2024~2025學年第二學期高一年級3月學情檢測數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A B. C. D.2.已知兩個向量，，若，則x的值為（）A. B. C. D.3.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A. B. C. D.4.在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知，且，則等于（）A. B. C. D.6.已知，則（）A.1 B. C. D.27.如圖，在中，，，，邊上的兩條中線于點，則（）A. B. C. D.8.在平面直角坐標系中，，若點是線段上動點，設，則的最大值為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列說法中錯誤的是（）A.若為單位向量，則B.若，則C.兩個非零向量，若，則D.若，則10.已知，則（）A. B.C. D.11.正方形的邊長為2，在上，且，如圖，點是以為直徑的半圓上任意一點，，則（）A.最大值為 B.最大值為1C.最大值是 D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，共15分．12.已知平面內兩向量，若，則的值為_____________．13.已知，且，則的值為_____________．14.如圖，在中，，分別是直線上的點，，且，則_____________．若是線段上的一個動點，則的取值范圍是_____________．四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，其中是夾角為的單位向量．（1）當，求與夾角的余弦值；（2）若與夾角為鈍角，求的取值范圍．16.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．17.如圖，、是單位圓上相異兩定點（為圓心），且（為銳角）．點為單位圓上的動點，線段交線段于點．（1）求（結果用表示）；（2）若，求的取值范圍．18設函數．（1）當時，求函數的最小值并求出對應的；（2）在中，角對邊分別為，若，且，求周長的取值范圍．19.設O為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為，向量稱為函數的“相伴向量”.（1）設函數，求的“相伴向量”；（2）記的“相伴函數”為，若函數，與直線有且僅有四個不同的交點，求實數k的取值范圍；（3）已知點滿足，向量的“相伴函數”在處取得最大值.當點M運動時，求的取值范圍.

2024~2025學年第二學期高一年級3月學情檢測數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式以及逆用兩角和的正弦公式求解.【詳解】.故選:D2.已知兩個向量，，若，則x的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量平行的坐標表示分析運算.【詳解】若，則，解得.故選：A.3.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平面向量數量積的定義、運算性質，結合兩平面向量垂直數量積為零這一性質逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量數量積的定義和運算性質，考查了兩平面向量數量積為零則這兩個平面向量互相垂直這一性質，考查了數學運算能力.4.在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理可知時，為鈍角，推得充分性成立；舉反例推得必要性不成立，從而得解.【詳解】充分性：當時，，又，所以是以為鈍角的鈍角三角形；必要性：當為鈍角三角形時，取，則，又，故為鈍角，但不成立，故不滿足必要性.所以“”是“為鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：A5.已知，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方關系由結合已知角的范圍求出的值，再代入二倍角公式和和角公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以.因為，所以，所以.則.故選：A.6.已知，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據，即可利用二倍角公式以及和差角公式化簡求解.【詳解】由可得，故選：C7.如圖，在中，，，，邊上的兩條中線于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察圖象知與的夾角的大小相等，結合向量夾角余弦公式可得結論.【詳解】因為，所以為直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標系，則有，，，又D，E分別為BC，AB中點，所以，，故，，所以，故選：D．8.在平面直角坐標系中，，若點是線段上的動點，設，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的數量積運算求得，由數量積坐標表示得出，然后利用兩角和的正弦公式及正弦函數的性質得最大值．【詳解】由已知，∵，且，∴，∵為線段AB上的動點，則，，∵，，則．所以，其中，且為銳角，則，所以時，的最大值為，故選：B．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列說法中錯誤的是（）A.若為單位向量，則B.若，則C.兩個非零向量，若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】A項，單位向量的方向不一定相同；B項，向量性質判斷；C項，兩邊平方展開化簡可得；D項，特殊向量的數量積計算求解.【詳解】選項A，由為單位向量，即，而方向不一定相同，故A錯誤；選項B，向量不能比較大小，故B錯誤；選項C，由，得，即，整理得，又因為兩個非零向量，所以，故C正確；選項D，當時，則不一定成立，故D正確；故選：ABD.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據同角三角函數基本關系式，結合角的變換公式，即可求解.【詳解】對于A，因為，則，所以，故A正確；對于B，因為，則，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，則，故D錯誤.故選：AC.11.正方形的邊長為2，在上，且，如圖，點是以為直徑的半圓上任意一點，，則（）A.最大值為 B.最大值為1C.最大值是 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據題設條件，建立平面直角坐標系，把數量積問題轉化為坐標運算來解決，結合三角函數的性質即可對選項進行判定.【詳解】以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，，，，，，設，，則，，，由，得，則，解得，對于A，，其中銳角由確定，，則當時，，A錯誤；對于B，，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，其中銳角由確定，，則當時，取得最大值，C正確；對于D，，則，而，當時，取得最大值為，D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，共15分．12.已知平面內兩向量，若，則的值為_____________．【答案】##【解析】【分析】根據向量垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，又向量，所以，所以.故答案為：13.已知，且，則的值為_____________．【答案】【解析】【分析】由已知，求得，得，可得，進而求得，，由，利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，因為，所以，又，則，所以，所以，，所以.故答案：.14.如圖，在中，，分別是直線上的點，，且，則_____________．若是線段上的一個動點，則的取值范圍是_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，根據向量的線性運算以及向量基本定理，將轉化為之間的運算，即可求得答案；第二空，設，，根據數量積的運算律，化簡為之間的相關運算，結合二次函數的性質，即可求得答案.【詳解】∵，，∴，，∵，又，，∴，解得，∵，∴．設，，∴，，∴當時，有最小值，最小值為，當時，有最大值，最大值為，故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，其中是夾角為的單位向量．（1）當，求與夾角的余弦值；（2）若與夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根據向量夾角公式即可求得答案；（2）若與的夾角為鈍角，則且不共線，即可解得的取值范圍．【小問1詳解】由已知，，是夾角為的單位向量，所以，又，則，所以，又，所以．【小問2詳解】若與的夾角為鈍角，則且不共線，所以，且，，且，所以且．16.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由于，所以代值求解即可；（2）由求出的值，從而可求出的值，而，進而可求得結果【詳解】（1）（2）因為為銳角，所以，，又，所以，，又，所以因，所以.17.如圖，、是單位圓上的相異兩定點（為圓心），且（為銳角）．點為單位圓上的動點，線段交線段于點．（1）求（結果用表示）；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的數量積運算法則，結合轉化法即可得解；（2）設，利用向量的數量積運算法則，結合三角恒等變換將所求轉化為關于的表達式，結合三角函數值域從而得解；【小問1詳解】；【小問2詳解】當時，，．設，由條件知：，∴，∵，則，∴，∴.18.設函數．（1）當時，求函數的最小值并求出對應的；（2）在中，角的對邊分別為，若，且，求周長的取值范圍．【答案】（1）當時，函數取到最小值為（2）【解析】【分析】（1）先對函數化簡，得到，再利用函數的圖像與性質即可求出結果.（2）利用（1）中條件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何兩邊之和大于第三邊，即可求得周長的范圍.【小問1詳解】因為，因為，所以，由的圖象與性質知，當，即時，函數取到最小值為，即當時，函數的最小值為，此時．【小問2詳解】因為，由（1）得到，，即，又在中，則，所以，即，又，由余弦定理，得到，又由基本不等式知，，當且僅當取等號，所以，則，又因為，所以，所以周長的取值范圍為．19.設O為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為，向量稱為函數的“相伴向量”.（1）設函數，求的“相伴向量”；（2）記的“相伴函數”為，若函數，與直線有且僅有四個不同的交點，求實數k的取值范圍；（3）已知點滿足，向量的“相伴函數”在處取得最大值.當點M運動時，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】