一、計算~(一)分數裂項.知識點：

1、裂差公式：例5：

+n〃+1

,111I

1+-----h-------H------------+,,?H-----------------------

n(n+k)knn+k1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+99+100

1111

-------------=—x(z----------------------)

n(n-i)(n+2)2n(n+\)(?+1)(?+2)

2、裂和公式：—=1+1

abba

二、例題：

I11

例1：-------1--------F**H35715

10x1111x12-----99x100---------+----------++..?+

12X2222X3232X42--------72X82

例2：-----1------F-------*4V223,501

3x66x99x12----96x99例7：----+-----+-----+??,+--------

1x33x55x799x101

例3：--------+----------+----------F???+----------------

1x2x32x3x43x4x598x99x100例:8：“！”表達一種運算符號，它的含義是2!=2義1；

??fftf23499

3!=3X2X1；計舁—4----H------F…+

3!4!5!1001

JJC1,1

例4：1—+2—+3—+4—+?,,+10---

261220110

365791113

例9：—+—+—+—H-----+—+—

57612203042

練習:

111111

]16

2481610242048

22+---2---+222

3x4x54x5x65x6x76x7x87x8x98x9x10

2、WN+2+1L+旦+上

43614440090017643136

7、比較分數大小：

⑴分數士”，士網.，當中，哪種最大？

7179124309

3、

1121314121314151

1121314151213141

⑵從小到大排列下列分數，排在第三個的是哪一種？

7559111722

T5，T2,6，TO，T8,3O,45'

4、LLLLLLL

3042567290110132

⑶若A=-J------，B=—；------------------7

2O132+2014-120132-2014x2013+20142

比較A與B的大小。

555555

--+---+----+------1-----+----

1484204374594864

(4)比較201出口一20122009與2()14^5-20112009

2012201320122013

2、1234567x123x1234568=

一、計算?(二)常用計算公式知識點：

1、等差數列：

項數=(末項-首項H公差+1

末項=首項+(項數+1)x公差3、102+112+122+---+2002=

求和=(首項+末項)X項數+2

當等差數列為奇數項時，可以用中間項定理：

和=中間項X末項

4、12+22+42+52+---+132+142+162

(1)1+3+5+???+(2/?-1)=n2

(2)1+2+3+…+〃+…+3+2+1=〃2

2、平方和公式：

12+22+32+---+/?2=-/?(H+I)(2/Z+1)

3333

61+24-3+--+2016

1+2+3+…+2016

3、立方和公式：

+2"+…+J，=(1+2+…=—n~(/?+1)~

4

4、平方公式

(1)平方差公式a2-b2=(a+h)(a-h)6、13+33+534-73+93+1134-133+153

(2)完全平方和(差)公式

(a±b)2=a2±2ah+b2

二、習題：

(22+42+.??+[002)—(12+32+.八十992)

1、l(X)2-992+982-972+---+22-l21+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1

4.n進制轉十進制：寫指、相乘、求和。例如:時持續正整數，那么（Seb所示的整數寫成十進制的

321

（1011）2=1X2+0X2+1X2+1X2°=（11）10表達是多少？

5.有關進位制

（1）本質：力進制就是逢〃進一；

⑵〃進制下為數字最大為（n-1）,超過9用大寫字母替代。

例1:⑴將（2023）10寫成二進制數

⑵把十進制數2023轉化為十六進制數；二、計數原理?（一）容斥原理：

專題簡析：

容斥問題波及到?種重要原理一一包括與排除原

理，也叫容斥原理。即當兩個計數部分有反復包括時，為

例2:把下列各數轉化成十進制數:

了不反復計數，應從它們U勺和中排除反復部分。

⑴（46%；⑵（2BA）i2；⑶（5戶Ch.

一、本濟直點知識圓廊

1.基本原城

例3:①(101)2X(1011)2-(11011)2=()2

②(11000111)2-(10103)2+(11)2=()2

1、（兩張餅）原理一：大餅二A+B-AB

③(3021%+(605匕=()10

2、（三張餅）原理二：大餅=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

④(63121),-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=）8

口訣：奇層加，偶層減。

()8

3、原則：①消重；②不消不重；

4、考點：①直接考公式；

②直接考圖形；

③鍋內餅外二所有-大餅上U勺數量；

例4：用〃，。，c,d,e分別代表五進制中五個互不

④三葉草二AB+AC+BC-ABC

相似的）數字，假如（。加），3dc）,（〃而）是由小到大排列

5、解題措施：①文氏圖法；

②方程法；練習1：學校組織體育比賽，提成輪滑、游泳和羽毛球三

③反推法；個組進行，參與輪滑比賽H勺有20人,參與游泳比賽的有

例1：一種班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文25人，參與羽毛球比賽時有30人，同步參與了輪滑和游

作業？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數學作泳比賽時有8人，同步參與了輪滑和羽毛球比賽口勺有7

業？請舉手！”有42人舉手。最終問：“誰語文、數學作人，同步參與了游泳和羽毛球比賽H勺有6人，三種比賽都

業都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數學作業參與口勺有4人，問參與體育比賽的共有多少人？

都完畢的人數。

練習2：五年級一班有46名學生參與數學、語文、文

練習1：網校老師共50人報名參與了羽毛球或乒乓球的

藝三項課外小組。其中有24人參與了數學小組，20人

訓練，其中參與羽毛球訓練日勺有30人，參與乒乓球訓練

參與了語文小組，既參與數學小組又參與語文小組口勺有

的有35人，請問：兩個項目都參與日勺有多少人？

10人.參與文藝小組的人數是既參與數學小組又參與文藝

小組人數的3.5倍，還是三項小組都參與日勺人數的J7

倍，既參與文藝小組也參與語文小組的I人數等于三項小

練習2：網校老師60人組織春游。報名去香山的有37

組都參與的人數的2倍,求參與文藝個組口勺人數？

人，報名去鳥巢時有42人，兩個地點都沒有報名的有8

人，那么只報名其中一種地點B勺有多少人？

例2：在網校50名老師中，喜歡看電影的有15人,不喜

例3：網校老師共有90人，其中有32人參與了專業培

歡唱歌H勺有25人,既喜歡看電影也喜歡唱歌的有5人。

訓，有20人參與了技能培訓，4()人參與了文化培訓，13

那么只喜歡唱歌的有多少人？

人既參與了專業乂參與了文化培訓，8人既參與了技能乂

參與了專業培訓，10人既參與了技能又參與了文化培訓，

而三個培訓都未參與的有25人，那么三個培訓都參與的只有將提成的若干個互相聯絡U勺環節，依次相繼完畢，這

有多少人？（鍋內餅外）件事才算完畢，因此用乘法原理。

例1：川數字0,1,2,3,4可以構成多少個不不小于

1000的I自然數?

練習1：在1至100口勺自然數中，既不能被2整除，又不

能被3整除，還不能被5整除的|數有多少個？

例2：由0,1,2,3,4,5構成的沒有反復數字的六位

二、計數原理?（二）加乘原理：數中，百位不是2的奇數有多少個？

1、加法原理：

做一件事，完畢它可以有n類措施，在第一類措施中

有ml種不一樣的措施，在第二類措施中有m2種不一樣日勺

例3：一種七位數，其數碼只能為1或3,且無兩個3是

措施，……，在第n類措施中有麗種不一樣的J措施，那么

鄰的。問這樣的七位數共有多少個？

完畢這件事共有N=ml+m2+m3+…+mn種不一樣措施。每一種

措施都可以直接到達目的。

2、乘法原理：做一件事，完畢它需要提成n個環節，做第

例4：在1?1。這10個自然數中，每次取出三個不一樣的

一步有ml種不一樣的措施，做第二步有m2種不一樣的I措

數，使它們艮I和是3日勺倍數有多少種不?樣日勺取法？

施,……，做第n步有mn種不一樣的措施，那么完畢這件

事共有N=mlXm2Xm3X-??Xmn種不一樣日勺措施。

3、辨別兩原理：要做一件事，完畢它若是有n類措施，是

分類問題，每一類中日勺措施都是獨立H勺，因此使用加法原三、加乘原理一一標數法、遞推法

理；做一件事，需要分n個環節，步與步之間是持續的，①標數法與遞推法都是加法原理

②按最終一步進行分類，做加法

③標數時要注意限制條件多把平面提成幾部分？

④分平面問題要確定交點個數

例1:如圖，為i幅街道圖，從《出發通過十字路口8

但不通過C走到2H勺不一樣的最短路線有多少條？

二、計數原理?(三)概率

1、隨機事件：在一次試驗中，也許出現也也許不出現，

不過具有規律性的事件。

2、概率：隨機事件也許發生的也許性的度量，一般用P

來表達，特例：必然事件：P=l;不也許事件：P=0；

例2：在下圖中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向

3、獨立事件：事件1與否發生對事件2發生口勺概率無影

右，或沿對角線的方向向右上走任意多步，但不能不

響；

走。那么走到右上角一共有多少種措施？

4、互斥事件：不也許同步發生的兩件事件；

5、對立事件：兩個互斥事件必有一種發生；

6、概率的計算：P(A)=：n表達試驗中發生所有狀況

日勺總數，m表達事件A發生日勺次數。

例：一種樓梯共有級臺階，規定每步可以邁級臺

31217、概率具有可乘性。計算概率的基礎：計數、枚舉、加

階或2級臺階，最多可以邁3級臺階，從地面到最上面乘原理、排列組合。

級臺階，一共可以有多少種不一樣勺走法？

1H例1：一副撲克牌有黑桃、紅桃、方塊、草花4種花色，

每種花色各拿出2張，目前從這8張牌中任意取出2張。

請問：這2張撲克牌花色相似的概率是多少？

例4：一種長方形把平面提成兩部分，那么10個長方形最

例2：編號分別為1?10的10個小球，放在一種袋中，從

中隨機地取出兩個小球，這兩個小球的編號不相鄰的也(2)優先滿足法：特殊位置或特殊元素；

許性是多少？(3)插空法：不能相鄰，必須隔開；先排沒有規定H勺，

再在空里插必須要分開的元素。

(4)排除法：正難則反；

2、組合：從n個不一樣元素中選出m個，不需要按次序

例3：4、B、C、D、E、尸六人抽簽推選代表，公證人一

排列，

共制作了六枚外表一模同樣日勺簽，其中只有一枚刻著

記為：Cn^Cn-l)(n-2)(n-3)....(n-m+l)/n!

“中”，六人按照字母次序先后抽取簽，抽完不放回，

可以寫成：Cn""=An7Ame1；

誰抽到“中”字，即被推選為代表，這六人被抽中的概

m-nr,

重要性質：cn=c,r；cn=i；

率分別為多少？

措施：(1)排除法：有至少、至多等狀況下用；

12)隔板法：相似物品放在不一樣位置或不一樣

的人，規定至少一種，可以用隔板法。

例1:計算

例4：一枚硬幣持續拋擲3次，至少有一次正面向上的概

另二4小件-4二

率是多少？

4履+4一6:

二、計數原理?(四)排列組合

1、排列：從n個不一樣元素中選出m個，按照一定的次

m例2：6個人走進有10輛不一樣顏色碰碰車日勺游樂場，每

序排列，記為：An=(n-l)(n-2)(n-3)....(n-m+1)

可以理解為從n開始乘，一共乘m個。輛碰碰車只能坐一種人，那么共有多少種不一樣的I坐法？

特殊規定，優先滿足：

(1)捆綁法：必須在一起;

例3：書架上有3本不一樣II勺故事書，2本不一樣的作文

選和1本漫畫書，所有豎起來排成一排。

⑴假如同類的1書可以分開，一共有多種排法？

例6：大海老師把10張不一樣的游戲卡片分給佳佳和陽

⑵假如同類11勺書不可以分開，一共有多少種排法？

陽，并且決定給佳佳8張，給陽陽2張。一共有多少種不

一樣的分法？

例4：一夫有紅、橙、黃、綠、青、藍、紫七種顏色的燈

各一盞，按照卜列條件把燈串成一串，有多少種不一樣的例7：一種小組共10名學生，其中5女生，5男生。現從

串法？中選出3名代表，其中至少有一名女生的選法？

⑴把7盞燈都串起來，其中紫燈不排在第一位，也不排

在第七位。

⑵串起其中4盞燈，紫燈不排在第一位，也不排在第四

位。

例8：一種電視臺播放一部12集的電視劇，要分5天播

完，每天至少播一集，有多少種不一樣的措施？

例5：八個司學攝影，分別求出在下列條件下各有多少種

站法？⑴八個人站成一排；

⑵八個人排成一排，某兩人必須有一人站在排頭；

⑶八個人排成一排，某兩人必須站在兩頭；

⑷八個人排成一排，某兩人不能站在兩頭。

果是偶數；偶數無論多少相加減，成果都是偶數。

奇數不也許被偶數整除；

任意個數相乘，只要有一種因數是偶數，則積一定是偶

數。

(二)質數合數：

1、質數明星：2和5；

2、100以內質數：25個；

3、除了2和5以外，其他的質數個位只能是1,3,7,9；

4、最小的四位質數：1009；

5、判斷較大數P與否為質數口勺措施：

(1)找一種比P大靠近于P平方數K2；

(2)列出所有不不小于K的質數清除P：

(三)因數定理：

1、因數個數定理：

(1)分解質因數，寫成原則式；

⑵將每個不一樣的質因數的指數+1,然后連乘，得出個

數；

2、因數和定理：

(1)分解質因數，寫成原則式；

三、數論

(2)將每個質因數依次從1加至這個質因數的J最高次累，求

(一)奇偶性

和，然后再將這些得到日勺和相乘；

奇數土奇數=偶數；偶數土偶數=偶數；奇數土偶數=奇數；

3、因數積定理：

奇數X奇數=奇數；奇數X偶數=偶數；偶數X偶數=偶數；

把因數從小到人配對相乘，奇數個因數M,最中間日勺因數

奇數個奇數相加減，成果是奇數；偶數個奇數相加減，成

直接相乘。

寫作[A,B]o則AxB=最大公因數x最小公倍數

（四）整除

（六）余數

（一）末位系：2、5、8,5、25、125的特性

（一）帝余除法被除數+除數二商.....余數，表到達：

1、末位是偶數，能被2整除；末位是0、5,能被5整

A”=C../"=°'T蹩除余數要不不小于除數，假如

除；[〃工0,3為余數

2、末2位能被4或者25整除，這個數就能被整除；不小于除數，則再除以除數取余。

3、末3位能被8或者125整除，這個數就能被整除；計算公式：（1）被除數二商義除數+余數

（二）求和系：3、9、99的特性（2）被除數-余數二商X除數

1、數字和能被3或者9整除，這個數就能被3或者9整（3）（被除數-余數）:商二除數

除；（二）余數三寶（余數定理）：三大性質

2、把多位數，從個位開始，2位一段，各段數時和能被余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的積等于積口勺

99整除，這個數就能被99整除。余。

（三）求差系：7、11、13特性（三）余數兩招：加同和，減同差

1、（合用于數字位數在三位以上）一種多位數的末三位數同一種數分別除以兩個數a和p,所得H勺余數分別為b和

與末三位此前的數字所構成的數之差，假如能被7或11或q,假如aib=piq,則加同和，這個數為api（a/）；假如a

13整除,這個多位數就一定能對應被7或11或13整除.b=p-q,則為減同差，這個數為ap-（a-b）。

2、一種多位數由右邊向左邊數,將奇位上的數字與偶位上（四）棄九法

的數字分別加起來,再求它們的差,假如這個差是11的倍數abed=1OOdz+10（￥?+1Or+d=999a+99力+9c+（a+Z?+c+4）

（包括0）,那么，本來這個數就一定能被11整除.因此這個數能否被9整除只取決于數字和與否能被9整

（四）拆分系：將數分解質因數，看除數與否在因數的組合除，能被9整除的部分不用看，棄掉，因此稱為棄9法。

中。

（七）完全平方數

性質1：完全平方數的末位數字只能是0,1,4,5,6,9.

（五）最大公因數，最小公倍數

性質2:完仝平方數除以5只能余0、I、4.

假設數A和數BH勺最大公因數，寫作（A,B）；最小公倍數

完全平方數除以3只能余0、1.

完全平方數除以4只能余0、1.得到相似的余數，求這個數.

性質3:⑵用61和90分別除以某一種數，除完后發現兩次除法

⑴偶指性一分解質因數后每個質因數H勺指數都是偶數；都除不盡，并且前一次所得H勺余數是后一次的2倍.假

⑵完全平方數的因數一定有奇數個，反之亦然.尤其如這個數不小于1，那么這個數是多少？

地，因數個數為3H勺自然數是質數的平方；

1、用一種數除200余5,除300余1,除400余10,這個

數是多少？

7、一種數與270的積是完全平方數，那么這個數最小

是.

2、從0?9這十個數字中，選出九個數字，構成一種兩位

數、一種三位數和一種四位數，使這三個數的和等于

2023,那么其中未被選中的數字是誰？(棄九法)

8、三個數p,p+1,p+3都是質數，它們日勺倒數和的倒數是

多少？

3、一種四位數是這個數的數字和的83倍，求這個四位數

、用構成若干個質數，規定每個數字恰

4、(1)220除以7H勺余數是多少？90,1,234,5,6,7,8,9

好使用一次，請問，這些質數和的最小值是多少？

(2)1414除以11的J余數是多少？

5、算式1X4X7X10X……X2023日勺計算成果除以9的

余數是多少？10、已知兩個自然數的JH勺差為4,它們的最大公因數和最

小公倍數日勺積為252,求這兩個自然數。

6、(1)有一種不小于1H勺整數，用它除300、262、205

11、已知三個合數A、B、C兩兩互質，且

AxBxC=1001x28xll,那么A+B+C的I最小值是多少?2、有100枚硬幣，甲乙兩人輪番取，每次取「8枚，規

定取到最終一枚的人獲勝.請問：甲先取，誰有必勝方略？

12、已知a、b、c、d、e這5個質數互不相似，并且符合

3、有1C箱鋼珠，每個鋼珠重10克，每箱600個.假如

下面算式：（a+tO（c+d）e=2890,那么，這5個數中最大時

這10箱鋼珠中有1箱次品，次品鋼珠每個重9克，那么，

數至多是誰？

要找出這箱次品至少要稱幾次？

13、2023個持續自然數的）和為axbxcxd,期中a、b、c、d

均為質數，則的最小值為多少？

a+b+c+d四、平面幾何

（一）三角形

三角形H勺邊：

①三角形任意兩邊之和不小于第三邊.

14、有一列數，第1個數是1,從第2個冠，每個數比它

②三角形任意兩邊之差不不小于第三邊.

前面相鄰附加3,最終一種數是100,將這列數相乘，則在

按邊分類：等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形

計算成果的末尾中有多少個持續H勺“0”？

邊和角的關系在同一種三角形中，等邊對等角

例1：如圖：ZA+ZB+ZC+Z

D+/E+NF+ZG+NH+NI=

游戲對策問題：

1、桌子上放著55根火柴，甲、乙二人輪番每次取走1?3

根，規定誕取走最終一根火柴誰獲勝.假如雙方都采用

最佳措施，甲先取，那么誰將獲勝？

都是135°,已知JAB=EF,BC=20,DE=10,FG=

ED

30,則AH=

DE

二、等積變形

BG

金字塔模型沙漏模型

ADAEDEAF

ABACBCAG'

（五）蝴蝶模型

（二）共角模型（鳥頭模型）1、任意四邊形蝴蝶模型2、梯形蝴蝶模型

⑵八

m個三舄給高布孑，面例比￥于它們的底之比

兩個三點冊底相等，曲枳比等?于它的立高之比

S即$*SDiCl）

IKtt

…；m,=(IftXIDX/IA)

②AO:OC=(S+S2):⑸+S3)

（三）燕尾模型

梯形；①$6=1：。

②’:邑：S?:S$=/：//：ab:ab；

③梯形S日勺對應份數為（a+〃）2

（六）勾股定理

S^ABG'.S"GC=S^BGE'.SRX=BE:EC

S」Gi:54GC=S」GF：SuGc=a尸:FC直角三角形中，兩個直角邊的平方和等于斜邊H勺平方.

SjGC：S=BCG=S^IDG：S^DGB^AD：DB

如右圖：a、b分別代表直角三角形ABC的兩條直角邊H勺

（四）相似模型

長度，C為斜邊的長度，則：a2+b2=c2

例1：如圖，BD長12厘米，DC長4

厘米，B、C和D在同一條直線上。①

求三角形ABCH勺面積是三角形ADC面BD

積的多少倍？②求三角形ABDH勺面積是三角形ADC面積的

多少倍?

例6：如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC,連結

例2：如圖，三角形ABC%I面積是40,I）、E和F分別是BE、AE、CF、BF那么與AABC

AC、BC和AD的中點。求：三角形DEFI總面積。等積的三角形一共有哪兒種三

角形？

例3：如圖，在梯形ABCD中，共

例7:如圖，ABCD為平行四邊形,EF平行AC,假如4ADE日勺

有八個三角形，其中面積相等的

面積為4平方厘米。求三角形CDF曰勺面積。

三角形共有哪兒對？

例4:如圖，在三角形ABC中，BC=8厘米，高是6厘米,EF例8：在梯形ABCD中，0E平行于AD。假如三角形A0B時

分別為AB和AC的中點，那么面積是7平方厘米，則三角形DEC日勺面積是平方厘米

三角形EBFU勺面積是多少平方

厘米?