2017-2018學年黑龍江省哈爾濱高二（上）期末數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1．（5分）下列選項敘述錯誤的是（）A．命題“若x≠l，則x2﹣3x+2≠0”的逆否命題是“若x2﹣3x+2=0，則x=1”B．若p∨q為真命題，則p，q均為真命題C．若命題p：?x∈R，x2+x+1≠0，則?p：?x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件2．（5分）口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黒球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l⊥α B．若l⊥α，α∥β，m?β，則l⊥mC．若l∥m，m?α，則l∥α D．若l⊥α，α⊥β，m?β，則l∥m4．（5分）有四個游戲盤，將它們水平放穩后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是（）A． B． C． D．5．（5分）執行如圖所示的程序框圖，若輸出的值S=16，則輸入自然數n的最小值應等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為01，02…33的33個球組成，某彩民利用下面的隨機數表選取6組數作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數表（如下）第1行的第5列數字開始由左向右依次選取兩個數字，則選出來的第6個紅色球的編號為（）49544354821737932378873520964384173491645724550688770474476721763350258392120676A．23 B．20 C．06 D．177．（5分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）為了從甲乙兩人中選一人參加數學競賽，老師將二人最近6次數學測試的分數進行統計，甲乙兩人的平均成績分別是、，則下列說法正確的是（）A．＞，乙比甲成績穩定，應選乙參加比賽B．＞，甲比乙成績穩定，應選甲參加比賽C．＜，甲比乙成績穩定，應選甲參加比賽D．＜，乙比甲成績穩定，應選乙參加比賽9．（5分）如圖，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A． B． C． D．10．（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．（5分）三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，則三棱錐P﹣ABC的體積的最大值為（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分別是雙曲線﹣=1的左、右焦點，A是其右頂點，過F2作x軸的垂線與雙曲線的一個交點為P，G是△PF1F2的重心，若?=0，則雙曲線的離心率是（）A．2 B． C．3 D．二、填空題13．（3分）某校選修“營養與衛生”課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現用分層抽樣的方法從這70名學生中抽取一個樣本，已知在高二年級的學生中抽取了8名，則在該校高一年級的學生中應抽取的人數為．14．（3分）雙曲線的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，則mn的值為．15．（3分）若雙曲線x2﹣=1（b＞0）的一條漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1至多有一個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一點P到△ABC三個頂點的距離是14，那么點P到平面ABC的距離是：．三、解答題17．某公司的管理者通過公司近年來科研費用支出x（百萬元）與公司所獲得利潤y（百萬元）的散點圖發現，y與x之間具有線性相關關系，具體數據如表所示：年份20102011201220132014科研費用x（百萬元）1.61.71.81.92.0公司所獲利潤y（百萬元）11.522.53（1）求y關于x的回歸直線方程；（2）若該公司的科研投入從2011年開始連續10年每一年都比上一年增加10萬元，預測2017年該公司可獲得的利潤約為多少萬元？（注：線性回歸直線方程系數公式==，=．）18．某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中x的值；（2）求月平均用電量的眾數和中位數；（3）在月平均用電量為，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取多少戶？19．如圖，三棱錐P﹣ABC中，PC，AC，BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分別是AB，AC，AP的中點．（1）證明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為（φ參數），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線kl的極坐標方程為cosθ）=3．（1）求C的極坐標方程；（2）射線OM：θ=θ1（θ＜θ1）與圓C的交點為O，P，與直線Ll的交點為Q，求|OP|?|OQ|的范圍．21．如圖所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求證：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D與BB1所成角的余弦值為，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知橢圓C的中心在原點，焦點F在x軸上，離心率，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若斜率為k（k≠0）的直線n交橢圓C與A、B兩點，且kOA、k、kOB成等差數列，點M（1，1），求S△ABM的最大值．

2017-2018學年黑龍江省哈爾濱高二（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1．（5分）下列選項敘述錯誤的是（）A．命題“若x≠l，則x2﹣3x+2≠0”的逆否命題是“若x2﹣3x+2=0，則x=1”B．若p∨q為真命題，則p，q均為真命題C．若命題p：?x∈R，x2+x+1≠0，則?p：?x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件【解答】解：A原命題為“若p則q，“，則它的逆否命題為“若﹣p則﹣q“．故正確；B當p，q中至少有一個為真命題時，則p∨q為真命題．故錯誤．C正確．D由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2顯然x＞2?x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要條件，故正確．故選B2．（5分）口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黒球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，在口袋中摸球，摸到紅球，摸到黑球，摸到白球這三個事件是互斥的摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故選C．3．（5分）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l⊥α B．若l⊥α，α∥β，m?β，則l⊥mC．若l∥m，m?α，則l∥α D．若l⊥α，α⊥β，m?β，則l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則當m與n相交時，l⊥α，故A錯誤；若l⊥α，α∥β，m?β，則l⊥β，所以l⊥m，故B正確；若l∥m，m?α，則l∥α或l?α，故C錯誤；若l⊥α，α⊥β，m?β，則l與m相交、平行或異面，故D錯誤．故選：B．4．（5分）有四個游戲盤，將它們水平放穩后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是（）A． B． C． D．【解答】解：要使中獎率增加，則對應的面積最大即可，則根據幾何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，則概率最大的為，故選：A．5．（5分）執行如圖所示的程序框圖，若輸出的值S=16，則輸入自然數n的最小值應等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由程序框圖知：第一次循環S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循環S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循環S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循環S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵輸出的值S=16，∴跳出循環的i值為10，∴判斷框的條件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然數n的最小值為9．故選：C．6．（5分）福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為01，02…33的33個球組成，某彩民利用下面的隨機數表選取6組數作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數表（如下）第1行的第5列數字開始由左向右依次選取兩個數字，則選出來的第6個紅色球的編號為（）49544354821737932378873520964384173491645724550688770474476721763350258392120676A．23 B．20 C．06 D．17【解答】解：根據隨機數的定義，1行的第5列數字開始由左向右依次選取兩個數字43開始，依次為17，23，20，17，24，06，則第6個紅色球的編號為06，故選：C．7．（5分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周長為4，∵△AF1B的周長=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵離心率為，∴，c=1，∴b==，∴橢圓C的方程為+=1．故選：A．8．（5分）為了從甲乙兩人中選一人參加數學競賽，老師將二人最近6次數學測試的分數進行統計，甲乙兩人的平均成績分別是、，則下列說法正確的是（）A．＞，乙比甲成績穩定，應選乙參加比賽B．＞，甲比乙成績穩定，應選甲參加比賽C．＜，甲比乙成績穩定，應選甲參加比賽D．＜，乙比甲成績穩定，應選乙參加比賽【解答】解：由莖葉圖知，甲的平均數是=82，乙的平均數是=87∴乙的平均數大于甲的平均數，從莖葉圖可以看出乙的成績比較穩定，故選D．9．（5分）如圖，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：取BC的中點D，連接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1與AF1所成角設BC=CA=CC1=2，則AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故選A10．（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：這個幾何體由半個圓錐與一個四棱錐組合而成，半個圓錐的體積為××π×1×=；四棱錐的體積為×2×2×=；故這個幾何體的體積V=；故選D．11．（5分）三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，則三棱錐P﹣ABC的體積的最大值為（）A．4 B．3 C．4 D．3【解答】解：根據題意：半徑為2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC為截面為大圓上三角形，設圓形為O，AB的中點為N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱錐P﹣ABC的體積的最大值時，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱錐P﹣ABC的體積的最大值為×（2）2×=3，故選：B12．（5分）F1，F2分別是雙曲線﹣=1的左、右焦點，A是其右頂點，過F2作x軸的垂線與雙曲線的一個交點為P，G是△PF1F2的重心，若?=0，則雙曲線的離心率是（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：由題意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入雙曲線方程可得y=±，故一個交點為P（c，），由三角形的重心坐標公式可得G（，）．若?=0，則GA⊥F1F2，∴G、A的橫坐標相同，∴=a，∴=3，故選：C．二、填空題13．（3分）某校選修“營養與衛生”課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現用分層抽樣的方法從這70名學生中抽取一個樣本，已知在高二年級的學生中抽取了8名，則在該校高一年級的學生中應抽取的人數為6．【解答】解：∵高一年級有30名，高二年級有40名，∴高一年級的學生中應抽取的人數為x，則滿足，即x=6．故答案為：6．14．（3分）雙曲線的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，則mn的值為．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點為（1，0），則雙曲線的焦距為2，而雙曲線的離心率為2，則a=，則有解得m=，n=∴mn=故答案為：．15．（3分）若雙曲線x2﹣=1（b＞0）的一條漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1至多有一個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是（1，2]．【解答】解：圓x2+（y﹣2）2=1的圓心（0，2），半徑r=1．∵雙曲線x2﹣=1（b＞0）的一條漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1至多有一個交點，∴≥1，化為b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，2]．故答案為：（1，2]．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一點P到△ABC三個頂點的距離是14，那么點P到平面ABC的距離是：7．【解答】解析：記P在平面ABC上的射影為O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圓的半徑），記為R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案為：7．三、解答題17．某公司的管理者通過公司近年來科研費用支出x（百萬元）與公司所獲得利潤y（百萬元）的散點圖發現，y與x之間具有線性相關關系，具體數據如表所示：年份20102011201220132014科研費用x（百萬元）1.61.71.81.92.0公司所獲利潤y（百萬元）11.522.53（1）求y關于x的回歸直線方程；（2）若該公司的科研投入從2011年開始連續10年每一年都比上一年增加10萬元，預測2017年該公司可獲得的利潤約為多少萬元？（注：線性回歸直線方程系數公式==，=．）【解答】解：（1）根據表中數據，計算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，xiyi=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回歸直線方程為=5x﹣7；（2）由題可知到2017年時科研投入為x=2.3（百萬元），故可預測該公司所獲得的利潤為=5×2.3﹣7=4.5（百萬元）；答：可預測2017年該公司獲得的利潤為450萬元．18．某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中x的值；（2）求月平均用電量的眾數和中位數；（3）在月平均用電量為，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取多少戶？【解答】解：（1）由直方圖的性質可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方圖中x的值為0.0075；（2）月平均用電量的眾數是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用電量的中位數在[220，240）內，設中位數為a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用電量的中位數為224；（3）月平均用電量為[220，240）的用戶有0.0125×20×100=25，月平均用電量為[240，260）的用戶有0.0075×20×100=15，月平均用電量為[260，280）的用戶有0.005×20×100=10，月平均用電量為[280，300）的用戶有0.0025×20×100=5，∴抽取比例為=，∴月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取25×=5戶．19．如圖，三棱錐P﹣ABC中，PC，AC，BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分別是AB，AC，AP的中點．（1）證明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）證明：∵E，F，G分別是AB，AC，AP的中點，∴EF∥BC，又BC?平面PBC，EF?平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF?平面GEF，GF?平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C為坐標原點，以CA，CB，CP為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：則P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），設平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），則，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．設PF與面PAB所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF與面PAB所成角的正弦值為．20．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為（φ參數），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線kl的極坐標方程為cosθ）=3．（1）求C的極坐標方程；（2）射線OM：θ=θ1（θ＜θ1）與圓C的交點為O，P，與直線Ll的交點為Q，求|OP|?|OQ|的范圍．【解答】（1）圓C的參數方程為（φ參數），轉化為圓C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圓C的極坐標方程是：ρ=2cosθ．（2）設P（ρ1，θ1），則有，設Q（ρ2，θ2），且直線l的方程是cosθ）=3．則有，所以|OP||OQ|=ρ1?ρ2==，由于：，則：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．21．如圖所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC