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文檔簡介

習題課級數的收斂、求和與展開三、冪級數和函數的求法四、函數的冪級數展開法一、數項級數的審斂法二、求冪級數收斂域的方法

一、數項級數的審斂法必要條件不滿足發散滿足正項級數任意項級數

發散正項級數比值法比較法部分和極限收斂與同斂散

發散正項級數任意項級數條件收斂絕對收斂收斂交錯級數由比值法得發散發散

例1.判別下列級數的斂散性:解(1)據比較判別法,原級數發散.因調和級數發散,

利用比值判別法,可知原級數發散.用比值法,可判斷級數因n充分大時∴原級數發散.用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數比較可知時收斂;時發散.再由比較法可知原級數收斂.時發散.發散,收斂,

例2.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:解(1)P>1時,絕對收斂;0<p≤1時,條件收斂;p≤0時,發散.(2)因各項取絕對值后所得強級數

原級數絕對收斂.故

因單調遞減,且但所以原級數僅條件收斂.由Leibniz判別法知級數收斂;

因所以原級數絕對收斂.

二、求冪級數收斂域的方法?標準形式冪級數:先求收斂半徑R,再討論?

非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式直接用比值法處的斂散性.

解:因故收斂域為級數收斂;一般項不趨于0,級數發散;

例3

求級數的收斂域?

求部分和的極限三、冪級數和函數的求法求和逐項求導或求積分對和式積分或求導難直接求和:間接求和:轉化成冪級數求和,再代值求部分和等?數項級數求和

解先求出收斂區間則設和函數為

例4.求冪級數四、函數的冪級數展開法?直接展開法?

間接展開法例5將函數展開成

x

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