2023年湖南省岳陽市三縣六區聯考中考數學一模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每道小題給出的四個選項中,

選出符合要求的一項）

1.（3分）-6的相反數是（）

A.-AB.Ac.-6D.6

66

2.（3分）一個由長方體截去一部分后得到的幾何體如圖水平放置，其俯視圖是（）

C.(-2a2)3=-8/D.a6^a2=a3

4.（3分）從班上13名排球隊員中，挑選7名個頭高的參加校排球比賽.若這13名隊員的

身高各不相同，其中隊員小明想知道自己能否入選，只需知道這13名隊員身高數據的

（）

A.平均數B.中位數C.最大值D.方差

5.（3分）如圖，直線直線c分別交小〃于點A,C,點8在直線〃上，AB1AC,

若N1=130°,則N2的度數是（)

a

/\1

-BCX-b

A.30°B.40°C.50°D.70°

6.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的外角和是5400

B.有一個角是60°的三角形是等邊三角形

C.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

D.三角形的外心是三:條高的交點

7.（3分）《孫子算經》是我國古代經典數學名著，其中有一道“雞兔同籠”問題：“今有雞

兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雞兔各幾何？”學了方程（組）后，我們可

以非常順捷地解決這個問題.在這個問題中，雞的數量為（）

A.23B.24C.12D.13

8.（3分）若將拋物線F：y=x^-2nix+nr-2圖象位于y軸右側的部分沿著直線/：_y=w2

?2翻折，其余部分保持不變，組成新圖形"點M（〃]+2,>'i）,N（〃L2,”）為圖形

〃上兩點，若則，〃的取值范圍是（）

A.-2<，〃V0或0<川<2B.-V2<w<V2

C.-2<m<2D.m<-2或m>2

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分）

9.（4分）代數式有意義時，x應滿足的條件為__________.

Vx+1

10.（4分）已知"2,〃同時滿足2〃?+〃=3與2〃?-〃=1,則的值是.

11.（4分）如圖，在△4BC中，按以下步驟作圖：①分別以4、8為圓心，大于248的長

2

為半徑畫弧，相交于兩點M,N；②作直線MN交AC于點。，連接87）.若AC=12c〃?,

邊BC=7cm,則△BCD的周長為1

12.（4分）已知川，也是一元二次方程/-x-2022=0的兩根，則xi+肥-x\x2=.

13.（4分）仔細觀察下列三組數：第一組：1,4,9,16,25,…；第二組：1,8,27,64,

125,-；第三組：-2,-8,-18,-32,-50,…；取每組數的第〃個數，則這三個

數的和為.

14.（4分）如圖，從一個大正方形中截去面積為4c和%%2的兩個小正方形，若隨機向

大正方形內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為.

15.（4分）如圖，為了測量河對岸A,8兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測

點、C,測得4,8均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走9（）米至觀測點。，測得

4在Q的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.則4,B兩點間的距離為米

（參考數據：sin37°%0.60,cos37°?^0.80,tan37°^0.75）.

16.（4分）如圖，在OO中，為直徑，AB=\（）,點C為。。上一點，NBAC的平分線

AO交BC于點七、交0。于點。，連接BZ）.

（1）若N8AC=50",則標的長為（結果保留五）；

（2）若DE：AE=l：8,貝ljEC=.

三、解答題（本大題共8小題，滿分64分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：（n-1）°+4sin45°-V8+|-3|.

18.（6分）已知6A2-4.1-3=0,求（x-1）2+x（x+2）的值.

3

19.（8分）如圖，在AABC中，/剛。=90°,直線/經過點4,過點B、C分別作/的垂

線，垂足分別為點。、E.有以下三個條件：?AD=CE；?BC//b,③4BC=45°.請

從中選擇-■個合適的作為已知條件，使DE=DB+EC.

（1）你添加的條件是（填寫序號）；

（2）添加了條件后，請證明OE=OB+EC.

BC

20.（8分）學校舉行“愛我中華，朗誦經典”班級朗誦比賽，李老師收集了所有參賽班級

的成績后，把成績x（滿分100分）分成四個等級（490^x^100,B：80&V90,C：

70?80,D：60&V70）進行統計，并繪制成如圖不完整的條形統計圖和扇形統計圖.

（1）參賽班級總數有個；機=;

（2）補全條形統計圖；

（3）。所對應扇形圓心角的大小為°；

（4）統計發現D等級中七年級、八年級各有兩個班，為了提高D等級班級的朗誦水平，

語文組老師計劃從D等級班級中任選兩個班進行首輪培訓，求選中兩個班恰好是同一個

年級的概率（用畫樹狀圖或列表法把所有可能結果表示出來）.

21.（8分）如圖，已知正比例函數），1=任上的圖象與反比例函數），2=乂的圖象相交于點4（3,

3x

，力和點B.

（1）求〃和％的值；

（2）請結合函數圖象，直接寫出不等式名?區V0的解集；

3x

（3）如圖，以4。為邊作菱形AOCD,使點。在入物正半軸上，點。在第一象限，雙曲

線交CO于點￡連接人￡、OE,求AAOE的面積.

22.（8分）六一兒童節來臨之際，某商店用3000元購進一批玩具，很快售完；第二次購進

時，每件的進價提高了20%,同樣用3000元購進的數量比第一次少了10件.

（1）求第一次每件的進價為多少元？

（2）若兩次購進的玩具售價相同，且全部售完后利潤不低于1700元，則售價至少定為

多少元？

23.（10分）【問題情境】（1）如圖①，在矩形A8CD中，點E、尸分別在邊。、AD±,

且/于點G.

求證：此=膽.

AEAD

【變式思考】（2）如圖②，在（1）的條件下,連接CG,若CG=CB,求證：點￡是。。

的中點；

【深入探究】（3）如圖③，在矩形48CQ中,點E、F、，分別在邊CD、AD.BC上,

x,且sina=^~^-,若CG=CH,四?=〃?，

且產于點G,連接CG,設N"CG=2（

10CH

求些的值（用含的代數式表示）.

HG

AFDAFDAFn

曰

BHC

圖①圖②圖③

24.（10分）如圖①，在平面直角坐標系xQy中，拋物線內：y=f+/*+c經過點A（1,0）

和點8（3,0）,與｝，軸交于點C,經過點A的直線/與y軸的負半軸交于點。，與拋物

線2I交于點￡，且。0=04.

（1）求拋物線Fi的解析式；

（2）如圖②，點P是弛物線F］上位于x軸下方的一動點，連接CP、EP,。尸與直線/

Si

交F點Q,設△EPQ和AECQ的面積為Si和52，求」■的最大值;

S2

（3）如圖③，將拋物線Fi沿直線x=〃?翻折得到拋物線F2,且直線/與拋物線乃有且

只有?個交點，求m的值.

圖①圖②圖③

2023年湖南省岳陽市三縣六區聯考中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每道小題給出的四個選項中,

選出符合要求的一項）

1.（3分）-6的相反數是（）

A.-AB.AC.-6D.6

66

【答案】D

【分析】根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數解答.

【解答】解：?6的相反數是6.

故選：D.

2.（3分）一個由長方體截去一部分后得到的幾何體如圖水平放置，其俯視圖是（）

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實線表示.

【解答】解：從上面看，是一個矩形.

故選：A.

3.（3分）下列運算正確的是（）

A.cr*，戶="6B.3a-2a=1

C.(-2a2)3=-846D.a6^a2=a3

【答案】C

【分析】選項A根據同底數原的乘法法則判斷即可，同底數轅的乘法法則：同底數'幕相

乘，底數不變，指數相加；選項B根據合并同類項法則判斷即可，合并同類項的法則：

把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變；選項C根據積的乘

方運算法則判斷即可，積的乘方法則：把每?個因式分別乘方，再把所得的某相乘；選

項。根據同底數第的除法法則判斷即可，同底數幕的除法法則：底數不變，指數相減.

【解答】解：4.$?涼=〃5,故本選項不合題意；

B.3a-2a=a,故本選項不合題意：

C.(-2a2)3=-8?6,故本選項符合題意；

D.a6-i-a2=a4,故本選項不合題意：

故選：C.

4.(3分)從班上13名排球隊員中，挑選7名個頭高的參加校排球比賽.若這13名隊員的

身高各不相同，其中隊員小明想知道自己能否入選，只需知道這13名隊員身高數據的

()

A.平均數B.中位數C,最大值D.方差

【答案】B

【分析】由于共有13名排球隊員，擬選7名個頭高的參加校排球比賽，故應考慮中位數

的大小.

【解答】解：共有13名排球隊員，挑選7名個頭高的參加校排球比賽，所以小明需要知

道自己是否入選.

我們把所有同學的身高按大小順序排列，第7名學生的身高是這組數據的中位數,

所以小明知道這組數據的中位數，才能知道自己是否入選.

故選：B.

5.（3分）如圖，直線直線c分別交a,b于點A,C,點3在直線〃上，AB1AC,

【答案】B

【分析】首先利用平行線的性質得到N1=ND4G然后利用4BL4C得到NR4C=90°,

最后利用角的和差關系求解.

【解答】解：如圖所示，

???直線〃〃力，

???N1=NOAC,

VZ1=13O°,

AZDAC=130°,

又,?，4B_LAC,

：.ZBAC=90°,

：.Z2=ZDAC-Z?AC=130°-90°=40’.

故選:B.

D

2

/\1

-BC\b

6.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的外角和是540°

B.有一個角是60°的三角形是等邊三角形

C.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

D.三角形的外心是三條高的交點

【答案】C

【分析】根據多邊形外角和定理、等邊三角形的判定、角平分線性質、外心定理依次判

斷即可.

【解答】解：A、五邊形的外角和是360°,所以A為假命題：

B、有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，所以8為假命題；

C,角平分線上的點到角兩邊的距離相等正確，所以。為真命題；

。、三角形的外心是三邊的垂直平分線的交點，所以。為假命題.

故選：C.

7.（3分）《孫子算經》是我國古代經典數學名著，其中有一道“雞兔同籠”問題：“今有雞

兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雞兔各幾何？”學了方程（組）后，我們可

以非常順捷地解決這個問題.在這個問題中，雞的數量為（）

A.23B.24C.12D.13

【答案】A

【分析】設雞有x只，兔有y只，根據“上有三十五頭，下有九十四足”，可得出關于無

y的二元一次方程組，解之即可得出結論.

【解答】解：設雞有x只，兔有〉只，

根據題意得：卜4y書，

{2x+4y=94

解得：fx=23.

y=12

?,?雞有23只.

故選：A.

8.(3分)若將拋物線F：-2nix+nr-2圖象位于y軸右側的部分沿著直線/：y=m2

-2翻折，其余部分保持不變，組成新圖形”，點M(〃?+2,yi),N(m-2,p)為圖形

〃上兩點，若則〃?的取值范圍是()

A.-2V〃?V0或0VmV2B.

C.-2＜m＜2D.mV-2或加＞2

【答案】C

［分析】求得拋物線F：y=jr-2mx+m2-2的對稱軸為x=m,與y軸交點為(0,nr-2),

分當mV0時，即對稱軸在y軸左側；當m=0時，即對稱軸為)，軸；當,〃＞。時，即對

稱軸在)，軸右側時，進行討論即可求解.

【解答】解：拋物線產：1y=/--2的對稱相為與y軸交點為B(0,//

-2),

:.B(0,/力2_2)關于對稱軸的對稱點為4(2，〃，_2),

.*.A8=-2m,

當機＜0時，即對稱軸在y軸左側，如圖:

?:點、M(/n+2,y\),N(m-2,y2)為圖形”上兩點，fiy\<),2?

:?M3〃+2,y\)位于直線y=nr-2下方，N(/〃-2,”)位于直線y=m2-2上方,

的水平距離大于A8=-2〃?，

:.(w+2)-(w-2)>-2m,

解得：機〉-2：

當,〃=0時，即對稱軸為y軸，如圖：

點M(m+2,yi),N(rn-2,")為圖形〃上兩點，戶<)2恒成立,

當，時，即對稱軸在y鈾右側，如圖:

與y軸交點為：A(0,汴?2),

VA(0?nr-2)關于對稱軸x=m的對稱點為B(2m,m2-2),

,:點、M(〃i+2,>,i),N(〃L2,J?)為圖形”上兩點，且yiV”，

；?M(in+2,y\)位于直線y=nr-2下方，N(in-2,>2)位于直位于直線y=nr-2上

方，

:.MN的水平距離大于AB=2m,

:.(m+2)-(〃？?2)>2m,

解得：〃?V2；

綜上所述：-2</n<2；

故選：C.

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，滿分32分)

9.(4分)代數式有意義時，x應滿足的條件為.

Vx+1

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二次根式和分式有意義的條件可得再解即可.

【解答】解：由題意得：工+1>0,

解得；X>-1,

故答案為：-1.

10.（4分）已知機，〃同時滿足2〃?+〃=3與2〃?-〃=1,則4/m?〃2的值是3.

【答案】3.

【分析】觀察已知和所求可知，4〃?2-〃2=—分（2m?〃）,將代數式的值代入即可得

出結論.

【解答】解：*.*2m+n=3,2m-n=\,

4m2-n2=（2rn+n）（2m?〃）=3X1=3.

故答案為：3.

11.（4分）如圖，在△A8C中，按以下步驟作圖：①分別以4、B為圓心，大于的長

2

為半徑畫弧，相交于兩點M,M②作直線MN交4c于點。，連接80.若4c=12c〃z,

邊BC=7a〃，則ABCD的周長為19cm.

【答案】19.

【分析】由尺規作圖可知，直線MN為線段A8的垂直平分線，即可得AD=BD,則AB。

的周長可轉化為4C+AC,即可得出答案.

【解答】解：由尺規作圖可知，直線MN為線段A8的垂直平分線，

：.AD=BD,

,:AC=12cm,BC=1cm,

:ABCD的周長為BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=l9cfn.

故答案為：19.

12.（4分）已知xi,X2是一元二次方程x2-x-2022=0的兩根，則川+4-x\xi=2023.

【答案】2023.

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得到：X1U2=1,X1A2=-2022,然后代入求

值即可求解.

【解答】解：???加，X2是一元二次方程/-x-2022=0的兩根，

:.x\+x>=1,x\x2=-2022,

?\x\+x2-x\x2=1~（-2022）=2023.

故答案為:2023.

13.（4分）仔細觀察下列三組數:第一組：1,4,9,16,25,…；第二組：1,8,27,64,

125,???；第三組：-2,-8,-18,-32,-50,???；取每組數的第〃個數，則這三個

數的和為.

【答案】/_〃2.

【分析】由題意得出每組數的第〃個數，再求這三個數的和即可.

【解答】解：取每組數的第〃個數分別為：兒〃3,?2〃2,

...〃2+〃3.2〃2=〃3,〃2,

故答案為:d-〃2

14.（4分）如圖，從一個大正方形中截去面積為4a層和%”，的兩個小正方形，若隨機向

大正方形內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為

25

【分析】由兩個小正方形面積可推出最大正方形的邊長及面積，從而可求陰影部分的面

積，根據米粒落在圖中陰影部分的概率為陰影部分與大正方形面積比即可得到答案.

【解答】解：由圖可知大正方形中的兩個小正方形邊長分別為2c〃?、3cm,

，大正方形的邊長為3+2=5(cm),

則大正方形的面積為52=25(a/)，

陰影部分的面積為25?4?9=12(°舟,

則米粒落在圖中陰影部分的概率為

25

故答案為：12.

25

15.(4分)如圖，為了測量河對岸A,B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測

點C測得A,8均在。的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點。，測得

A在。的正北方向，4在。的北偏西53°方向上.則A,8兩點間的距離為96米(參

考數據:sin37°—0.60,cos37°^0.80,(an37°^0.75).

【答案】96.

【分析】根據題意可得：CO=90米，AQ_LCO,EC//AD,從而可得NA=NACE=37°,

進而可得NABO=90°,然后在RlZXAC。中，利用銳角三角函數的定義求出A。的長,

再在中，利用銳角三角函數的定義求出A8的長，即可解答.

【解答】解：由題意得：CO=9()米，ADLCD,EC//AD,

：.ZA=ZACE=31°,

VZZ?DF=53°,

???乙48。=18（）°-4-ZBDF=90°,

在RtaAC。中，AD=-_-_^P_=120（米），

tan3700.75

在Rt^ABD中，A8=AO?cos37°^120X0.8=96（米），

工4,B兩點間的距離約為96米，

故答案為：96.

16.（4分）如圖，在。0中，A8為直徑，A8=10,點C為。。上一點，/8AC的平分線

A。交于點以交00于點。，連接肘）.

（1）若NBAC=50°,則菽的長為2”（結果保留ir）；

一9一

（2）若DE：AE=1：8,則EC=3.

一3一

【答案】（1）空2二

9

（2）包

3

【分析】（1）連接OC，根據圓周角定理及弧長公式計算可得答案；

（2）連接。。交干F,由圓周角定理得。/=工。，然后根據相似三角形的判定與

2

性質可得答案.

【解答】解：（1）連接OC,

為直徑，

.\ZBC4=90°,

VZBAC=50°,

.??NA8C=4()°,

??.NAOC=2N"C=80°,

二菽的長為:招LX2兀X^X10二鋁二，

36029

故答案為：202L.

9

(2)連接。。交BC于尸，

TA。平分NBAC,

：?NBAD=NCAD,

ABD=CD，

：.OD1BCBF=CF,

，。產為△A8C的中位線，

:.OF=1AC,

2

VZDFE=Zx4CE=9C°，NFED=NAEC,

:ADEFsAAEC,

.DF_DE_1_EF

??而五為而

設DF=x,則AC=8x,故OF=2"AC=4X，

2

VOF=5-x,

.*.5-x=4x,

**?x=1?

即DF=1,

，O~=4,

;OB=OC=5,OE=4,

:,BF=CF=3,

??

?—EF—1t

CE8

?CE二CE二8

??*CEKT而'

???CE=4CF=4X3=4,

yyo

故答案為:1.

三、解答題（本大題共8小題，滿分64分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：（TT?1）0+4sin45°-V8+I-3|-

【答案】4.

【分析】直接利用零指數幕的性質以及特殊角的三角函數值、二次根式的性質、絕對值

的性質分別化簡，進而合并得出答案.

【解答】解：原式=1+4x1-2加+3

2

=1+2A/2-2近+3

=4.

18.（6分）已知6A*2-4X-3=0,求（x-1）2+x（A+—）的值.

3

【答案】2.

【分析】利用完全平方公式、單項式乘多項式的運算法則把原式化簡，整體代入計算，

得到答案.

【解答】解：原式=/-2X+I+/+2X

3

=2^--.v+1,

3

V6.r2-4.r-3=0,

6.V2-4x=3,

3

AZr2-￡+1=2.

3

19.（8分）如圖，在&BC中，ZBAC=90°,直線/經過點A,過點B、。分別作/的垂

線，垂足分別為點。、E.有以下三個條件：@AD=CE；?BC//h③NABC=45°.請

從中選擇一個合適的作為已知條件，使￡>E=OB+EC.

（1）你添加的條件是①（答案不唯D（填寫序號）；

（2）添加了條件后，請證明7）F=OB+EC.

【答案】（1）添加的條件是①（答案不唯一）；

（2）證明過程見解答.

【分析】（1）根據題意添加①即可；

（2）利用A4s證明△朋。9△ACE,可得DB=EA,然后根據線段的和差即可解決同題.

【解答】（1）解：添加的條件是①（答案不唯一）；

（2）證明：CEIL

???N8OA=NAEC=9Q°,

：,ZDBA+ZDAB=90a,

*：ZBAC=90°,

：.ZDAB+ZCAE=90c,

：.ZDBA=ZCAE,

又?；AD=CE,

(AAS),

:,DB=EA,

：.DE=EA+AD=DB+EC.

20.（8分）學校舉行“愛我中華，朗誦經典”班級朗誦比賽，李老師收集了所有參賽班級

的成績后，把成績x（滿分100分）分成四個等級U：90WxW10（）,B：80WxV90,C：

70?80,D：60?70）進行統計，并繪制成如圖不完整的條形統計圖和扇形統計圖.

（1）參賽班級總數有40個:m=30:

（2）補全條形統計圖；

（3）。所對應扇形圓心角的大小為36°：

（4）統計發現D等級中七年級、八年級各有兩個班，為了提高D等級班級的朗誦水平，

語文組老師計劃從。等級班級中任選兩個班進行首輪培訓，求選中兩個班恰好是同一個

年級的概率（川畫樹狀圖或列表法把所有可能結果表示出來）.

【答案】（1）40,30：

（2）圖形見解析；

（3）36；

⑷-1.

3

【分析】（1）由人的個數除以所占百分比得出參賽班級總數，即可解決問題；

（2）由（1）的結果補全條形統計圖即可；

（3）由360°乘以。所占的比例即可；

（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中選中兩個班恰好是同一個年級的結吳有4

種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）從兩個統計圖中可知，成績在“A等級”的有8個，占調查班級的20%,

/.84-20%=40（個），

成績在“C”的班級個數為：40-8-16-4=12（個），

成績在“C”的班級所占的百分比為：12+40=30%,

=30,

故答案為：40,30；

故答案為：36；

（4）把。等級的七年級2個班分別記為A、8,八色級2個班分別記為C、D,

畫樹狀圖如下:

開始

共有12種等可能的結果，其中選中兩個班恰好是同一個年級的結果有4種，

，選中兩個班恰好是同一個年級的概率為-

123

21.(8分)如圖，已知正比例函數.n=&的圖象與反比例函數”=上的圖象相交于點4(3,

3x

〃)和點B.

(1)求〃和攵的值；

(2)請結合函數圖象，直接寫出不等式區V0的解集；

3x

(3)如圖，以4。為邊作菱形AOCD,使點C在x樂正半軸上，點。在第一象限，雙曲

線交CD于點E,連接A￡、0E,求△40E的面積.

【答案】(1)〃=4,k=\2；

(2)-3或0＜彳＜3；

(3)10.

【分析】(1)先把點A(3,〃)代入正比例函數解析式求出”的值，再把求出的點A坐

標代入反比例函數解析式即可求出k值；

(2)根據正比例函數和反比例函數都是關于原點成中心對稱的，可得山點8的坐標，然

后根據圖象即可寫出解集:

（3）根據題意作出輔助線，然后求出的長，根據菱形的性質求出0C的長，可推出

SAA0E菱形AOQ），然后求出菱形的面積即可求出AAOE的面枳.

【解答】解：（1）把點A（3,〃）代入正比例函數可得：〃=4,

yl3

???點4（3,4）,

把點A（3,4）代入反比例函數上，

2X

可得:2=12；

（2）???點A與點8是關于原點對稱的，

工點B（-3,-4）,

???根據圖象可得，不等式居x-Kv（）的解集為：工〈-3或0＜工＜3；

3x

（3）如圖所示，過點A作4G_Lx軸，垂足為G,

VA（3,4）,

：.OG=3,AG=4

在RlZ\AOG中，AO=732+42=5

丁四邊形AOCD是菱形，

?'?"="，$△二奪菱形AW

???SAAOE]?0C?AG[X5X4=10-

22.（8分）六一兒童節來臨之際，某商店用3000元購進一批玩具，很快售完；第二次購進

時，每件的進價提高了20%,同樣用3000元購進的數量比第一次少了10件.

（1）求第一次每件的進價為多少元?

（2）若兩次購進的玩具售價相同，且全部售完后利潤不低于1700元，則售價至少定為

多少元？

【答案】（1）第一次每件的進價為50元；

（2）兩次的售價均為70元.

【分析】（1）設第一次每件的進價為工元，則第二次進價為（1+20%）x,根據等量關系，

列出分式方程，即可求解；

（2）根據總利潤=總售價-總成本，列出算式，即可求解.

【解答】解：（1）設第一次每件的進價為x元，則第二次進價為（1+20%）x,

根據題意得：3000^000=

x（1+20%）x

解得：x=50,

經檢驗：x=50是方程的解，且符合題意，

答：第一次每件的進價為50元；

（2）設兩次的售價為x元，

xX（^22-+3000）-3000X221700,

5050X1.2

工270,

答：兩次的售價至少為70元.

23.（10分）【問題情境】（1）如圖①，在矩形人8。中，點E、尸分別在邊8、AD

且于點G.

求證:翳器

【變式思考】（2）如圖②，在（1）的條件下，連接CG,若CG=CB,求證：點E是。C

的中點;

【深入探究】（3）如圖③，在矩形48CO中，點E、F、H分別在邊CD、AD.BC上,

ADPC

得電罌，進而解決問題;

PCBC

(3)過點C作CQ工HG于點Q,設HQ=x,由sina=1i,得CH=J15x,CQ=3x,

10

利用含x的代數式表示DE和HG的長即可.

【解答】（1）證明：如圖①中,

???四邊形4BCO是矩形,

???N8AO=NQ=900,

圖①

：.ZDAE+ZBFA=90°,

/.ZABF=ZDAEf

：.^ABF^^DAE,

-BFAB.

**AE"AD'

（2）證明：過點C作CP_LBG于點P,

/.Z3+ZCBP=90°,

又???四邊形4BCD是矩形,

，N2+NCBP=90°,

AZ2=Z3,

VZ2=Z1,

.?.Z1=Z2=Z3,

VZD=ZBGA=ZCPB=90°,

:.XDAEsXGBAs?pcB,

*：△DAEsgCB,

???'DE■—PB9

ADPC

?:CPLBG,CB=CG,

:.PB=LBG,

2

AD-PC

?：△GBAsXPCB,

?BGAB

**PC=BC'

MgGB《AB

.DE二2二2

AD=PC=BC

,：AD=BC,

?'-OT=^AB=yDO

乙乙

，點E是。C的中點；

(3)解：過點C作CQ_L"G于點Q,

又???AEJ_HR

AZAGF=ZCQH=90°,

又???矩形A8CO中，AD//BC,

AZ3=Z4,

???N1=N2,

?：CQLHG