格林公式及其應(yīng)用

一、格林公式

1.平面區(qū)域

D的邊界L的正向的概念：當(dāng)觀察者沿該方向行走時(shí)，D內(nèi)在他近處的那部分總在他的左邊.簡(jiǎn)言之，外面逆時(shí)針里面順時(shí)針。2.格林公式定理1.

設(shè)區(qū)域

D

由分段光滑正向閉曲線

L圍成,函數(shù)

則在

D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),上述公式稱為格林公式。證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-型區(qū)域,且則定理1即同理可證①②①、②兩式相加得:定理12)

若區(qū)域

D不能同時(shí)用上述不等式組表示（如圖）,D12D3DL則添加輔助線將

D分割為有限個(gè)部分區(qū)域，

分區(qū)域都可同時(shí)用上述不等式組表示，使每個(gè)部則。正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積：注：例如,橢圓所圍面積定理1例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:令則利用格林公式,得

例2.設(shè)

L:逆時(shí)針方向,求解:

令則利用格林公式,得Oxy原式例3.計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:令,則利用格林公式,有

例2.計(jì)算其中D

是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(1,0)

為頂點(diǎn)的三角形順時(shí)針方向邊界.

解:xyA(1,1)B(1,0).O(0,0)..原式D的正向?yàn)長(zhǎng)D例3.計(jì)算其中L沿上半圓

由點(diǎn)（1，0）到（0，0）解:作圖示輔助線

L而所以

原式1,則(1,0)(0,0)LxyL1D

:y=0二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1.平面單連通區(qū)域的概念：?jiǎn)芜B通區(qū)域

(

無洞區(qū)域

)復(fù)連通區(qū)域

(有洞區(qū)域

)設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。簡(jiǎn)言之，DD定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2)對(duì)D內(nèi)任意閉曲線

L,都有(3)曲線積分(1)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有在D內(nèi)與路徑無關(guān).函數(shù)則以下三個(gè)命題等價(jià):2.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明(1)(2)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)槎ɡ?證明(2)(3)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向曲線，則(根據(jù)條件(1))例5.驗(yàn)證在全平面內(nèi)與,則路徑無關(guān)，并計(jì)算解:令所以

與路徑無關(guān)故,例6.求其中L沿半徑為R的上半圓故原曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，從而弧從點(diǎn)（2，1）到點(diǎn)（1，2）.則在右半平面內(nèi)，有

解:令作業(yè)P1191