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文檔簡介

第一章函數、極限與連續PARTSIX第六節

極限存在準則和兩

個重要極限學習目標1.理解極限存在的兩個收斂準則(夾逼準則和單調有界準則).2.熟練掌握利用兩個重要極限求函數的極限.一、極限存在準則又因yn

xn

zn

，所以當

n>N

時，有

a-e<yn

xn

zn<a+e

，a-e<yn<a+e

，a-e<z

n<a+e

，即|x

n-a|<e

．

證明：由極限的定義，

e>0，即

N

>0，當n>N

時，有|y

n-a|<e

及|z

n-a|<e

，準則1：（夾逼準則）

如果數列{xn

}、{yn}及{zn}滿足下列條件：

(1)yn

xn

zn(n=1，2，3，…)，準則1

：如果函數g(x)、f(x)及h(x)滿足下列條件：準則2：單調有界數列必有極限單調數列：如果數列{x

n}滿足條件x1

x2

x3

…

xn

xn+1

…就稱數列{x

n}是單調增加的；

如果數列{x

n}滿足條件x1

x2

x3

…

xn

xn+1

…就稱數列{x

n}是單調減少的．

單調增加和單調減少數列統稱為單調數列．收斂與有界的關系：收斂的數列一定有界，但有界的數列不一定收斂

如果數列不僅有界，并且是單調的，那么這個數列的極限必定存在，也就是這個數列一定收斂幾何意義二、兩個重要極限第一個重要極限：

因為，令u=a(x)，則u

0，于是

解：=1．

例22202x2sinlim21???è?=?xx

例4：解：令例5求.于是由復合函數的極限運法則得，當x?0時，有t?0.第二個重要極限e是個無理數，它的值是e=2.718281828459045·

·

·

．

還可證明根據準則II，數列{x

n}必有極限．可以證明數列{x

n}是單調增加并且有界．這個極限我們用e來表示．即ee

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