高等數學 課件 第二節 一階微分方程的初等解法_第1頁
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文檔簡介

第六章

微分方程目

錄O1第一節

微分方程的基本概念O2第二節

一階微分方程的初等解法O3第三節

二階常系數線性微分方程第二節

一階微分方程的初等解法PARTTWO學習目標：1.掌握可變量分離方程，學會用變量分離法求微分方程的通解.2.掌握一階線性微分方程的求解方法.一、變量分離法（一）變量分離方程形如

的方程，稱為變量分離方程.

變量分離方程解法：

①分離變量

②兩邊積分例1

求微分方程

的解.解：分離變量，得兩邊積分，得因此，通解為例2

求微分方程

滿足初值條件

的特解.解：分離變量，得兩邊積分，得兩邊積分，得所以微分方程滿足初值條件

的特解為（二）齊次微分方程

作變換

，即

，于是

代入原方程得

，整理后，

得到

，變成了變量分離方程.例3

求解方程

解：將方程改寫為

，這是齊次微分方程.

代入原方程變為作變換

，即

，兩邊微分

分離變量得兩邊積分，得到通解即當

時，即得原方程通解二、一階線性微分方程（一）齊次線性方程方程

稱為一階線性微分方程.

如果

，那么該方程稱為齊次的；如果

，那么該方程稱為非齊次的.用變量分離法求其通解得：（二）非齊次線性方程用常數變易法求其通解——把齊次線性方程通解中的C換成未知數

的函數即作變換兩邊對

求導，得代入原方程得

，即故原方程通解為將上式改寫成兩項之和上式右端第一項是對應齊次線性方程的通解，第二項是非齊次線性方程的一個特解.由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和.

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