專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【知識(shí)梳理】 1【考點(diǎn)1：變化率問(wèn)題】 3【考點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的定義】 4【考點(diǎn)3：求曲線切線的斜率（傾斜角）】 5【考點(diǎn)4：已知切線（斜率）求參數(shù)】 5【考點(diǎn)5：在曲線上一點(diǎn)的切線方程】 6【考點(diǎn)6：過(guò)一點(diǎn)的切線方程】 7【考點(diǎn)7：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問(wèn)題】 8【考點(diǎn)8：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】 9【知識(shí)梳理】1．瞬時(shí)速度(1)平均速度設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為=.(2)瞬時(shí)速度①物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

②一般地，當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說(shuō)當(dāng)t趨近于0時(shí)，的極限是v，這時(shí)v就是物體在t=時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過(guò)點(diǎn)、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)k，我們就說(shuō)當(dāng)x趨近于0時(shí)，的極限是k，這時(shí)k就是拋物線在點(diǎn)處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時(shí)，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.4．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)(,f())時(shí)，割線P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線T(T是直線T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線的斜率，即f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為.5．導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)y=f(x)在x=處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x=時(shí)，f'()是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y'，即f'(x)=y'=.在曲線上一點(diǎn)的切線方程—解題秘籍：①求出切點(diǎn)的坐標(biāo)②求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)③得切線方程.過(guò)一點(diǎn)的切線方程—解題秘籍：設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，∵過(guò)點(diǎn)，∴然后解出的值，有幾個(gè)值，就有幾條切線.公切線—解題秘籍：①設(shè)切點(diǎn)，②建立切線方程，③代入點(diǎn)到切線方程中，利用此時(shí)切點(diǎn)在切線且在曲線上，即同時(shí)滿足方程：解出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出切線方程．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值—解題秘籍：①兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在一個(gè)函數(shù)圖象和一條直線上.若兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在函數(shù)和直線上，那么當(dāng)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，到直線的距離.②若兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在函數(shù)和函數(shù)上，那么當(dāng)直線與直線平行時(shí)，且與相切，則切點(diǎn)到的距離.【考點(diǎn)1：變化率問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：變化率問(wèn)題】1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．6 B．3 C．2 D．12．（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·河南商丘·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)從到的平均變化率為（

）A． B． C． D．4．（2025高二·全國(guó)·課堂例題）物體運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），若，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．18m/s是物體從開(kāi)始到3s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度B．18m/s是物體從3s到這段時(shí)間內(nèi)的速度C．18m/s是物體在3s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度D．18m/s是物體從3s到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度5．（24-25高二上·北京朝陽(yáng)·期末）建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.下列敘述中正確的是（

）A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0B．在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率C．甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率D．乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率6．（2025高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（

）A． B．1 C．2 D．【考點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的定義】【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義】1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則等于（

）A． B． C．1 D．3．（2025高二下·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．4．（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若，則（

）A． B．6 C．3 D．-36．（2025高三·上海·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中，(1)求曲線在，，，處的切線的斜率；(2)說(shuō)明這些斜率值是如何變化的．【考點(diǎn)3：求曲線切線的斜率（傾斜角）】【知識(shí)點(diǎn)：求曲線切線的斜率（傾斜角）】1．（2025高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角．2．（24-25高二上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知拋物線上一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）

A．B．C．D．

4．（2025高二上·江蘇·階段練習(xí)）點(diǎn)在曲線上，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)4：已知切線（斜率）求參數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)：已知切線（斜率）求參數(shù)】1．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則．2．（2025高三上·湖南·階段練習(xí)）曲線的一條切線為，則．3．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則．4．（2025高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為.5．（2025高三下·廣東惠州·階段練習(xí)）若直線與曲線相切，則（

）A． B．1 C． D．6．（2025高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與x軸相切，則a的值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)5：在曲線上一點(diǎn)的切線方程】【知識(shí)點(diǎn)：在曲線上一點(diǎn)的切線方程】1．（24-25高二下·甘肅臨夏·期末）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2025高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知曲線上一點(diǎn)，求：(1)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)曲線在點(diǎn)處的切線方程.3．（2025高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【考點(diǎn)6：過(guò)一點(diǎn)的切線方程】【知識(shí)點(diǎn)：過(guò)一點(diǎn)的切線方程】1．（2024·新疆·二模）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或2．（2025高二下·河北·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)，且．(1)求，的值；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．3．（24-25高二上·重慶·期末）已知曲線，(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【考點(diǎn)7：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問(wèn)題】1．（24-25高二上·陜西西安·期末）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．32．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．2 D．33．（24-25高二下·江西·期中）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．4．（24-25高二下·湖北·期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）．A．26 B．23 C．15 D．115．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．6．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知直線是曲線和的公切線，則的值為.8．（2025高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知曲線與的公切線為，則實(shí)數(shù).【考點(diǎn)8：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】1．（2025高二下·福建寧德·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知