第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換章末題型大總結(jié)題型01求向量的數(shù)量積解題錦囊解題錦囊求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法（1）定義法：根據(jù)向量的模與夾角計(jì)算求解；（2）基向量法：將求數(shù)量積的向量用已知?；驃A角的向量線性表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解；（3）坐標(biāo)法：根據(jù)圖像特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【典例1】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知正方形的邊長是4，是的中點(diǎn)，滿足，則（

）A．10 B．20 C．22 D．25【答案】B【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示、結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，則，，所以．故選：B．【變式1】（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，在中，已知為中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算得解.【詳解】在中，由為中點(diǎn)，得，所以.故選：C【變式2】（24-25高一下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）如圖所示，兩個(gè)邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，則.【答案】12【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算用表示，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】依題意，因?yàn)槿切问堑冗吶切危?故答案為：12.【變式3】（24-25高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）正方形的邊長為為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，則.【答案】/2.5【分析】利用勾股定理得到，然后根據(jù)數(shù)量積的幾何意義得到在上的投影的數(shù)量等于，從而得到，然后利用三角函數(shù)得到，最后利用勾股定理計(jì)算即可.【詳解】正方形的邊長為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，在上的投影的數(shù)量為.所以，所以，所以，所以，所以，所以，.故答案為：.【變式4】（24-25高一下·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且．若，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】在中，點(diǎn)在線段上，且，則，，而，因此，即，所以.故選：A題型02求向量的投影向量解題錦囊解題錦囊已知非零平面向量，向量是與同向的單位向量，則向量在上的投影向量：【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以在上的投影向量為故選：C.【變式1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出向量的單位向量，然后利用投影向量公式求解即可.【詳解】設(shè)向量是與同向的單位向量，則，則向量在方向上的投影向量為.故選：D【變式2】（24-25高三上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用投影向量的定義可得，代入坐標(biāo)計(jì)算可求得.【詳解】向量在方向上的投影向量為，所以，解得.故選：A.【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·期中）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（

）A．2 B．0 C． D．【答案】C【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴牵?，化簡得，因?yàn)椋?，解?故選：C,【變式4】（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】由已知，在方向上的投影向量為.故選：A．【變式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，利用向量數(shù)量積的定義及投影向量的意義求解即得.【詳解】在直角梯形中，且，過作于，則，故，從而.因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C題型03向量的夾角問題解題錦囊解題錦囊（1）向量的夾角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解.（2）兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線；【典例3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，，滿足，，則（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)單位向量定義將等式平方可得，再由夾角公式計(jì)算可得結(jié)果【詳解】由題意，，由得，即，所以，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以.故選：C【變式1】（24-25高三上·湖南衡陽·階段練習(xí)）設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（）A．0 B． C． D．1【答案】B【分析】先求出，再使用向量夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.【詳解】，則.故選：B【變式2】（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）“”是“向量與向量的夾角為鈍角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算令且不反向共線可得.【詳解】若夾角為鈍角，則且不反向共線，則，解得且，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰跋蛄颗c向量的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：C【變式3】（2025·湖南邵陽·一模）已知向量，，與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積公式求出，再利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積公式.先求，.再求..所以.根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，所以.故選：C.【變式4】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在正方形中，是的中點(diǎn)，在上且，與交于點(diǎn)，則．【答案】/【分析】設(shè)，利用平面向量基底表示以及線性運(yùn)算可得、，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律、定義和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，，設(shè)正方向邊長為6，則，所以，所以.故答案為：題型04向量模的計(jì)算解題錦囊解題錦囊向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；②坐標(biāo)法：求出平面向量的坐標(biāo)求解.【典例4】（2025·廣東·一模）已知平面向量的夾角為，且，，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量模長的關(guān)系，利用平方法轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積公式，解一元二次方程即可得出答案.【詳解】由，所以，即，即，整理得，解得或（舍去），所以.故選：B.【變式1】（24-25高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）已知，，，則等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】通過平方的方法，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，則.故選：A.【變式2】（24-25高三上·江蘇·期末）已知向量，，若，則（

）A．3 B． C．4 D．0【答案】A【分析】平方可得，化簡得到，從而得到方程，求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以可得，即，所以，即可得，解得故選：A【變式3】（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）兩個(gè)單位向量、滿足，則.【答案】【分析】等式兩邊平方，可求出的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量、滿足，由兩邊平方可得，即，解得，故.故答案為：.【變式4】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在中，，則．【答案】【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則計(jì)算，結(jié)合數(shù)量積和三角形知識(shí)求模長得解.【詳解】解析

如圖，延長CB至點(diǎn)D，使，連接AD．在中，，，．即，展開得到，將代入，解得．所以．故答案為：.【變式5】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知的夾角為，是的中點(diǎn)，則．【答案】【分析】首先利用基底表示向量，再利用數(shù)量積公式求.【詳解】，所以，則.故答案為：題型05平行與垂直問題【典例5】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算并判斷．【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，所以C正確，A錯(cuò)誤.∵，所以D錯(cuò)誤∵，所以B錯(cuò)誤.故選：C.【變式1】（24-25高一下·山東威海·月考）已知非零向量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，按照數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：B.【變式2】（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知向量，的模相等且夾角為，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)（

）.A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積為0解方程即可得出結(jié)果.【詳解】由，則，即，即.解得.故選：D.【變式3】（24-25高三下·湖北·開學(xué)考試）已知向量，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，可得，進(jìn)而可得，，即可求解.【詳解】因?yàn)椋玫剑喌茫?，又，所以，得到，所以，則，，所以的面積為，故選：A.【變式4】（多選）（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、，其中，則（

）A．若、、三點(diǎn)共線，則 B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量的模長公式可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椤?、，其中，則，，對(duì)于A選項(xiàng)，若、、三點(diǎn)共線，則，則，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，即，可得，解得或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋?，D對(duì).故選：ABD.題型06最值與范圍問題【典例6】（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，“六芒星”是由兩個(gè)邊長為正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作在上的投影向量，觀察圖形結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求的范圍.【詳解】由對(duì)稱性可得，連接，與的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故，，，，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，則向量在向量上的投影向量為，所以，如圖過點(diǎn)作，，垂足分別為，所以，，觀察圖象可得，其中與同向，與反向，所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的位置時(shí)，取最大值，最大值為，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的位置時(shí)，取最小值，最小值為，所以的取值范圍是.故選：B.【變式1】（24-25高一上·湖南衡陽·期末）是邊長為2的正三角形，為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，則可表示為，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，則有，則，而而，，故當(dāng)P與E重合時(shí)，有最小值，所以的最小值為，故選：B.【變式2】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，滿足，，則的最大值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律得，再利用向量不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)閯t，則，所以，所以，，故選：C.【變式3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知在正方形中，，為中點(diǎn)，為正方形內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的最大值為（

）.A． B． C． D．2【答案】D【分析】建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，得到，求出最大值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：D.【變式4】（2025高三·全國·專題練習(xí)）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．在正八邊形中，若，則的值為；若正八邊形的邊長為2，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．

【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，由得到方程組，求出即可求得；設(shè)，則，令，則，移動(dòng)直線，數(shù)形結(jié)合即可得答案.【詳解】正八邊形的性質(zhì)可知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．

正八邊形內(nèi)角和為，則，所以，，，因?yàn)?，即所以解得所以．設(shè)，則，則，令，則，移動(dòng)直線，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)到過線段時(shí)，取最小值，將代入，得；當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)到過線段時(shí)，取最大值，點(diǎn)坐標(biāo)代入，得．所以的取值范圍為．故答案為：，.【變式5】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是【答案】【分析】由題畫出圖形,設(shè)的中點(diǎn)為,則,可解得,由圖形的性質(zhì)可得點(diǎn)在邊的中點(diǎn)和頂點(diǎn)之間,則,進(jìn)而求解即可.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，則兩式平方相減得，所以（可由極化恒等式直接得出），即，所以，由對(duì)稱性可知每條邊上存在兩個(gè)點(diǎn)，所以點(diǎn)在邊的中點(diǎn)和頂點(diǎn)之間，故，解得．故答案為：.題型07兩角和與差的三角函數(shù)解題錦囊解題錦囊公式的應(yīng)用技巧：①角的變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq\f(30°,2)，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；②名的變換：明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．【典例7】（24-25高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用和角的正弦公式將展開，再用商數(shù)關(guān)系弦化切即可求解.【詳解】因?yàn)?，將式子的左右兩?cè)同時(shí)除以，可得，即.故選：D【變式1】（24-25高一下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)已知條件兩邊同時(shí)平方，再將所得式子相加，結(jié)合余弦差角公式進(jìn)行化簡計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，所以，所以，所以，?故選：D.【變式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，則A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用三角函數(shù)正切函數(shù)的和差公式計(jì)算判定BD，再運(yùn)用正切函數(shù)性質(zhì)，放縮判定AC.【詳解】，則，則，整理得到.因此.故B錯(cuò)誤，D正確.，則，.則.且.解得.同理得，則，因此得，則.故AC錯(cuò)誤.故選：D.【變式3】（2025·廣東·一模）已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡求值即可.【詳解】由于，那么，，則，故選：C．【變式4】（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本關(guān)系式求出，利用，結(jié)合和差角公式可解.【詳解】由，則，又，，而.故選：D.【變式5】（24-25高一上·陜西西安·期末）已知，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】結(jié)合同角關(guān)系化簡條件可得，再根據(jù)兩角和正切公式求結(jié)論.【詳解】由，等式兩邊同乘可得．移項(xiàng)得到，故．所以．故選：.題型08二倍角公式解題錦囊解題錦囊（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．（2）若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．【典例8】（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）已知角為的一個(gè)內(nèi)角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件分析的范圍，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有?故選：A【變式1】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式，即可求解【詳解】因?yàn)椋瑒t，①又因?yàn)椋瑒t，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以．故選：．【變式2】（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用兩角和的正切公式可得：，結(jié)合的范圍，即可得解的值．【詳解】解：，，可得：，整理可得：，解得：，或，是第二象限角，，，，故．故選：A．【變式3】（24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t.故選：A.【變式4】（24-25高一下·廣西來賓·開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將平方求出，結(jié)合平方關(guān)系求出，即可求得，利用兩角和的正弦公式，即可求得答案.【詳解】已知，則，所以，聯(lián)立，結(jié)合，解得，則，故.故選：D.題型09積化和差與和差化積公式解題錦囊解題錦囊一、積化和差公式應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）功能：①把三角函數(shù)的一種形式積的形式轉(zhuǎn)化為另一種形式和差的形式；②將角度化為特殊角求值或化簡，將函數(shù)式變形以研究其性質(zhì)；（2）關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù).二、和差化積公式應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）在應(yīng)用和差化積公式時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行，若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名，若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次；（2）根據(jù)實(shí)際問題選用公式時(shí)，應(yīng)從以下幾個(gè)方面考慮：①運(yùn)用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；②運(yùn)用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項(xiàng)；（3）為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時(shí)需要把某些常數(shù)當(dāng)作三角函數(shù)值才能應(yīng)用公式，如eq\f(1,2)－cosα＝coseq\f(π,3)－cosα.【典例9】（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用積化和差公式得到，代入求值即可.【詳解】，由積化和差得，即，故，解得.故選：C【變式1】（24-25高一下·全國·課堂例題）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用積化和差可求三角函數(shù)式的值.【詳解】原式．故選：B.【變式2】．（24-25高一·江蘇·課后作業(yè)）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用兩角和與差的余弦公式得，再利用和差化積公式得，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A.【變式3】（23-24高一下·上?！ふn后作業(yè)）求值：.【答案】【分析】把前兩項(xiàng)利用和差化積變形，進(jìn)一步求解得答案．【詳解】