推廣

一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第一節(jié)二、區(qū)域一、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念

一、多元函數(shù)的概念1.定義：設(shè)有變量x、y和z，如果當(dāng)變量

x、y在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按照一定的法則f總有唯一確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則f為x、y的二元函數(shù)。變量x、y稱為自變量。自變量x、y取值的范圍稱為函數(shù)的定義域。記作同理可定義x、y、z的三元函數(shù)。主要以二元函數(shù)為例研究多元函數(shù)。

二元函數(shù)的兩個(gè)要素：對(duì)應(yīng)法則f定義域D

例1.求下列函數(shù)的定義域（1）定義域Dxyo（2）定義域Dxyo解：解：

xyo（3）定義域D解：

例2.

設(shè)，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)z。解：將，代入，得

例3.設(shè)，求解：

2.二元函數(shù)的幾何意義定義域?yàn)閳A域一般情形:二元函數(shù)圖形是球心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形為空間曲面.定義域?yàn)檎麄€(gè)xy面z=f(x,y),(x,y)

D

二、區(qū)域1.區(qū)域由一條閉曲線或幾條閉曲線圍成的平面上一部分稱為一個(gè)平面區(qū)域。二元函數(shù)的定義域是一個(gè)平面區(qū)域。圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；包括邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域。如果區(qū)域能夠被原點(diǎn)為中心，適當(dāng)大的數(shù)為半徑的圓包含在內(nèi)，則稱區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域；否則為無界區(qū)域。

2.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為

三、二元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)二元函數(shù)為定義域內(nèi)一點(diǎn),則稱常數(shù)A為函數(shù)記作的定義域?yàn)镈，當(dāng)點(diǎn)以任意方式無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值如果無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，當(dāng)時(shí)的極限，或任意方式任意方向任意路徑

解:原式例4.求

例5.設(shè)，求故解:當(dāng)時(shí)，有（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮小）

注意：當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.存在，則可以斷定二元函數(shù)極限不存在。則有k值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以兩種不同方式趨于例6.討論函數(shù)函數(shù)

四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.設(shè)二元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),

例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).

定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的(證明略)如下性質(zhì):

例7.求函數(shù)的連續(xù)域.解:

內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域2.多元函數(shù)概念常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)

3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)

作業(yè)P471，3(1，2)，4(1,3,4),5(1)第二節(jié)

第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法1.定義在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為則稱此極限為函數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)如果極限

注意:同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)

若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為處對(duì)x或y偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù),

例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為2.偏導(dǎo)數(shù)的求法給出二元函數(shù)求在中將y

看作常數(shù)而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)求在中將x看作常數(shù)而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)

例1.求解:在點(diǎn)(0,1)處的偏導(dǎo)數(shù).

例2.設(shè)證:求證

偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例3.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),

3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的切線

求例4解：

對(duì)二元函數(shù),已得到這樣一些結(jié)論：對(duì)函數(shù)注意：連續(xù)（2）f(x,y)在點(diǎn)(0,0)不連續(xù)；不存在；（1）（3）可偏導(dǎo)，即可偏導(dǎo)；

二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):

類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階偏導(dǎo)數(shù)為

例5.求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及

連續(xù)，則定理.說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),而初等

內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)

作業(yè)P521（1，3，5，7）；2(1,2);3；4；

6（1,3）；7第三節(jié)

備用題

設(shè)方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且求解:

二、全微分的計(jì)算第三節(jié)一、全微分的定義全微分

一、全微分的定義回憶一元函數(shù)y=f(x)的微分可微可導(dǎo)，且

1.定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可以寫成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作則稱函f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，的全增量數(shù)

函數(shù)在D內(nèi)可微.則稱若函數(shù)在域D內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，可微設(shè)函數(shù)可微，得連續(xù)即2.可微與連續(xù)的關(guān)系由微分定義:

定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微必存在,且有3.可微與可偏導(dǎo)的關(guān)系:，即習(xí)慣上把自變量的增量寫成微分,得全微分計(jì)算公式,則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在定理表明：

例1:設(shè)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.證明：函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可偏導(dǎo)，但不可微。證：（可偏導(dǎo)），

定理2(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微。4.函數(shù)可微的充分條件:說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故初等函數(shù)在定義域內(nèi)可微。因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),而初等可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)定理表明：在已知可微的前提下，按計(jì)算公式計(jì)算全微分。

推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可例如,三元函數(shù)且有疊加原理的全微分為微性問題.稱為函數(shù)關(guān)于x的偏微分；的偏微分；為函數(shù)關(guān)于y為函數(shù)關(guān)于z的偏微分。函數(shù)的全微分等于函數(shù)關(guān)于各個(gè)自變量的偏微分之和

例2.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:

例3.求函數(shù)的全微分.解:例4.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

例5.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:

2.重要關(guān)系:極限存在函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在

P571(2)(4)(6);2(1)作業(yè)第四節(jié)

第四節(jié)一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

體現(xiàn)出

回憶一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則變量y、u、x之間yux的關(guān)系一條“鏈”

一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t這種中間變量多于一個(gè)，而最終自變量?jī)H有一個(gè)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)。

推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.例如：

例如：2)中間變量是多元函數(shù)的情形.

例如,注意:這里表示固定y對(duì)x求導(dǎo),表示固定v對(duì)x求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,

3)中間變量與自變量并存的情形.例1.設(shè)解:

例2.解:

例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:

引入記號(hào)：例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:表示f對(duì)第一個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)表示f對(duì)第一個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)后再對(duì)第二個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的三大原則：（1）對(duì)某變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，除了該變量以外的其他變量均看作常數(shù)，而對(duì)該變量求導(dǎo)（2）偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算中仍然是關(guān)注函數(shù)的最后一道運(yùn)算（3）如果函數(shù)表達(dá)式中有復(fù)合成份（特別是抽象復(fù)合）對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，則首先對(duì)中間變量求導(dǎo)數(shù)，再乘以中間變量

例5.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:

內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,

P622;4;7（1）（3）;8;10（2）

作業(yè)第五節(jié)

第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)的實(shí)質(zhì)：用F對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)來表示f對(duì)x的導(dǎo)數(shù)

定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一②③滿足條件導(dǎo)數(shù)鄰域內(nèi)滿足

兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)函數(shù)，則

，將代入原方程，得

例1.，求解:令將及代入，得

兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)

定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足滿足:②在點(diǎn)③某一鄰域內(nèi)可唯一確①

例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x求導(dǎo)

解法2

利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)

例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，解:已知方程故

例4.求解作業(yè)P651,3，5,6第七節(jié)

第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線復(fù)習(xí)位置.空間光滑曲線在點(diǎn)M

處的切線為此點(diǎn)處割線的極限一、空間曲線的切線與法平面過點(diǎn)M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法平面.設(shè)曲線方程為參數(shù)方程：（1）點(diǎn)

處曲線的切線方程為

（

對(duì)應(yīng)）處切線的方向向量為點(diǎn)—三個(gè)導(dǎo)數(shù)（2）點(diǎn)處曲線的法平面方程為

稱為切向量。向量注：上式分母同除以得割線的方程為推導(dǎo)：點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)在上式中令，得直線:解切線為法平面為,切線的方向向量:處切線的方向向量——三個(gè)導(dǎo)數(shù)例1

求在點(diǎn)處的切線及法平面方程.點(diǎn)

對(duì)應(yīng)

求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程。練習(xí)題處切線的方向向量——三個(gè)導(dǎo)數(shù)切平面的法向量為———三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)二、曲面的切平面與法線設(shè)曲面則曲面在點(diǎn)處在點(diǎn)處切平面為:

法線為:

過點(diǎn)的平面:例2.

求曲面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以曲面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令

曲面在處切平面的法向量——三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)上求一點(diǎn),使該點(diǎn)處的法線垂直于例3.在曲面并寫出該法線方程.解:設(shè)所求點(diǎn)為平面

依題意,有令則法向量曲面在處切平面的法向量——三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)解之得（法線垂直于平面）（點(diǎn)在曲面上）則法線方程為處的解1.求曲面在點(diǎn)切平面及法線方程.練習(xí)令切平面方程為法線方程為則即曲面在處切平面的法向量——三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。習(xí)題

P691.(2)2.3.(1)6.

第七節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法

回憶一元函數(shù)極值的討論體系定義:

可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)為極大值為極小值必要條件：駐點(diǎn)判定極值的充分條件：第一充分條件：按駐點(diǎn)兩側(cè)的變號(hào)情況判定第二充分條件：為極大值為極小值

一、多元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有

例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.

已知在點(diǎn)處取極值用平面與曲面相截得交線在處取極值同理

說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).定理1(必要條件)函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值駐點(diǎn)且在該點(diǎn)取得極值,則有故可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)

時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若

例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(0,0),(2,2).第二步判別.解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)

(0,0)(2,2)時(shí),A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.為極大值.不是極值駐點(diǎn)ABC極值情況

例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為

二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達(dá)到最值最值嫌疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)

例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.

例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解:設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面

令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.

三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如在(0,0)點(diǎn)處取極小值(無條件極值)求在限制條件下的極值問題

條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題例如：轉(zhuǎn)化上題中，從限制條件中解出代入

方法2拉格朗日乘數(shù)法.例如,引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.

例5某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x和y

(件),

利潤(rùn)函數(shù)為z=6x-x2+16y–4y2(元),每件產(chǎn)品均需消耗某種原料2公斤,現(xiàn)有原料12公斤,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件時(shí),利潤(rùn)最大?解2x+2y=12,約束條件:即x+y=6,令解方程組得故當(dāng)x=3.8,y=2.2時(shí),利潤(rùn)最大.

作業(yè)P751，2,4,5，7習(xí)題課

求拋物線到直線的最短距離。

備用題

習(xí)題課一、