第一章函數、極限與連續PARTTWO第二節

數列的極限學習目標：1.了解數列極限的概念和特性，理解數列極限的有關性質定理.2.了解數列極限的定義，能正確敘述數列極限的定義.3.掌握數列的性質極限的四則運算法則.例如1.數列的定義一、數列極限的定義注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數下頁返回上頁問題1:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題2:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.下頁返回上頁觀察以下數列的變化趨勢下頁返回上頁2.數列極限的定義用數學語言

表示：（“ε-N”語言）.定義注意：(1)不等式|

xn-a|<ε刻畫了xn與a的無限接近；（3）N的作用：說明n任意大的程度，與任意給定的正數ε有關，且不唯一；（4）ε與N的關系：ε越小，N越大.（2）ε的作用：控制xn與

a的接近程度;數列極限的幾何解釋當n>N

時，就有|xn-a|<ε

當n>N時，就有a-ε<xn<a+ε

對于任意給定的正數ε,總存在一個正整數N，使得所有下標大于N的項xn都落在鄰域內；

而在之外，數列{xn}中的項至多只有限個（有Ｎ個）.數列極限的定義未給出求極限的方法.例1證明：所以,注意：總結：利用定義2證明數列極限的一般步驟，；；；.例1已知

證明：|xn

a|

e

0

為了使|xn

0|

e（設

<1），

例3證明：（設

<1）

定理1二、收斂數列極限的四則運算若注：上述法則可推廣到有限個數列的加，減，乘，除，但不能推廣到無限個數列情形。特別地，如果C是常數，那么

幾個常見數列的極限二、收斂數列極限的四則運算

例4求下來數列的極限

解：分析：這里不加證明的引用了在無理式的極限中常用到的一個極限的運算性質：解：

這種求極限的方法稱為“有理化法”baxb+

證明:

（反證法）假設{xn}

收斂,但極限不唯一,

不妨設b<a,取即a

b.由極限定義,

1,當n>N1時,

N2,當n>N2時,取N=max{N1,N2},從而當n>N時,有矛盾,故極限唯一.則當n>N時,上兩式同時成立.三、收斂極限的性質定理2(極限的唯一性)

如果數列{xn}收斂，那么它的極限唯一.證明:由定義,注意：1.定理2的逆命題不成立2.無界數列必定發散.定理3（收斂數列的有界性）

如果數列{xn}收斂，則數列{xn}有界|xn|

|(xn

a)a|

|xn

a||a|

1|a|例如

數列{(-1)n}有界，但它不收斂.故{xn}有界.則對一切自然數n，皆有|xn|<M.設xn

a(n),a>0.,由極限定義，

自然數N,當n>N時,有定理4(收斂數列的保號性)若

,而a>0(a<0).

則

N,當n>N時,有xn>0(xn<0).證明:取xa0故當n>N時,類似可證a<0的情形.推論:

設有數列{xn},若自然數N,當n>N時,,則有xn0(xn0).且a0(a0).證明:

假設a<0，由定理3,

N1,當n>N1時,有xn<0.取N2=max(N1,N),則當n>N2(>N)時,有xn<0,此與條件矛盾.定義3構成一個新的數列，稱它為{xn}的一個子列.在數列{xn}中保持原有的次序自左向右任意選取無窮多個項，例如，為{xn}的一個子數列.證明：（略）

課堂小結：1.數列極限的概念2.收斂數列極限的四則運算

⑴法則只能在極限存在的前提下使用；⑵法則只能使用