shù)/（力=（1-4）/在R上單調(diào)遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知直線X—百），+6=0和I員iV+y=/G＞。）相交于4,8兩點(diǎn).若|A3|=6,則r=（）

A2B.273C.4D.3c

6.己知等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1，。3+4=4,則、6=（）

A.9B.16C.21D.25

22

7.已知雙曲線C：￡=1（。＞0,人＞0）的右焦點(diǎn)為憶過點(diǎn)尸作垂直于x軸的直線/,/,N分別是/與雙曲

線。及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),若M是線段RV的中點(diǎn)，則C的漸近線方程為（）

B.尸±冬

A.y=±x

D.二士朱

C.1其

8.在一A8C中，AB=AC=2,8。=26，點(diǎn)P在線段8C上.當(dāng)取得最小值時(shí)，PA=（）

A.2B.—C.-D.-

2244

9.在棱長為1正方體A3c。-ASGA中，E,F,G分別為棱AA，BC,CG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)”在平面

EFG內(nèi),且OH=1.則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)“，使得直線。”與直線尸G相交

B.存在點(diǎn)“，使得直線DH_L平面EFG

C.直線4"與平面EFG所成角的大小為g

D.平面EFG被正方體所截得的截面面積為西

2

10.已知〃個(gè)大于2實(shí)數(shù)玉,工2,…，玉，對(duì)任意七（7=1,2,…,〃），存在滿足升<七，且則使得

%+々+…+Z-1W15x〃成立的最大正整數(shù)〃為（）

A.14B.16C.21D.23

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在（1-6『展開式中，x的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

12.已知拋物線寸=20，（〃>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線方程為丁=-1,則〃=：設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)

1/（線,九）在拋物線上，若則%=.

13.己知函數(shù)〃力=」；"'I"；'若實(shí)數(shù)4,〃,C（4<〃<C）滿足/（〃）=/（"）=/?，則4+Z?二；

a-^-b+c的取值范圍是________.

14.已知函數(shù)4x）=：sin2x.若曲線），=/（另在點(diǎn)A（X1J（%））處的切線與其在點(diǎn)網(wǎng)W,/伍））處的切線相互

垂直，則凡一々的一個(gè)取值為.

5

15.設(shè)4,8為兩個(gè)非空有限集合,定義J（A8）=1其中⑶表示集合S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、

|AJ即

「四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目中自主選擇3門參

加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為S-S3,.已知，=｛物理，化學(xué)，生物｝,$2=｛地

理，物理，化學(xué)｝,S3=｛思想政治，歷史，地理｝,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若/（S2，Sj=l,則邑=｛思想政治，歷史，生物｝;

②若J（S],S2）=J（*S4）,則邑=1地理，物理，化學(xué)｝;

③若§4=｛思想政治，物理，生物｝,則./（號(hào)同卜/⑸同卜/⑸同）；

④若J（S，S4）>/（S2，S4）="S3，S4）,則若=｛思想政治，地理，化學(xué)｝?

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/（/）=+A>OM>O,O<0<?的最小正周期為兀.

（1）若A=l，*0）=當(dāng),求夕的值；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為己知，確定/（/）的解析式，并求函數(shù)

〃（x）=/'（X）-28s2x的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：/（"的最大值為2；

條件②：/（N）的圖象關(guān)于點(diǎn)（得，0；中心對(duì)稱；

I12）

條件③：/（X）的圖象經(jīng)過點(diǎn).

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.如圖，在三楂錐。一ABC中，側(cè)面DAC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

（I）求證：AC1BD；

（2）已知AB=&，AC=2,AD=C，尸是線段B。上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角尸一AC-3的余

弦值.

18.為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市

高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動(dòng).對(duì)于參加征文活動(dòng)的每篇論文，由兩位評(píng)委獨(dú)立評(píng)分，取兩位評(píng)委評(píng)分的平

均數(shù)作為該篇論文的初評(píng)得分.從評(píng)委甲和評(píng)委乙負(fù)責(zé)評(píng)審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論文的評(píng)分情況如下

表所示.

序評(píng)委甲評(píng)評(píng)委乙評(píng)初評(píng)得

號(hào)分分分

1678274.5

2808683

3617668.5

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

（1）從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過5的概率；

（2）從這10篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評(píng)委對(duì)同一篇論文的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過5的篇數(shù)記為

X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：

（3）對(duì)于序號(hào)為i（i=l,2,…,10）的論文，設(shè)評(píng)委甲的評(píng)分為X,,評(píng)委乙的評(píng)分為毛，分別記甲、乙兩位評(píng)委對(duì)

/—■一\

1?v_vV.—Y

這1。篇論文評(píng)分的平均數(shù)為又，Y，標(biāo)準(zhǔn)差為》，S乙，以7———+」一作為序號(hào)為i的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得

21照$乙）

分.對(duì)這10篇論文按照初評(píng)得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號(hào)為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相

同？（結(jié)論不要求證明）

19.已知橢圓￡：1+￡=1（。>8>0）的離心率為白，A,8分別是E的左、右頂點(diǎn)，P是上上異于A,B的

點(diǎn)，A4P8的面積的最大值為20.

(1)求E的方程：

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線x=2上，N,P分別在x軸的兩側(cè)，且ZM?與5p的面積相等.

(i)求證：直線ON與直線AP的斜行之積為定值：

(ii)是否存在點(diǎn)P使得4A08且△N3P,若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

20.已知函數(shù)/(x)=(l-ox)e*(a￡R).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于”的不等式〃x)>a(l-x)無整數(shù)解，求”的取值范圍.

21.若有窮自然數(shù)數(shù)列A：%/，…，%(〃22)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱A紇數(shù)列：

①&>max+&T，七+。人一2,…，《-i+4}(%=2,3,???,〃)，其中，max{%,9,???,4}表示為,.々,…,&，這$

個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；

②&Vmin{4+4_],/+。-2,…,必—i+q}+l(〃=2,3,?、〃)，其中，min{xpx2,---,xj,這

S個(gè)數(shù)中最小的數(shù).

(1)判斷A：2,4,6,7,10是否為區(qū)數(shù)列，說明理由；

(2)若A：01M2,…，。6是￡數(shù)列,且《，。2，。3成等比數(shù)列，求。6；

(3)正明：對(duì)任意4數(shù)列A：4(〃之2),存在實(shí)數(shù)上,使得以=伏刃(攵=1,2,…川.(國表示不

超過X的最大整數(shù))

北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一

數(shù)學(xué)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

1.已知全集八{(lán)123,4},A={x叫x<2},則姆=()

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】D

【分析】求出集合A，再利用補(bǔ)集的定義求解即得.

【詳解】全集U={1,2,3,4},則4={1},

所以句/={2,3,4}.

故選：D

2.復(fù)數(shù)一!一在復(fù):平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化解復(fù)數(shù)，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

ii(3-i)l+3i(13、

【詳解】復(fù)數(shù)!'.〈所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為77,右，為第一象限的點(diǎn).

3+1(3+1)(J3-1)1()11010J

故選：A

3.在△4T中，若石折2Ain4則4為

A.-B.-c.丁或D.-7或

363366

【答案】C

【詳解】\/3sinA=2sinBsinA?sinB=，則8=&或8選C.

233

4.已知?jiǎng)t是“函數(shù)f(x)=(l-a)Y在R上單調(diào)遞增”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】分a=l,?>1,av1討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)充分性和必要性的概念確定答案.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(“=。一々)％3

當(dāng)。=1時(shí)，/(力=0,為常數(shù)函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，1—avO,函數(shù)〃x)=(l-在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)av1時(shí)，1一4>0,函數(shù)/(x)=(l-a)d在R上單調(diào)遞增，

所以“Ovavl”是“函數(shù)〃司=(1一。)/在R上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件.

故選：A.

5.已知直線x—JJy+6=0和圓產(chǎn)+丁=，&>0)相交于4,8兩點(diǎn).若|人卻=6,則廠=()

A.2B.2>/3C.4D.3a

【答案】D

【分析】借助點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理計(jì)算即可得.

【詳解】圓寸+/=，任>0)的圓心為：(0,0),半徑為，

L|6|

則圓心到直線x-6)，+6=0的距離為cl=-J=U=3,

VI+3

由垂徑定理可得「=(/+'增、3+3?=3萬

故選：D.

6.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q+%=L%+4=4,則§6=()

A.9B.16C.21D.25

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求。5+4,即可求解§6.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，幺叁=幺士包，即檢士”=3,得見+4=16,

%+。4。2+441

=?+4)+(6+%)+(6+4)=21.

故選：C

22

7.已知雙曲線C：_=1(。>0/>0)的右焦點(diǎn)為憶過點(diǎn)尸作垂直于x軸的直線/,N分別是/與雙曲

線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).若M是線段&V的中點(diǎn)，則C的漸近線方程為()

J2

A.y=±xB.y=±—.r

2

c.y=±——xD.y=±——X

.3.5

【答案】C

【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)尸(c,0),求出點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式計(jì)算得b關(guān)系，進(jìn)而可得漸

近線方程.

【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)廠(c,0),過第一象限的漸近線方程為y二2X，

當(dāng)x=c,時(shí)，y=—,即又MG—,

aV\a)

因?yàn)镸是線段QV的中點(diǎn)，所以2=」"，得c、二?,

a2a

8.在..ABC中，AB=AC=2,8c=26，點(diǎn)。在線段5。上.當(dāng)必?尸8取得最小值時(shí)，PA=()

A.正B.—C.-D.-

2244

【答案】B

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表小數(shù)量積，并求最小值，求得附的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】如圖，以3c所在直線為工軸，以8。的垂直平分線建立):軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由A8=AC=2,BC=26則0A=,22—（百了=1，

所以A（0』），B（-V3,0）,C（G,O）,設(shè)尸（x,0）,

則PA=(-x,l),PB=(-V3-X,0),

2

故選：B

9.在校長為1的正方體ABCD—%與G。中，E，F(xiàn)，G分別為棱A4,BC,CG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，在平面

EFG內(nèi),且.則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)“，使得直線與直線FG相交

B.存在點(diǎn)H,使得直線DH±平面EFG

C.直線片“與平面EFG所成角的大小為g

D.平面七FG被正方體所截得的截面面積為辿

【答案】C

【分析】連接。/，DG，取尸G中點(diǎn)M,連接。M,點(diǎn)。到線段尸G的最短距離大于1，即可判斷A;建立空

EF-nG

間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)。到平面EFG的距離為即可判斷B：由1.平面石廠G,連接交EG

同2

TT

于點(diǎn)0,Rt“＞片”與RtZXOO”全等，所以/BiHO=/DHO=q,即可判斷C；平面瓦'G被正方體所截得的

截面圖形為正六邊形，且邊長為立，可求截面面積.

2

連接OF，DG,所以石=|OG|=乎，|FG|二乎，取AG的中點(diǎn)M,連接ZW,

所以10M卜平>1,點(diǎn)。到線段尸G的最短距離大于1，所以不存在點(diǎn)〃，使得直線與直線8相交，故

A不正確;

[1、

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A,DC,。。所在直線為工軸,》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則￡：1,0,-,

I2.)

嗚,1,0),0(0,0,0),

所以EF=[-;,1,一；],EG=(-1,1,O)

DE=1,0,一,

I/乙)I2J

-1x+y-|z=0

EFn=0

設(shè)平面EFG的法向量為〃=(x,y,z),所以，,即《

EGn=0-x+y=()

令x=l,則y=l,z=l，所以

DEn3J3

所以點(diǎn)。到平面石FG的距離為一^=」產(chǎn)=32<1,而。"=1,所以不存在點(diǎn)，，使得直線3〃_L平面

同262

EFG,故B不正確；

因?yàn)?(1,1,1),所以。片平面耳心，連接。耳交EG于點(diǎn)。，所以。為。用的中點(diǎn)，

D0=B、0=J,

12

所以ZB\HO為直線B】H與平面EFG所成角，

因?yàn)镈H=1,在RtzXOOH中，sinZD//(9=—=—，

DH2

所以ND"O=],因?yàn)镽SO4"與RtAO。”全等，所以NBiHO=NDHO=m,故C正確;

延長GF交的延長線于N,連接EN交AB于尸，連接夕尸，取AG的中點(diǎn)K,。閉的中點(diǎn)，，

連接KG,EJ,KJ,KG//EP,EJ//GF,KJ//PF,

平面EFG被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為變，

2

所以截面面枳為6X,XY2XX5=逆，故D不正確.

2244

故選：C.

10.已知〃個(gè)大于2的實(shí)數(shù)%,為，…，乙，對(duì)任意乙（，=1,2,…，存在K之2滿足》《茗，月..=力，則使得

%+&+…+萄.1<15%成立的最大正整數(shù)〃為（）

A.14B.16C.21D.23

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=W"N2）,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得e<%W4,則有152%+%+???+'J”3

44

即可得解.

In答_Iny

【詳解】由蒼"=yj，且必22,3>2,故y/n七二七Iny,即

x

，yt

令〃制=皿(/2),r(x)=lz^,

yCX

故當(dāng)x?2,e)時(shí),/(x)>0,當(dāng)x?e,+8)時(shí),/f(x)<0,

即/"）在（2,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減,

由色土二電上，即/（均）=/（另），故土,e，2<>;<e,

xi

ln4

又八2）=等==/（4）,故七二4,即^<七二4,

4

若辦+4+…+K15x“，則有］…，

44

即，《竺+1,由e*2.72,故竺+1^22.06+1=23.07.

ee

故最大正整數(shù)〃為23.

故選：D.

InV

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助函數(shù)/（工）=——的性質(zhì)，結(jié)合其單調(diào)性得到2《y<e,從而得到

.V

e<x,<4,則有］5N.十七十…十七一N（”—1）「,即可得解.

44

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在（1-五）6的展開式中，x的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

【答案】15

【分析】集合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得.，令則廠=2,所以系數(shù)為

C；（-if=15,

故答案為：15.

12.已知拋物線丁二20，（〃>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線方程為y=-l,則〃=：設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)

財(cái)伍，益）在拋物線上，若|。閘=歸根，則）'。".

【答案】①.2②.g##0.5

【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計(jì)算即可得.

【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為），二-1,故p=2,

則f=4y,尸（0,1）,由"（/，兒）在拋物線上，

故忻閘=），0+5=%+1,

由|oM=WM，可得九：+乂=（%+1）2,

即其=2），。+1=4為，即%=：.

故答案為：2;y.

13.已知函數(shù)=若實(shí)數(shù)滿足f（a）=/（0）=/（c），則。+8=_________

5-x,x>2

a+b+c的取值范圍是.

【答案】①.2②.[6,7）

【分析】結(jié)合分段函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，可得0<a<lvb<2<4<c<5,且x?0,2）時(shí)，/（力關(guān)于x=l

對(duì)稱，即可得解.

【詳解】由〃"=把一"""：，故/（五）在（5）、（2,+8）上單調(diào)遞減，

5—x,x>2

在（1,2）上單調(diào)遞增，且有41）=0,/（2）=1,/（0）=1,/（4）=1,/（5）=0,

由/（。）=/（8）=/（c），則0<a<1<8<2<4<c<5,

由x?0,2）時(shí)，/（x）=|x-l|,則/（x）關(guān)于X=1對(duì)稱，故。+〃=2,

則。+力+c=2+cc（6,7）.

故答案為：2；[6,7）.

14.已知函數(shù)/（工）=；5m2底若曲線），=/（同在點(diǎn)/1（%,/（玉））處的切線與其在點(diǎn)8（￡,/（工2））處的切線相互

垂直，則百一馬的一個(gè)取值為.

【答案】、（答案不唯一）

2

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合條件可知，COS2X,COS2A-2=-1,再根據(jù)函數(shù)的取值，即可求解.

【詳解】/r（x）=cos2x,由題意可知，/'（%）/'（1）=一1,

coslx,-1兀

g|Jcos?cos2X=-1,所以,得斗=用兀，X,=-+k,n,k.,keZ,

2cos2x,=-1~22

cos2X[=-1兀

或，

八.，得%1=—+2田，心=心兀，kKeZ,

cos2x2=12

所以X—￡=------(4-22)兀，%一工2=-----*~(內(nèi)-”4)兀，攵|,攵2，太3，“4CZ,

22

所以百一W的一個(gè)取值為5?

故答案為：色（答案不唯一）

2

15.設(shè)A,8為兩個(gè)非空有限集合，定義J（A8）=1-卜一j其中⑶表示集合S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、

丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目中自主選擇3門參

加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為加，S?,S3,S4.已知$=｛物理，化學(xué)，生物｝,S2=｛地

理，物理，化學(xué)｝,S'=｛思想政治，歷史，地理｝,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若/區(qū)同）=1,則邑=｛思想政治，歷史，生物｝;

②若J（S“S2）=J（S，S4）,則$4=〔地理，物理，化學(xué)｝;

③若§4=｛思想政治，物理，生物｝,則、/（3,54）＜/（邑,54）=?/（邑,54）；

④若J（S”S4）＞，（S2，S4）=J（S3，S4）,則S‘=｛思想政治,地理，化學(xué)｝.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是-

【答案】①③

【分析】對(duì)于①③：直接根據(jù)定義計(jì)算即可；對(duì)于②：通過定義計(jì)算得到⑸S/必為偶數(shù)，討論

WUS/=6和國JS4|=4兩種情況下的求解即可；對(duì)于④：通過舉例Sj=（物理，地理，歷史｝來說明.

資人所以口

【詳解】對(duì)于①:§41=0，所以S2ns4=0,

又S2=｛地理，物理，化學(xué)｝,所以S=｛思想政治，歷史，生物｝,①正確：

對(duì)于②:""）=個(gè)同），即需=髓=冷，

所以2惶「S/=|SJS4|,所以⑸US/必為偶數(shù)，又3?|S|S4|＜6,

當(dāng)|yjS/=6時(shí)，|S「SJ=|0|=O,不符合2|S|rS4|=|S（S/，

所以|S|US/=4,且同「Sj=2,此時(shí)S4情況較多，比如其=｛物理，地理，生物｝,②錯(cuò)誤;

對(duì)于③：若Sj=｛思想政治，物理，生物｝,則

2114I4

J（SPS4）=1—-=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,54）=l--=-.

?/?JJ—J—J

所以,（LSJv）⑸同卜/氏母），③正確；

對(duì)于④：當(dāng)S4二｛物理，地理，歷史｝時(shí)，

14?191

J（S?54）=l--=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,S4）=l--=-,

JJ14I乙

滿足./（印吊〉］⑸㈤人/⑸母），但不是邑二｛思想政治，地理，化學(xué)｝,④錯(cuò)誤.

故選：①③

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題目，一定要深刻理解定義的意義，然后套用定義進(jìn)行計(jì)算即可，很多時(shí)候新定

義題H難度并不很大，關(guān)鍵是要大膽做，用心做.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+>“A>0,3>0,0<°<mJ的最小正周期為兀.

(1)若A=l，f(0)=與,求。的值；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，確定/(工)的解析式，并求函數(shù)

%(1)=/(x)-2cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：/")的最大值為2；

條件②：/("的圖象關(guān)于點(diǎn)H，o］中心對(duì)稱；

條件③：/")的圖象經(jīng)過點(diǎn)

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)甲=匚

4

(2)/(x)=2sin(2x+F,單調(diào)遞增區(qū)間一4+質(zhì),互+E,keZ,

V6J63

【分析】(1)根據(jù)條件，代入/(0)=孝，即可求解.；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，選擇條件，代入后，即可求解函數(shù)的解析式，利用三角恒等變換，代入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)

間，即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)锳=l，/(0)=—,則sin。=巫，且則0=：；

【小問2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的最小正周期為兀，則69=2,

若選①②，則A=2,且/=2sin：=0,

「八7rLl5兀5兀4兀ri57rit

且0<@<一，則一<—+(p<—,則——十°=兀，則。=一，

266366

所以〃x)=2sin2x+g］；

7T=2

若選擇①③，則A=2,且/'-j^J=2sin已+可=6+(

則sin~P~~2r

八Tt.7T71271rl兀兀r,兀

()<(/)<-,則m一v—+e<—,則一+夕=一,則夕=一,

2663636

所以/(x)=2sin2工+專)；

7T

若選擇②③，由②可知，(P=一，

6

由③可知，/f—l=Asinf-+->l=A--=>/3,則A=2,

[\2)(66；2

所以/(x)=2sin2x+j

/?(%)=2sin2x+--2cos2x=>/3sin2x-cos2x,

=2sin2.x—,

7T7T7T

令——+2ATT$2X——<—+2A-7T,keZ,

262

得---FkitWxK—Fkit,keZ,

63

所以函數(shù)〃（五）的單調(diào)遞增區(qū)間是++E,kwZ,

'JJ

17.如圖，在三楂錐。一ABC中，側(cè)面DAC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

（2）已知人3=逐，AC=2,AD=6,尸是線段BO上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角廠一AC-8的余

弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得：

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算即可得.

【小問1詳解】

取AC中點(diǎn)M，連接DM、BM，

由AD=￡>C,AB=BC，故ACJLDM、AC±BM,

又DM、BMu平面DBM，DM=Mf

則4C_L平面O8W,又8Ou平面O8W,故ACSB。；

【小問2詳解】

由側(cè)面DAC_L底面ABC,且AC_L8M,以0匚平面。斷，

4C=平面D4Cc平面A8C，故平面D4C,

又DMu平面D4C，板BM-LDM,

即有8M、DM、AC兩兩垂直，

故可以V為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系M-ABD，

由A8=6，AC=2,AD=O，AD=DC,AB—BC?

則DM=gAC=l,8M=J(扃—F=2,

即“(0,0,0)、￡>(0,0,1)、3(0,2,0)、A(l,0,0)、C(-l,0,0),

OB=((),2,-1)、AD=(-l,0,l),4C=(-2,0,0),

令。尸=403=(0,22,-2),則AF=AD+DF=(-1,22,1-2),

由Ab_L8O,故2x2X+(-1)x(1—4)=0,解得;1=：,

~J

故

令平面FAC法向量為m=(x,y,z),

-2x=0

則有?24八，令丁=2,則有〃z=(O,2,-1),

-x+—y+—z=0

5-5

由z軸_L平面ABC,故平面ABC的法向量可為〃=(0,0,1),

百?--m，n—1—\/5

則cosw,n=7-T7-：=-----~=——)

帆同V4+1-Vr15

故二面角/一AC—笈的余弦值為好.

5

18.為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市

高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動(dòng).對(duì)于參加征文活動(dòng)的每篇論文，由兩位評(píng)委獨(dú)立評(píng)分，取兩位評(píng)委評(píng)分的平

均數(shù)作為該篇論文的初評(píng)得分.從評(píng)委甲和評(píng)委乙負(fù)責(zé)評(píng)審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論文的評(píng)分情況如下

表所示.

序評(píng)委甲評(píng)評(píng)委乙評(píng)初評(píng)得

號(hào)分分分

\678274.5

2808683

36176685

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

(1)從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過5的概率；

(2)從這10篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評(píng)委對(duì)同一篇論文的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過5的篇數(shù)記為

X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)對(duì)于序號(hào)為i(i=l,2,…,10)的論文，設(shè)評(píng)委甲的評(píng)分為Xj,評(píng)委乙的評(píng)分為X，分別記甲、乙兩位評(píng)委對(duì)

/——\

Ix_xY'-Y

這1。篇論文評(píng)分的平均數(shù)為5，y,標(biāo)準(zhǔn)差為廂，S乙，以7———+」一作為序號(hào)為i的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得

41s甲S乙，

分.對(duì)這10篇論文按照初評(píng)得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號(hào)為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相

同？（結(jié)論不要求證明）

【答案】⑴1

5

/、3

（2）分布列見解析，E（X）=-

（3）相同

【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；

（2）X的可能取值為0，1，2,利用超幾何分布分別求出概率，然后再求期望即可；

（3）L算序號(hào)為2的論文和序號(hào)為3的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分的排名即可.

【小問I詳解】

設(shè)事件A為從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過5,

又在這10篇論文中，甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過5的有2篇，

,、2）

所以「（小近m

【小問2詳解】

由已知X的可能取值為0,1，2,

P（X=。）嚕氣尸（X。等4,尸-2）二警￡

所以X的分布列為

X012

771

P

15I??5

7713

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x西+1X西+2X同=不；

【小問3詳解】

根據(jù)數(shù)據(jù)序號(hào)為2的論文初評(píng)得分排名為第2，

-7767+80+61+78+70+81+84+68+66+64T八

由已知Xt-------------------------------------=71.9,

10

82+864-76+84+85+83+86+74+77+82_

/=-o1.2）,

10

明顯序號(hào)為7的論文甲乙兩評(píng)委評(píng)分均最高，故初評(píng)得分排名為第1,標(biāo)準(zhǔn)化得分排名仍然為第1,

現(xiàn)在就看初評(píng)得分排名為第3的序號(hào)為6的論文其標(biāo)準(zhǔn)化得分排名是否會(huì)發(fā)生變化，

1(X2-/1匕一歹］—歹|乂一歹］1

2(s甲

根據(jù)表中數(shù)據(jù)觀察可得評(píng)委甲的評(píng)分波動(dòng)大，故S甲〉S乙，

一311fX.-X}\~Y}\(X.-X匕一歹'八

所以-------即------------——+-------------——+———>0,

s乙$甲21s甲s乙121s甲$乙,

所以序號(hào)為2的論文標(biāo)準(zhǔn)化得分排名為第2，

所以序號(hào)為2的論文的兩種排名結(jié)果相同.

19.已知橢圓E：±+"=1(。>〃>0)的離心率為半，A，8分別是E的左、右頂點(diǎn)，尸是F上異于A,8的

點(diǎn)，4/4的面積的最大值為2

(1)求E的方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線x=2上，N,尸分別在x軸的兩側(cè)，且△APB與△7V8尸的面積相等.

(i)求證：直線ON與直線AP的斜行之積為定值；

(ii)是否存在點(diǎn)P使得AAPB四△NBP,若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】(1)—+^-=1

42

(2)(i)證明見解析；(ii)不存在點(diǎn)P

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，列方程組，即可求解；

(2)(i)首先利用坐標(biāo)表示S八依和S.MP，利用面積相等，以及點(diǎn)P在橢圓上的條件，即可化簡(jiǎn)斜率乘積的公式，

即可證明：(ii)由條件44尸B義ZXNBP,確定邊長和角度的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合，即可判斷是否存在點(diǎn)Q滿

足條件.

【小問1詳解】

當(dāng)點(diǎn)尸是短軸端點(diǎn)時(shí)，ZW歸的面積最大，面積的最大值為1-2。力=2夜，