2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國乙卷）

文科數學

一、選擇題

/2+%葉（）

A.1B.2C.石D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由題意首先化簡2+i2+2『，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+y+2i3=2—l-2i=l-2i，

則|2+12+爾卜|1-24=#+（一2）2=6

故選：C.

2.設全集U={0,1,2,4,68},集合M={O,4,6},N={（）,1,6},則M=q,N=（）

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得為N的值，然后計算Muq.N即可.

【詳解】由題意可得Q,,N={2,4,8},則MUQ.,，N={0,2,4,6,8}.

故選:A.

3.如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1,則該零件的表面

積為（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其

表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABC。—44GA中，AB=BC=2,M=3,

點”,/,J,K為所在棱上靠近點片,￡,R,A的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點，

則三視圖所對應的幾何體為長方體ABCD—ABCD去掉長方體ON/G-LMH片之后所

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，

其表面積為：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（1x1）=30.

故選：D.

4.在.ABC中，內角AB,C的對邊分別是若acosB—反osA=c,且。=（,則

NB=（）

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得NA的值,

最后利用三角形內角和定理可得NA的值.

［詳解】由題意結合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin（A+8）=sinAcos8+sinBcosA,

整理可得sinBcosA=0,由于8￡（0,兀），故sinB>0,

據此可得cosA=0,A='，

c

乙

則B=n—A—C=Tt—---=—.

2510

故選：c.

rpA

5.已知=是偶函數，則()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據偶函數的定義運算求解.

【詳解】因為/(同二手:為偶函數，則

e<—1

(fie—xFe'

-x)=---------——-——=--------------=0，

」'='7e'"-le-av-leav-1

又因為x不恒為0,可得/一/1)"=0,即/二小心，

則x=(a—l)x,即1=。一1,解得a=2.

故選：D.

6.正方形ABC力的邊長是2,石是A3的中點，則EC.EO=()

A.舊B.3C.26D.5

【答案】B

【解析】

［分析】方法一：以｛A8,八。｝為基底向量表示EC,ED，再結合數量積的運算律運算求解；

方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/OEC，進而

根據數量積的定義運算求解.

uunuuinuunuum

【詳解】方法一：以｛A氏A。｝為基底向量，可知AB=AD=2,A8AO=0,

ummrumiHIDUUVuunuiruuniuimuun

則EC=E3+4C=-A3+4O,EO=E4+AO=-—AB+AD,

22

umuinn(iummini\(iuunuun\imn,uun、

所以ECEO=一A8+AO?--AB+AD=一一AB+AO=-1+4=3：

[2)I2)4

方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

/、z、,、UUUULUI

則七(1,0),C(2,2),力(0,2),可得￡C=(1,2),EO=(—1,2),

uuuuim

所以EC-ED=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=6CD=2,

nr2+CF1-DC25+5-4_3

在乙CDE中，由余弦定理可得cos/OEC二一

2DECE2x石x石5

uunmminmuiinuuna3

所以ECEO=ECEDcosZDFC=V5xV5x-=3.

7.設O為平面坐標系的坐標原點，在區域｛（兀），）|1工/+）/44｝內隨機取一點4,則直

線OA的傾斜角不大于:的概率為（）

4

11八11

A.—B.-C.-D.—

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意分析區域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區域｛（乂力1（戈2+）,2《4｝表示以。（0,0）圓心，外圓半徑R=2,內圓半

徑/=1的圓環,

7T

則直線。4的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角

4

兀

4MoN=—，

4

?兀

結合對稱性可得所求概率4_1?

2兀4

故選：C.

8.函數/(月=/+火+2存在3個零點，則。的取值范圍是()

A.(e,-2)B.(^0,-3)C.(T,T)D.

(-3,0)

【答案】B

【解析】

【分析】寫出/'(幻=3/+〃，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】/(x)=x3+OV+2,Mf\x)=3x2+a,

若要存在3個零點,則要存在極大值和極小值，則〃<0,

令/（元）=3尤2+〃=0,

故選：B.

9.某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則

甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為()

【答案】A

【解析】

分析】根據古典概率模型求出所有情況以及滿足題意得情況，即可得到概率.

【詳解】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數共有6x6=36種，

若甲、乙抽到的主題不同，則共有A：=30種，

則其概率為3弓0==5,

366

故選:A.

10.已知函數/")=sin(公E+Q)在區間單調遞增，直線x=四和x為函數

\63J63

y=/(x)的圖像的兩條對稱軸，則()

V1乙J

A.一直B.--C.1D.正

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入工=-2即可得到答

12

案.

［詳解】因為/(幻=sin(s+p)在區間單調免增，

163)

?…T2兀it7t,,八…e2兀_

所以二?=二-一:=不，且0>0,則7=兀，w=—=2,

2362T

當冗二當時，取得最小值，則2［+0=2E一］，keZ,

662

則O=2E--,keZ,不妨取攵=0,則/(x)=sin2x

故選：D.

11.已知實數蒼丁滿足/+/2-4龍-2y-4=0,則X-V的最大值是()

A.1+—B,4C.1+3V2D.7

2

【答案】C

【解析】

【分析】法一：令=左，利用判別式法即可；法二：通過整理得（X-2）2+（），-lf=9,

利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設%一），=工，利用圓心到直線的距離小于

等于半徑即可.

【詳解】法一：令x-y=k,則%=%+），，

代入原式化簡得2y2+（2攵-6）丁+&2-4〃-4=0,

因為存在實數V則即（2%-6）2-4><2付一#-4/0,

化簡得公一2攵一17<0,解得1—3五WZW1+3近，

故人一丁的最大值是3a+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得（T）?=9,

令x=3cos8+2,y=3sin6+l,其中，￡[0,2可，

則x-y=3cos9-3sin6+l=3V^cos（e+；+1,

?.?。￡[0,2"],所以e+歲，則夕+工=2花.即。二五時，x-y取得最大值

?■」4|_44J44

3&+1,

法三：由爐十/一4工一2y一4二0可得（工一2）2+（），-1）'=9,

\2-\-k\

設x-y=%,則圓心到直線x-y=k的距離d~1T~

解得1-30/W1+3加

故選：C.

12.設A,8為雙曲線V-5=1上兩點，下列四個點中，可為線段A8中點的是（)

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.

(一1)

【答案】D

【解析】

【分析】根據點差法分析可得3屋攵=9,對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐

項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設4（&）［）1（占，）’2），則A5的中點MM+SX+%

22

X+）’2

可得加.江&，人看二任

X（一x2-+工2玉+X2

2

-1

人I-I11

因為A3在雙曲線上，貝!〈2，兩式相減得（司2一石）一支二反=（）

考-%=19

9

所以山二二二4二9

不一石

對于選項A：可得A=l,k"=9,則AB:y=9x-8,

y=9x-8

聯立方程《2V消去），得72Y-2X72X+73=0,

A-1

9

此時A=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直線與雙曲線沒有交點，故A錯誤:

995

對于選項B：可得％=-2,38二一萬，則43:），=一//一5,

95

y——x—

22

聯立方程,,消去y得45f+2x451+61=0，

x~二二1

9

此時△=（2x45）--4x45x61=-4x45x16<0,

所以直線與雙曲線沒有交點，故B錯誤;

對于選項C；可得上=3,砥8=3,則4〃：y=3x

由雙曲線方程可得。=1,￡=3,則A3:y=3x為雙曲線的漸近線,

所以直線A8與雙曲線沒有交點，故C錯誤:

997

對于選項D：2=4,&8=:，則=-:

444

97

y=—x——

?44

聯立方程〈2，消去），得63f+126X-193=0，

x2--=1

9

此時△=126?+4x63x193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；

故選：D.

二、填空題

13.已知點A0,石）在拋物線Cy2=2px上，則A到C的準線的距離為.

9

【答案】4

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為

x=--,最后利用點的絲標和準線方程計算點A到C的準線的距離即可.

4

【詳解】由題意可得：伸了=2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為產=51，

準線方程為x=-?，點A到C的準線的距離為1一（-g.

4I4J4

9

故答案為：一.

4

△兀、I

14.若夕a0,三,tan0=—,則sin，-cos￡=_____.

I2

【答案】-且

5

【解析】

【分析】根據同角三角關系求sin，，進而可得結果.

（Ji'

【詳解】因為。e0,-,則sine>0,cose>。，

<2/

winf）I

又因為tan?=^=；,則cos0=2sin。，

cost/2

且cos?O+sin?6=4sin'8+sin?8=5sin2夕=1，解得sin。=@或§皿。=一好（舍

55

去），

所以sine-cos6=sin6-2sin6=-sine=>

5

故答案為：一亞.

5

x-3y<-1

15.若x,），滿足約束條件?x+2），V9,則z=2x-y的最大值為.

3x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z=2x-yf移項得y=2x-z,

x=5

聯立有二八，解得

_x+2y=9、y=2'

設A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經過點A,此時截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

16.已知點S,A,反。均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，54_1_平

面ABC,則S4=.

【答案】2

【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結合直棱柱外接球以及求的性質運算求解.

【詳解】設的外接圓圓心為半徑為「，

2,二AB-3=？萬

則sin/.ACBx/3，可得r=>/3?

T

設三棱錐S—ABC的外接球球心為。，連接OAOQ,則。4=2,。?=gsA,

因為。42=。。：+。儼2,即4=3+』SA2,解得弘=2.

4

故答案為：2.

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時,一般過球心及多面體的特殊點（一般為按、切點）

或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；

（2）若球面上四點尸、A、8、C構成的三條線段出、PB、PC兩兩垂直，且以=小PB=

b,PC=c,一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據4必=〃2+分+°2求解；

（3）正方體的內切球的直徑為正方體的棱長：

（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

（5）利用平面兒何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的兒何體的直觀圖，

確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配

對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝

處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別

記為N，y（i=L2,…,10）.試驗結果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率大545533551522575544541568596548

伸縮率K536527543530560533522550576536

記馬=x-y（i=l,2「-』（）），記4*2,…凸0的樣本平均數為1樣本方差為S?.

（1）求z，s2：

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯

著提高(如果zN2后,則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡

膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高)

【答案】(1)彳=11,$2=61；

(2)認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提

高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數公式即可計算出工亍，再得到所有的z,值，最后計算出方差

即可；

(2)根據公式計算出2后的值，和2比較大小即可.

【小問1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548…

x=-----------------------------------------------=552.3o,

1()

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536-一

y=-----------------------------------------------=541.3,

10

三二元—尸552.3-541.3=11,

馬=%的值分別為:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+04-(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-1I)2八

s"=-------------------------------------------------------------------------=61

10

【小問2詳解】

由(1)知：5=11，2后=2向=病5，故有N22后，

所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提

高.

18.記S〃為等差數列｛冊｝的前〃項和，已知%=11，$0=40.

(1)求｛凡｝的通項公式；

(2)求數列｛|%|｝的前〃項和

【答案】(1)an=\5-2n

<7

⑵1=

rT-14/7+98,/z>8

【解析】

【分析】（1）根據題意列式求解q/,進而可得結果;

（2）先求S”，討論%的符號去絕對值，結合S”運算求解.

【小問I詳解】

設等差數列的公差為",

.2=4+〃=11

a+d=4=13

由題意可得〈10x9]解得《

S10=106/1+--J=402q+9d=8d=-2

乙

所以。,=13—2(〃-1)=15—2〃,

【小問2詳解】

〃(13+15-2〃)，

因為S”=-----------二14〃一〃~,

“2

令%-15—2〃>0,解得〃<與，且〃wN-，

當時，則%>0,可得十=同+同+…+㈤=卬+生+…+4〃=S”=14/?-H2；

當“28時，則<0,可得(=⑷+|%|+…+|%|=(q+出+…+/)-(4+…+4)

22

=S7-(S/J-S7)=2S7-S?=2(14X7-7)-(14/7-//)=?-14Z?+98;

_14〃一/7

綜上所述：Tn=\

[/?2-14/7+98./?>8

19.如圖，在三棱錐P-A8C中，ABJ.BC,AN=2，BC=2叵，PB=PC=?

BP,ARBC的中點分別為D,E,O,點尸在AC上，BF1AO.

（1）求證：族〃平面400；

（2）若NPOF=120°,求三棱錐P-AAC的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵偵

3

【解析】

【分析】(1)根據給定條件，證明四邊形O/)所為平行四邊形，再利用線面平行的判定推

理作答.

(2)作出并證明PM為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【小問1詳解】

..——1—

連接。后,。尸，設4下=/AC,則BF=BA+AF=+tBC,AO=-BA+-BC,

2

BFLAO,

121r

則BRAC=[(1T)R4+出C]?(-B4+_8C)=(?1)B4+-/BC2=4(r-l)+4/=0,

22

解得，=L則尸為AC的中點，由。，20/分別為P3,PA,3C,AC的中點，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF//AB,OF==AB,即。E//。/,DE=OF,

22

則四邊形O。斯為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又所a平面A。。OOu平面A。。，

所以七///平面400.

【小問2詳解】

過?作PM垂百'/O的延長線交于點M,

因為PB=PC,0是BC中點,所以尸013C,

在Rtz\P3O中，PB=x^6,BO=—BC=V2,

2

所以PO=J^二3京=庭=5=2,

因為4B_L3cOF//A8,

所以ObJ_BC,又POcOF=O,PO,OFu平面POF，

所以8cl平面P0尸，又QMu平面P0產，

所以3C_LPM,又BC\FM=O,3c尸Mu平面A3C,

所以PM_L平面ABC,

即三棱錐P-ABC的高為PM,

因為N尸O尸=120。，所以NRW=60。，

所以PM二夕0sin60。=2x正=6，

2

又sMRC=LAB.BC=1x2x26=26,

/1OL.

所以%ABC=LS&ABC,PM='x2垃乂6=巫,

1-CL3Z-i>ii?c3▼3

(i)當。=7時，求曲線y=/(x)在點“/(")處的切線方程.

(2)若函數/(x)在(0,+e)單調遞增，求。的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)卜必之^，.

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和

切點坐標，最后求解切線方程即可；

(2)原問題即/(x)20在區間(0,+8)上恒成立，整埋變形可得

g(x)=cvc2+x-(x+l)ln(x+l)N0在區間(O,+a))上恒成立，然后分類討論

r/<0,67>-,0<?<-三種情況即可求得實數。的取值范圍.

22

【小問I詳解】

當。=一1時，/(%)=--1|ln(x+l)(x>-l),

J

則/'("二--rxln(x+l)+——1X——

X\xJx+\

據此可得/(l)=Q/'(l)=_ln2,

所以函數在處的切線方程為)，-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問2詳解】

由函數的解析式可得■jh】(x+l)+g+〃x—,

滿足題意時/'(x)NO在區間(0,+“)上恒成立.

令——-ln(x+l)+—+〃--->0,則一(x+l)ln(x+l)+(x+or2)N0,

令g(x)=6￡+x-(x+l)ln(x+l),原問題等價于g(x)NO在區間(0,+8)上恒成立,

則g'(x)=2or-ln(x+l),

當aWO時，由于2arWO,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區間(0,+e)上單調遞

減，

此時g(冗)<g(0)=。,不合題意；

☆〃(x)=g'(x)=2or-ln(x+l)JUJ/z'(K)=2a...—,

入+1

當加之1時，由于白■<1,所以"(X)>O,〃(X)在區間(0,+。)上單調遞增，

即g'(x)在區間(。,+。)上單調遞增，

所以g'(x)>g'(0)=0,g(x)在區間(0,+力)上單調遞增,g(x)>g(O)=O,滿足題

意.

當■時，由〃'(X)=2Q!—=0可得/二」--1,

2-x+]2a

當xwfo,」--11時,(1\

廳(x)<0,/?(x)在區間0,--—1上單調遞減，即g'(x)單調遞

k2a)\2。7

減，

注意到g'(0)=0,故當工6(0,(一1)時，g'(“<g'(o)=()，g(x)單調遞減,

由于g(O)=O,故當X￡(O,3〉T)時，g(x)<g(o)=o，不合題意.

綜上可知：實數”得取值范圍是

【點睛】方法點睛:

（1）求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成

基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求

導，必要時要進行換元.

（2）由函數的單調性求參數的取值范圍的方法

①函數在區間（。,與上單調，實際上就是在該區間上了‘320（或r（”4o）恒成立.

②函數在區間（。力）上存在單調區間，實際上就是/'（x）NO（或在該區間上存

在解集.

21.已知橢圓的高心率是g,點4（一2,0）在。上.

（1）求。的方程；

（2）過點（一2,3）的直線交。于RQ兩點，直線APMQ與丁軸的交點分別為M,N,證

明：線段MN的中點為定點.

【答案】（1）工+￡=1

94

（2）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）根據題意列式求解進而可得結果；

（2）設直線尸Q的方程，進而可求點M,N的坐標，結合韋達定理驗證絲?為定售即

2

可.

【小問I詳解】

b=24=3

由題意可得a1=b2+c~,解得，b=2,

c5/5c=\[5

e=—=——

3

所以橢圓方程為￡十二=1.

94

小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設。。：y二4（工+2）+3,尸（西,）［）,。（工2，%），

>=L（x+2）+3

聯立方程y242,消去），得：（4^+9）f+8Z（24+3）R+16（d+3A）=0

.V+T=1

則A=64/(2%+3)2-64(46?+9)儼+3%)=-1728L>0,解得攵<0,

可得華察’

因為A（—2,0）,則直線"：y=」^（x+2）,

人1I乙

2yl

令"。,解得

I內+2

同理可得N。，必、

々+2

2y?2y2

則％+2電+2_[%(%+2)+3]+["(工2+2)+3]

2%+2w+2

[代+(2^+3)](X2+2)+[依+(2A+3)](M+2)2kx}xz+(4A+3)(.X)+.r,)+4(2Z:+3)

(x1+2)(x,+2)內內+2(x+$)+4

108,

——=3

16(公+3%)16M2A+3)|436

4k2+94k'+9

所以線段PQ的中點是定點（0,3）.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟

（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；

（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數

（某些變量）無關；也可令系數等于零，得出定值；

（3）得出結論.

【選修4-4】（10分）

22.在直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線

G的極坐標方程為p=2sin。-＜3＜-,曲線。2：＜c.（。為參數，

\42）（y=2sma

71、

2

（1）寫出G的直角坐標方程；

（2）若直線y=既與CI沒有公共點，也與。2沒有公共點，求〃7的取值范圍.

【答案】（1）x2+（y-1）2=1,XG[0,1],.Ye[l,2]

（2）（-oo,0）U（2V2,+oo）

【解析】

【分析】（1）根據極坐標與直角坐標之間的轉化運算求解，注