2023屆北京市朝陽區高三上學期數學期末試題

一、單選題

1.已知全集。={上>0},集合A={x[l<x<2},則44=()

A.(fl]52,w)B.(0,l]U[2,+oo)

C.(f1)52收)D.(0」)U(2,M)

【答案】B

【分析】由補集的定義即可求解.

【詳解】因為全集。={41>0},集合A={M1<XV2},

由補集的運算可得①A={X0<xW1或2},

對應區間為(0JU[2,+oo).

故選：B.

2.在復平面內，復數(l+i)S-i)對應的點在第三象限，則實數。的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.(fl)C.(-1收)D.(l,+a))

【答案】A

【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部與虛部均小于0聯立不等式組求解.

【詳解】(l+i)(a-i)=(a+l)+(a-l)i在復平面內Xj應的點在第三象限，

。+1<0

即a<-\.

實數。的取值范圍是(F,T).

故選:A.

3.函數的零點的個數為()

c—2,x>()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分別求出xWO和x>0時，/(力的零點個數即可得出答案.

【詳解】當xWO時，令/(力二丁+2工一3=0,

則(x—l)(x+3)=0,解得：x=i(舍去)或廣―3,

當x>（）H寸，令爐一2-0，解得：x=ln2,

所以/（"的零點個數為2.

故選：C.

4.已如雙曲線的一條漸近線的傾斜角為60。，則雙曲線的離心率為（）

A.好B.友C.萬D.2

23

【答案】D

【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率，即2=6,從而求出離心率.

a

【詳解】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率2=tan6（）o=G,

a

所以雙曲線周心率e=—=J1+與=J1+3-2.

故選：D

5.在48C中，“疝24=疝2獷'是“"（？為等腰三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據sin2A=sin28得到A=8或A+5=],充分性不成立，必要性可舉出反例，從而得到

結論.

【詳解】sin2A=sin2B,則2A=28或2A+28=>,

故A=8或4+3=1，

故48C為等腰三角形或直角三角形，

（.ABC為等腰三角形，不一定推出sin2A=sin2B,

比如8=C=70。，此時不能得到sin2A=sin2B,

故"sin2A=sin2G”是“ABC為等腰三角形”的既不充分也不必要條件.

故選：D

6.過直線），=履-2上任意一點，總存在直線與圓f+y2=]相切，則出的最大值為（）

A.GB.&C,1D.且

3

【答案】A

【分析】根據題意，設尸為直線），=依-2上任意一點，判斷點尸與圓的位置關系以及直線與圓的位

置關系，根據直線與圓的位置關系，即可求得我的最大值.

【詳解】設P為直線丁=履-2上任意一點

因為過直線y=fcx-2上任意一點，總存在直線與圓x2+/=l相切

所以點夕在圓外或圓上,

即直線y=履-2與圓f+丁=?相離或相切，

則頁即&2+1”，解得丘［-

故A的最大值為

故選:A.

7.已知函數/(x)=sin(8+e),>0,l8l<gj,若g")?/(X)=1,且函數g(x)的部分圖象如圖所示，則

。等于()

【答案】B

佃二1

【分析】結合圖象即可得到進而求得,結合正弦型函數的性質可求得周

期和。，從而求得答案.

【詳解】由圖可知，函數g(x)過點6」)和點停-1

又因為ga）/a）=i,所以

結合正弦型函數的性質可知，，解得了二兀,

263

2n

所以時=兀，解得。=±2,因為。＞0,所以。=2

所以f(x)=sin(2x+*),所以sin(2xg+0)=1,

J

即？+0=?+2E,kwZ

解得eT+2E,keZ

6

因為Iskg,所以9=一^

2O

故選:B.

8.2022年10月31H,長征五號B遙四運載火箭帶著中華美族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將

中國空間站夢天實驗艙準確送入預定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度-（單位:

km/s）和燃料的質量M（單位：t）、火箭（除燃料外）的質量加單位:t）的關系滿足u=20001n1+一,

1m；

M,，〃，u之間的關系如圖所示，則下列結論正確的是（）

B.當知=2,m<600時?，v<7.9

C.當M>5,/〃=800時，v>ll.2D.當M>3,〃0600時，v>ll.2

【答案】C

（M\

【分析】由題及圖象關系可知，在u=20001n1+一中，當用一定時，用越大，貝心越大,

inJ

當用一定時，川越小，則口越大，代入對應的逐項判斷選項即可得到答案.

【詳解】由題及圖象關系可知，在y=20001n(l+*)中，當〃?一定時，例越大，貝N越大,

當M一定時，加越小,則】，越大,

?803、

對于A,當"=3,〃?=800時，v=20001n(1+—|=2000In之7.49,故A錯誤.

(800J<800；

「602、

對于B,當M=2,，〃<600時，v>2000ln[1+—|=20001n?6.66,故B錯誤.

I600J

v>20001n^l+^J=20(X)ln|，805]

對于C,當M>5,m=800時,<806j?12.46>11.2,故C正確

對于D,因為M>3,〃?>600,令M=4,〃?=1000,

4A(10041

v=20()0In1+——=2000In?7.98<11.2,

IOOOJuoooj

故選：C.

9.已知A,&。是單位圓上不同的三點，AB=AC,則沖?混的最小值為()

A.0B.—C.—D.—I

42

【答案】C

【分析】畫出圖形，設出A(Q1),B(cosa,sina),C(-cosdZ,sina),。｛[(),2兀)，表達出

inniimi/IA21

AC=2sin%-2sina=2卜ina-gj--,結合ae[0r,2?:)的范圍求出最小值.

【詳解】如圖所示：不妨令4(04)，設5(cos%sina),?G[0,2TI),

由于A3=AC,所以。(一85&?11￡),

muHUM、、

則Ab-AC=(cosa,sincr-i)(-cosa,sin?-!)=-cos2a+(sina-1)

=2sin2a-2sina=2sine————?

I2j2

因為aw[0,2;i),所以當sina=；時，聯.混取得最小值，最小值為-

故選：C

10.在數列｛〃“｝中，6=la+i=S；+l(〃￡N.),若存在常數C,對任意的"eW,都有成立,

則正數左的最大值為()

A.—B.-C.-D.；

5432

【答案】B

【分析】由4.1=3+1(〃€2)可得-—凡21-1,可得凡之1+(〃-用極限思想和數學

4kI4k/

歸納法的思想分析計算即可得到正數人的最大值.

【詳解】因為4.1=kz；+l(，?cN?),&>0,

所以q+1一4

""(nkn4k2

所以%=《+￡(—-q“)zi+(〃T)1一：，〃之2,

/w=iQK/

由于4=1滿足上式，故外之1+(〃一1)(1一2｝

1fIA

當左>:時，有”趨近于+8時，(H-1)1—趨近于+<?

4I4k)

此時4沒有最大值，故不滿足題意，舍去;

所以AY1

當人安時，可證對任意的〃eN,都有％」

由題知，若存在常數。，對任意的〃wN*,都有%<c成立，則c>l,

以下進行證明：存在常數c=2,對任意的〃cN',都有q<2成立.

當〃=1時，q=1<2,結論成立

假設〃=m(m>1)時結論成立，即1<%<2

則1-4+1=立J1<11：X2?=2,

則存在常數c=2,對任意的都的為＜2成立

故正數人的最大值為g.

4

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題考杳數列的遞推關系和數列中參數最大值的求解，屬于難題，解題的關鍵

是要把遞推關系進行轉化求解，結合數列中的極限思想和數學歸納法的思想進而求解問題.

二、填空題

II.(21+工丫展開式的常數項是__________.(用數字作答)

IX)

【答案】24

【分析】寫出展開式通項公式，確定常數項的項數后可得.

【詳解】=C：24fx4-2、4-2r=0,r=2,

常數項為(=C：X22=24.

故答案為：24.

12.若函數y=cos%-sinx在區間10,0上是嚴格減函數，則實數〃的最大值為

【答案】

【分析】化簡y=cosx—sinx得至ljy=夜cos(x+f］,結合y=cosx的單調遞減區間得到。+￡?江,

I4J4

即可求出結果.

［詳解］因為N=cosx-sinx=&cos(x+?),

又因為在區間10,0上是嚴格減函數，

且y=8Sx的單調遞減區間為［2*乃,乃+2女司仕eZ),

所以。+￡?乃，即。4芬，所以實數。的最大值為尋，

444

故答案為：—.

4

13.如圖，在棱長為。的正方體48CO-AqCQ中，P,。分別為AC”Ag的中點，點了在正方體

的表面上運動，滿足

給出卜列四個結論：

①點/可以是梭OR的中點;

②線段長度的最小值為

③點r的軌跡是矩形；

④點7的軌跡圍成的多邊形的面積為.

其中所有正確結論的序號是

【答案】②③④

【分析】以c點為坐標原點建立空間直角坐標系，令正方體ABC。-A4G。棱長。=2可簡化計算,

得到對應點和向量的坐標，通過空間向量數量積的運算即可判斷對應的垂直關系，通過計算和幾何

關系得點了的軌跡為四邊形EFGH,通過證明得到則點7.的軌跡為矩形EFGH,即可求解點7的軌跡

圍成的多邊形的面枳和線段PT長度的最小值，從而得到答案.

【詳解】由題知，以C點為坐標原點，以CDC&CC；所在直線分別為K)，,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，令正方體ABC。-4瓦G2棱長〃=2

則C(0.0,0),D(2,0,0),3(020),A(2,2,0),q(0,0,2),A(2,0,2),

(0,2,2),A(2,2,2),0(1,2,2),設7(x,y,z),

對于①，當點了為棱。。的中點時，丁(2.0.1).

則P7=(l,—l,0),8Q=(l,0,2),P"8Q=l+0+0=l/0

不滿足尸丁_L8Q,所以點7不是棱。，的中點，故①錯誤.

PT=(x-l,y-l,z-l),因為PT_LBQ

所以x—l+2(z—l)=0,

當X=U時，z=g,當x=2時，z=!

22

取E(2,0,g}/(二2,；}G(0,2,1),W^O,O,|j,

連結跖，FG,GH,HE,

則"="G=(0,2,0),EH=FG=(-2,4,l),EFEH=O,即痔

所以四邊形EFG”為矩形，

因為EFBQ=O,EHBQ=U,

所以EFJ.BQ,EHJ.BQ,

乂EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，

所以6Q_L平面EFG”，

所以。為EG的中點.則"<=立面

為使「丁_L8。，必有點TG平面EFGH,

又點丁在正方體表面上運動，所以點7的軌跡為四邊形EFGH,

又EF=GH=2,EH=FG=4,

所以EFrEH,則點7的軌跡為矩形EFGH,故③正確

面積為2、6=26，即或故④正確

2

又因為8Q=(l,0,2),PT=(x-l,y-l,z-l),PTA.BQ,

則x-l+2(z-1)=0,即x+2z-3=0,

所以x=3-2z,點/在正方體表面運動，

13

則0W3-2z42,解得二Wz妥，

22

所以|P7|=7(x-l)2+(y-l)2-?.(z-l)2=75(z-l)2+(y-l)2，

結合點7的軌跡為矩形EFGH,

分類討論下列兩種可能取得最小值的情況

當z=l,)，=0或丁=2時，|叼=1,

當y=l,z=/或z=T時，|PT|=當

因為17亞，所以當Z-1,3一0或y-2時，/7取得最小值為1,即L，故②正確.

22

綜上所述；正確結論的序號是②③④

故答案為：②③④.

【點睛】本題以正方體為載體，考查空間向量在立體幾何中的綜合運用和空間幾何關系的證明，屬

于難題，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，設極長為數值可簡化運算，通過空間向量即可證明和

求解對應項.

三、雙空題

14.已知等差數列｛《｝的公差（/工0,6=4,且44嗎成等比數列，則為=；其前〃項和

S”的最大值為.

【答案】5-〃10

【分析】由《馮⑼成等比數列列式求出公差,則通項公式可求;寫出等差數列的前〃項和，由二次函數

的對稱性求得S.取得最大值.

【詳解】由4嗎，4成等比數列，得（4+2d）2=q（4+3d），解得d=-%d=-l.

則%=a1+-l）d=4_-1）=5-；

?:（?-1）,2（,?-l）x（-I）n29

S=na.+---------d=4〃+------------------=------+-n

n2222

對稱軸方程為〃=4.5,

i2a

???〃€N=5=4或5時，S“取最大值，最大值為S4=S'=—萬+/4=10.

故答案為：5-n,10

15.拋物線C:y=f的準線/的方程為.若點尸是拋物線。上的動點，/與），軸交于點A,

則/。4尸（。是坐標原點）的最大值為.

【答案】y=~；7

44

【分析】由定義直接求準線方程；由導數法求出拋物線過點A的切線方程，即可求得切線傾斜角,

此時NOAP取最大值.

【詳解】拋物線C：y=V即C：Y=y的準線/的方程為）,=一；；

/與1y軸交于點人，則有A（0,-q），則當4尸與拋物線相切時NQ4Q最大，

設切點為（。,〃），y'=2x,，切線方程為丁-/=2〃（1-〃），切線過點4,則-；-/=2a（0-。），

解得"土提

工切線斜率為2。=±1,即傾斜角為；或半，故NQ4P的最大值為;.

444

故答案為：y=~~：?

44

四、解答題

16.在s/WC中，csinB->/3/>cosC.

⑴求NC：

⑵若〃+方=6,求。的最小值.

【答案】（1）。=1;

（2）3.

【分析】（1）由正弦定理可得sinCsinB=V5sin/3cosC,從而得tanC=G，即可得。=1;

（2）由余弦定理可得/=36-3",再由基本不等式即可求得「的最小值.

【詳解】（1）解：因為csin8=>/J〃cosC,

所以sinCsinB=百sin8cosc,

又因為sin8工0,

所以sinC=GcosC,

即有tanC=>/3,

又因為CG(O,TO,

所以c=§;

(2)解：因為C=1,a+〃=6,

所以/=/J+/-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=36-3ab>36-3x(~~)2=9,

當a=〃=3時，等號成立，

所以cN3,

故c的最小值為：3.

17.跳長繩是中國歷史悠久的運動，某中學高三年級舉行跳長繩比賽（該校高三年級共4個班），規

定每班22人參加，其中2人搖繩，20人跳繩，在2分鐘內跳繩個數超過120個的班級可獲得優勝

獎，跳繩個數最多的班級將獲得冠軍，為預測獲得優勝獎的班級個數及冠軍得主，收集了高三年級

各班訓練時在2分鐘內的跳繩個數，并整理得到如下數據（單位：個）：

高三（1）班:142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三(2)班：137,126,116,108；

高三（3）班:163,134,112,103；

高三（4）班:158,132,130,127,110,106.

假設用頻率估計概率，且高三年級各班在2分鐘內的跳繩個數相互獨立.

（1）估計高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優勝獎的概率；

（2）用X表示此次跳長繩比賽中獲得優勝獎的班級個數，估計X的數學期望EX；

（3）在此次跳長繩比賽中，哪個班獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）

【答案】⑴g

（2）?

（3）高三（3）班

【分析】（1）用古典概型概率“算公式即可求解.

（2）分別記三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳長繩比賽中獲得優勝獎

II1O

為事件A、B、C、，則P（A）=JP（8）=5、P（C）=-,P（D）=-,由題意得X的取值為0,1,23%

乙乙乙J

分別計算出對應概率即可求解數學期望

（3）高三（3）班：163,134,112,103的數據中163為最大數據且134為較大數據即可判斷.

【詳解】（I）記高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優勝獎為事件A.

由題知高三（I）班在2分鐘內的跳繩個數超過120個的有5次，用頻率估計概率，估計高三（1）

班在此次跳長繩比賽中獲得優勝獎的概率為P（A）=得=g

（2）分別記高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳長繩比賽中獲得優勝獎為事件A、C、

。，

I17

則。（8）=5、P（C）=5、P（D）=w，

乙乙D

由題意得X的取值為0,12,3,4

所以P（X=O）=P（板歷）=「（可尸（w?p（0

尸（X=1）=P[ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）

II111I1II11111I25

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=——

222322232223222324

p（x=2）=p（ABCD+Alien4-AiiCD+ABCD+A8CD+ABCD）

-P[ABCD）IP（ABCD）IP（ABCD）IP（ABCD）IP（ABCD^iP（ABCD）

111111111112

=-X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—

222322232223

1111111211123

+—X—X—x—+—X—X—X—+—X—X—X—=—

2223222322238

X=3）=P（ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P（ABCD）+P（AI3CD）+P（AKD）+P（ABCD]

11111112111211127

=XXX|XXX|XXX|XXX=

222322232223222324

P（X=4）=P（A8C0=P（4）P（B）P（C）P（0=；X：X：X￡=A

乙乙乙JIN

則X的分布列如下表

X01234

1571

P3

2424824Y2

所以￡口）=0乂-!-+1乂工+2乂3+3乂工+4乂-!-13

V7242482412

(3)在此次跳長繩比賽中，高三(3)班獲得冠軍的概率估計值最大

18.如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面A8CO為正方形，平面1。_1平面488,45=4,"=。，

E,〃分別為BC,PD的中點.

⑴求證：EPP平面Q43；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角廠-座-A的余弦值.

條件①：PD±EF；

2

條件②：PD=-EF.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第-個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

（2）辭，詳情見解析

【分析】（1）設小中點為G,連接GRC",由三角形中位線性質可得G產〃AD,且G尸=24。從而

可得四邊形8瓦G為平行四邊形，再由G3即可證得QP平面叫B：

⑵按照條件①、條件②的不同，分別作出圖形和輔助線，利用已知條件求出PH的長，以及證得尸”_L

平面A8CO,再建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角/-8E-A的余弦值.

【評解】（1）如圖（1）,設小中點為G,連接GRGB,

底面48CQ為正方形，E,尸分別為8C,P。的中點.

:.GF〃AD,且G/n,AQ,而又8石〃AO,BE=-AD,

22

??.G且=，，四邊形2EFG為平行四邊形，

?.EFGB,又"二平面AW,GAu平面RA4,

「?"P平面E4&

(1)

（2）選條件①：連結過尸作P，_LAO交于點〃，又因為小=也＞,所以點H也是AO中點,

連結

PD±EF,"為尸。的中點，則莊=。￡,又,,底面A8CO為正方形，DC=HE=AB=4、EC=2,

PE=DE=>l42+22=275.

在_PHE中,PH=XIPE2-HE2=>/20-16=2?

「平面PAD_L平面ABCD,AB=4,PA=PDf平面QAOc平面ABCD=AD,「.PH1AD.:.PH1平

面ABC。，

如圖（2）以〃為原點，所在直線分別作x軸，》軸，z軸，建立空間直角坐標系，則

H（0,0,0）,A（2,0,0）,8（2,4,0）苫（0,4,0）,尸（-1,0,1）,夕（0,0,2）,

ra=(3,4,-1),EB=(2,0,0),

QP”_L平面A8CO,?.〃夕是平面ABC。的一個法向量，HP=（0,0,2）;

設平面8E尸的?個法向量為〃=（x,y,z）,則有

n-FB=03x+4y-z=0.、

=2x=0'令尸1，則z=4,"(0J4)；

n-EB=0

|"R〃|0+0+8_4_4行

,cos(尸-BE-A)=

2V17"Tn--!?"

故二面角F-BE-A的余弦值為&叵.

⑵

選擇條件②：取人。的中點為連結PH,HE,又平面平面48CDA8=4JA=PD,平面

EADc平面A8C￡）=AO,..。“，八。,「./7/_1平面48。。,

過尸作包_LH/）交于點L,連結L石，又；尸是PD中點，所以點L也是“。中點,

此_1_平面A8CD,LEu平面ABCD,，FL工LE,

設PH=2h,則也=/?「,,AO=A3=4,.1.HD=2HL=2^-LE==Vl7，

PD=7（2/?）2+22=2V/r+1，PD.EF,二EF=：PD=3〃，+1,故在Rl“L七中，

FE2=FI3+LE29（/?2+1）=A2+17,解得〃=1,即尸”=23=2,

如圖（3）以“為原點，所在直線分別作工軸，5軸，z軸，建立空間直角坐標系，則

H（0,0,0）,4（2,0,0）,監4,0）,E（0,4,0）,尸（T,0,l）,P（0,0,2）,

電（3,4,-1）&=（2,0,0）,

QPH_L平面A4CQ,是平面48co的一個法向量，HP=（0,0,2）;

設平面8E尸的一個法向量為〃=（x,y,z）,則有

〃,必=0j3x+4)，-z=0

令y=l,則z=4,/?=(0,1,4)；

〃EB=()2x=0

\HP-n\o+o+844yf\7

COS{F-HE-A)=

|研卜「2x/17-717-17,

故二面角F-BE-A的余弦值為勺叵.

22

19.已知橢圓C:二+==1（。>〃>0）的右頂點42,0）,P為幃圓C上的動點，且點P不在x軸上,

a'b"

。是坐標原點，&4OP面積的最大值為1.

（1）求橢圓。的方程及離心率；

（2）過點〃（-1,0）的直線Pa與桶圓。交于另一點Q,直線A/VAQ分別與），軸相交于點E,?當|K〃|-2

時，求直線PH的方程..

【答案】（1）［+）尸=1,立

42

Q）瓜工_6y+瓜=0或遍、+6），+指=0

【分析】（1）由橢圓的右頂點42,0）可得4=2,若要二A”面積最大，則需|尸片最長，此時點，在），

軸上，面積可得〃=1,從而求得橢圓。的方程，再山C『_〃+C-2可求得。，從而可得離心率；

（2）設直線尸少的方程為：），=網工+1）,（女工0）,與橢圓聯立方程組可解得一元二次方程，從而可得出

韋達定理的表達式，再通過直線夕4,QA的方程得出點￡尸坐標，進而表達出|跖|=2,從而可解

得3求得直線P4的方程.

【詳解】（1）橢圓C:二+二=1（4>>>0）,A（2,0）,。=2,

rrb~

P為橢圓。上的動點，且點P不在x軸上，0是坐標原點，過點P作PK_Lx軸，垂足為K,故4Aop

面積為&Aop=gx|Q4岡PK|=gx2x|PK|,

若要“OP面積最大，則需|%|最長，此時點夕在y軸上，即|PK|=|O"時，使得二AO夕面積最大,

22

S、AOP=5x|。臼x|Pj<|=-x2x|0P|=1=1=],c=>Ja—b=，4-l=G-

.，?橢圓C的方程為'+V=1,離心率為C=￡=立.

4a2

（2）夕為橢圓。卜的動點.過點的直線與橢圓。交干另一點Q.

可記P（x，y）,。（%2，左）,

當直線P，的斜率不存在時，即PHLx?軸時，歸。<給=2,此時直線ARAQ分別與y軸相交于點

E,F.此時|E"K|PQ|v2,不符合題意.

當直線P”的斜率存在時，設直線戶〃的方程為：），=&*+1）,伏工。）,

y=A（x+l）,

聯立蘭，2,消去y可得上+代（.1+1『=1,化簡得（1+軟2卜2+8次丫+4女2-4=。，由韋達定理

彳+卜=

8尸

…=一詢

可得

4^—4

16Z:2-16433k?+1

所以同一K|=-4中2=

1+4公1+4二

由戶區方），。（士，必），42,0）,則直線批的方程為：y=U、（x-2）,直線QA的方程為:

再一2

y=34（x-2）,因為直線AP.AQ分別與），軸相交于點E,F,令1=0分別代入直線E4,直線出可

入2-N

得：點a含卜小含

...I葉3--2y2_2I為

人1乙x,-2X)-2x,-2

又尸（x，y），Q（w，必）在直線PH方程y=幺*+1）,（攵工0）上，所以有x=依%+1）,%=攵02+D，

3k(x-xj

分別代入戶可并化簡可得|"|=2三-32

X

A.一乙Xy—乙xrv2-2(x(+2)+4

443犬+1

23Ad(K+S)2-4中2

下4/?"

N

芭工?-2(+x2)+436匕

1+4^

故直線P，的方程為:

即\[bx-6y+y/6=0或A/6.V+6y+瓜=0.

20.已知函數/（x）=—伍＞（））.

ax

（1）求〃x）的單調區間;

⑵若以x）Wx-l對Xe（0,+00）恒成立,求a的取值范圍;

a

⑶若WIn$+In七=O(X]/斗)，證明：x1+x2>2.

【答案】（l??0，e）時單調遞增，xe（e,-K^）時，單調遞減;

（2）?＞1；

（3）證明見解析.

【分析】（1）求導，根據導數的符號確定單調區間；

（2）運用參數分離的方法，構造函數求導，計算函數最大值即可；

（3）作圖，根據函數圖像確定補毛的范圍，再構造函數，利用函數的單調性證明.

【詳解】（1）/，顯然有/（e）=0,當x?0,e）時，/（x）＞0,單調遞增,

當xw(e,yo)時，/(x)<0，單調遞減：

,八Jnx,1zw,、x+lnx

(2)由<x—得：ax~-x-lnx>0,ci>--；—,

axax

令8(力=直詈，則有g3=f；nx+l,令&(力=_工一2|門+1,

顯然％(x)是減函數，攵(1)=0,/.當xe(O,l)時，A(x)>0,g(x)單調遞增，工?1,+<?)時,

k(x)<0,g(x)單調遞減；

二?g(xL=Ml)=l，。的取值范圍是;

(3)當。=1時，=W，由(I)的結論作函數圖像如下：

yt.

lA::

~d-pex

=e

/Wmttx/()=；，

Inx.Inx,/、/、

對于看Inw+Zln%=。，得-一—=--,不妨設公>內，則有一/(%)=/(/)，

.1、《2

由圖可知當。</'(x)<1時，對應的自變量有2個值吃，后，其中5>e』vx2〈e,

e

要證明X+匕>2,只需々取玉,工3中較小的數*2即可，

v0</(x,)<-,,苦?0,1),2-XjG(1,2),

ee

要證明內+々>2,只需證明/>2-$,在x<0,e)時，/(x)單調遞增，

只需證明/(毛)>/(23),f(x2)=-f(.rt),只需證明一/(司)>/(2-%),

BP/(A-)+/(2-A-)<0,構造函數0(力=處+半》(彳€(0,1)),

x2—x

./、1-lnx-1+ln(2-x)x2ln(2-A)-(2-X)2lnx+4(l-x)

xe(O,l),.,.2-xe(l,2),x2ln(2-x)>0,-(2-x)~ln.v>0,4(1-x)>0,

p(x)>0,p