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第一章函數、極限與連續PARTSEVEN第七節

無窮小的比較學習目標1.理解無窮小的階(高階、低階、同階和等價).2.掌握用等價無窮小替換法求極限.

兩個無窮小比值的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度．在x

0的過程中，x2

0比3x

0“快些”，反過來3x

0比x2

0“慢些”，而sinx

0與x

0“快慢相仿”．一、無窮小的階

觀察兩個無窮小比值的極限：觀察與比較：階的定義：

設a及b都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小．就說b是比a高階的無窮小，記為b=o(a)；就說b是比a低階的無窮小．就說b與a是同階無窮小；就說b是關于a的k

階無窮小．就說b與a是等價無窮小，記為a~b．舉例：所以當x

3時，x2-9與x

-3是同階無所以當x

0時，3x2是比x

高階的無窮小，即3x2=o(x)(x

0)．窮小．階無窮小．所以當x

0時，1-cosx

是關于x

的二即sinx~x(x

0)．所以當x

0時，sinx

與x是等價無窮小，證明：證明二、無窮小的替換定理1

b與a是等價無窮小的充分必要條件為b=a+o(a)．

證明：(1)證明必要性.設a~b，則因此b-a=o(a)，即b=a+o(a)．(2)證明充分性.設b=a+o(a)，則因此a~b．

定理2表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替．因此，如果用來代替的無窮小選取得適當，那么就可以使計算簡化．：舉例：

解：當x

0時，tan2x~2x

，sin5x~5x，所以

解：當x

0時sinx~x，無窮小x3+3x

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