經(jīng)濟高數(shù)考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在x=0處連續(xù)的是（）

A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=1/xD.f(x)=e^x

2.設函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f'(0)=2，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在x=0處取得極大值B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)在x=0處取得拐點D.f(x)在x=0處無極值

3.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在[a,b]上必有極值B.f(x)在(a,b)內(nèi)必有極值

C.f(x)在[a,b]上必有拐點D.f(x)在(a,b)內(nèi)必有拐點

4.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=1，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在x=0處取得極大值B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)在x=0處取得拐點D.f(x)在x=0處無極值

5.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在x=0處取得極大值B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)在x=0處取得拐點D.f(x)在x=0處無極值

6.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在[a,b]上必有極值B.f(x)在(a,b)內(nèi)必有極值

C.f(x)在[a,b]上必有拐點D.f(x)在(a,b)內(nèi)必有拐點

7.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=1，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在x=0處取得極大值B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)在x=0處取得拐點D.f(x)在x=0處無極值

8.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在x=0處取得極大值B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)在x=0處取得拐點D.f(x)在x=0處無極值

9.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在[a,b]上必有極值B.f(x)在(a,b)內(nèi)必有極值

C.f(x)在[a,b]上必有拐點D.f(x)在(a,b)內(nèi)必有拐點

10.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=1，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f(x)在x=0處取得極大值B.f(x)在x=0處取得極小值

C.f(x)在x=0處取得拐點D.f(x)在x=0處無極值

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=2，則f(x)在x=0處的切線方程為________。

2.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，則f(x)在x=0處的導數(shù)等于________。

3.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=1，則f(x)在x=0處的導數(shù)等于________。

4.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=2，則f(x)在x=0處的切線斜率為________。

5.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0，則f(x)在x=0處的切線斜率為________。

6.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=1，則f(x)在x=0處的切線斜率為________。

7.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=2，則f(x)在x=0處的切線方程為________。

8.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，則f(x)在x=0處的切線方程為________。

9.設f(x)在x=0處可導，且f'(0)=1，則f(x)在x=0處的切線方程為________。

10.設f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=2，則f(x)在x=0處的切線方程為________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的導數(shù)。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的切線方程。

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的極值。

四、證明題（每題10分，共10分）

1.證明：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)可導，那么f(x)在[a,b]上至少存在一點c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

五、應用題（每題10分，共10分）

2.設某商品的需求函數(shù)為Q=100-2P，其中P為商品的價格（單位：元），求該商品的需求彈性，并說明價格的增減對該商品需求量的影響。

六、計算題（每題10分，共10分）

3.計算定積分∫(0toπ)sin^2(x)dx。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A解析：函數(shù)f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，因為左極限、右極限和函數(shù)值都相等。

2.B解析：由于f'(0)=2，說明函數(shù)在x=0處的導數(shù)為正，故在x=0處取得極小值。

3.A解析：根據(jù)費馬定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。這意味著在[a,b]上必有極值。

4.B解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，故在x=0處取得極值，根據(jù)導數(shù)符號判斷，為極小值。

5.B解析：由于f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，故在x=0處取得極值，根據(jù)導數(shù)符號判斷，為極小值。

6.A解析：根據(jù)費馬定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。這意味著在[a,b]上必有極值。

7.B解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，故在x=0處取得極值，根據(jù)導數(shù)符號判斷，為極小值。

8.B解析：由于f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，故在x=0處取得極值，根據(jù)導數(shù)符號判斷，為極小值。

9.A解析：根據(jù)費馬定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。這意味著在[a,b]上必有極值。

10.B解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，故在x=0處取得極值，根據(jù)導數(shù)符號判斷，為極小值。

二、填空題答案及解析：

1.y=2x解析：切線方程的斜率等于導數(shù)，即f'(0)=2，切線過點(0,f(0))，所以切線方程為y=2x。

2.0解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，所以f(x)在x=0處的導數(shù)等于0。

3.1解析：由于f(x)在x=0處可導，且f'(0)=1，說明在x=0處導數(shù)為1，所以f(x)在x=0處的導數(shù)等于1。

4.2解析：切線方程的斜率等于導數(shù)，即f'(0)=2，所以切線斜率為2。

5.0解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，所以切線斜率為0。

6.1解析：由于f(x)在x=0處可導，且f'(0)=1，說明在x=0處導數(shù)為1，所以切線斜率為1。

7.y=2x解析：切線方程的斜率等于導數(shù)，即f'(0)=2，切線過點(0,f(0))，所以切線方程為y=2x。

8.y=0解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，且f'(0)=0，說明在x=0處導數(shù)為0，所以切線方程為y=0。

9.y=x解析：切線方程的斜率等于導數(shù)，即f'(0)=1，切線過點(0,f(0))，所以切線方程為y=x。

10.y=2x解析：切線方程的斜率等于導數(shù)，即f'(0)=2，切線過點(0,f(0))，所以切線方程為y=2x。

三、解答題答案及解析：

1.f'(1)=3*1^2-3*2*1+2=-1解析：根據(jù)導數(shù)的定義，求導數(shù)f'(x)=3x^2-6x+2，代入x=1，得f'(1)=-1。

2.y=-x^2+2x+1解析：切線方程的斜率等于導數(shù)，即f'(1)=-1，切線過點(1,f(1))，所以切線方程為y=-x^2+2x+1。

3.極小值點為x=1，極小值為f(1)=1解析：根據(jù)導數(shù)的符號變化，當x<1時，f'(x)>0；當x>1時，f'(x)<0。因此，x=1是極小值點，代入x=1，得f(1)=1。

四、證明題答案及解析：

1.證明：設F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b)=0。根據(jù)羅爾定理，存在c∈(a,b)，使得F'(c)=0。由于F'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)，所以f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

五、應用題答案及解析：

2.需求彈性E=(dQ/dP)*(P/Q