PAGEPAGE1第07講函數(shù)的圖象講1.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和探討函數(shù)的性質(zhì).2.高考預(yù)料：（1）函數(shù)圖象的辨識(shí)（2）函數(shù)圖象的變換（3）主要有由函數(shù)的性質(zhì)及解析式選圖；由函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的性質(zhì)、圖象的變換、數(shù)形結(jié)合解決不等式、方程等問題．經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查.3.備考重點(diǎn)（1）基本初等函數(shù)的圖象（2）兩圖象交點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)、方程解的個(gè)數(shù)、不等式的解集等方面的應(yīng)用學(xué)問點(diǎn)1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)探討函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其留意特別點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.【典例1】【2024年全國卷Ⅲ理】設(shè)函數(shù)．（1）畫出的圖象；（2）當(dāng)，，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）的圖象如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為．【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的畫法(1)干脆法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟識(shí)的基本函數(shù)時(shí)，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)干脆作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有肯定值符號(hào)的函數(shù)，可去掉肯定值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．【變式1】【北京海淀十一學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上期中】對(duì)、，記，函數(shù)．（1）求，．（2）寫出函數(shù)的解析式，并作出圖像．（3）若關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不等的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（只需寫出結(jié)論）【答案】見解析．【解析】解：（1）∵，函數(shù)，∴，．（2）（3）或．學(xué)問點(diǎn)2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻轉(zhuǎn)變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.【典例2】分別畫出下列函數(shù)的圖象：【答案】見解析【解析】(1)首先作出y＝lgx的圖象C1，然后將C1向右平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖1所示(實(shí)線部分).(2)y＝2x＋1－1的圖象可由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位，得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個(gè)單位得到，如圖2所示.(3)第一步作y＝lgx的圖像．其次步將y＝lgx的圖像沿y軸對(duì)折后與原圖像，同為y＝lg|x|的圖像．第三步將y＝lg|x|的圖像向右平移一個(gè)單位，得y＝lg|x－1|的圖像第四步將y＝lg|x－1|的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折，得的圖像，如圖3．【重點(diǎn)總結(jié)】圖象變換法若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)留意平移變換與伸縮變換的依次對(duì)變換單位及解析式的影響．【變式2】作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.【答案】見解析【解析】(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x＞0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖①實(shí)線部分．(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位即得，如圖③.(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再依據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，如圖④.考點(diǎn)1作圖【典例3】分別畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝eq\f(2x＋1,x＋1)；(3)y＝10|lgx|.【答案】見解析【解析】(1)先畫函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象，再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方，如圖1.(2)y＝eq\f(2x＋1,x＋1)＝eq\f(2（x＋1）－1,x＋1)＝2－eq\f(1,x＋1).可由函數(shù)y＝－eq\f(1,x)向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖2.(3)y＝10|lgx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,\f(1,x)，0＜x＜1，))如圖3.【易錯(cuò)提示】對(duì)于左、右平移變換，往往簡單出錯(cuò)，在實(shí)際推斷中可熟記口訣：左加右減；但要留意加、減指的是自變量，否則不成立．【變式3】作出函數(shù)y＝|x－2|·(x＋1)的圖象．【答案】4，2.【解析】當(dāng)x≥2，即x－2≥0時(shí)，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(9,4)；當(dāng)x＜2，即x－2＜0時(shí)，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4).所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－\f(9,4)，x≥2，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(9,4)，x＜2.))這是分段函數(shù)，每段函數(shù)的圖象可依據(jù)二次函數(shù)圖象作出(如圖)．考點(diǎn)2識(shí)圖【典例4】【2024年浙江卷】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【總結(jié)提升】識(shí)圖的三種常用方法1．抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：（1）由函數(shù)的定義域，推斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，推斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)．2．抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特別值的計(jì)算分析解決問題．3．依據(jù)實(shí)際背景、圖形推斷函數(shù)圖象的方法：(1)依據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而推斷函數(shù)圖象(定量分析)；(2)依據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的改變、增減速度等推斷函數(shù)圖象(定性分析)．【變式4】（2024·莆田第九中學(xué)高三高考模擬（文））函數(shù)(且)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，在選項(xiàng)A中，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函數(shù)的拋物線開口向上，拋物線的對(duì)稱軸為所以選項(xiàng)A是正確的，故答案為：A.【典例5】【2024年理數(shù)全國卷II】函數(shù)的圖像大致為（）A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.【思路點(diǎn)撥】往往通過探討函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先確定函數(shù)的單調(diào)性，再推斷圖象的改變趨勢．【變式5】【2024浙江，7】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是（）【答案】D 【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且由增變減時(shí)，極值點(diǎn)大于0，因此選D．考點(diǎn)3用圖【典例6】【山東省2024年一般高校招生（春季）】奇函數(shù)的局部圖像如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以,因?yàn)?gt;0>，所以,即，選A.【總結(jié)提升】函數(shù)圖象應(yīng)用的常見題型與求解策略【變式6】（2024·安徽高三高考模擬（文））已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖像可知，，得，故答案為：A.【典例7】（2024·北京高三高考模擬（文））當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，下列關(guān)于函數(shù)y=的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，沒有交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)交點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】B【解析】設(shè)f（x）=，g（x）=，其中x∈[0，1]A．若m=0，則與在[0，1]上只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．B．當(dāng)m∈（1，2）時(shí)，即當(dāng)m∈（1，2]時(shí)，函數(shù)y=的圖象與的圖象在x∈[0，1]無交點(diǎn)，故B正確，C．當(dāng)m∈（2，3]時(shí)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)無交點(diǎn)，即C不肯定正確．D．當(dāng)m∈（3，+∞）時(shí)，g（0）=＞1，此時(shí)f（1）＞g（1），此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：B．【變式7】【2025屆廣西欽州市第三次檢測】設(shè)函數(shù)與函數(shù)的的圖象在區(qū)間上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次分別為，，…，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】將函數(shù)與y=的圖象有公共的對(duì)稱中心（，0），從圖象知它們在區(qū)間上有八個(gè)交點(diǎn)，分別為四對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，每一對(duì)的橫坐標(biāo)之和為1，故全部的橫坐標(biāo)之和為4．故選：A．【典例8】（2024·北京高考模擬（理））已知函數(shù)f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同始終角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象，當(dāng)y=lnx向左平移a（a＞0）個(gè)單位長度，恰好過（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）就不存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以0＜a＜e，當(dāng)y=lnx向右平移（a＜0）個(gè)單位長度，函數(shù)f（x）與g（x）總存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，明顯滿意題意，綜上：a＜e，故選：B．【變式8】（2024·陜西高考模擬（理））已知函數(shù)，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），則b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．則2a+b，當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)．滿意b＞2，故選：A．【典例9】（2024·四川高三高考模擬（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程的全部解