第1頁（共1頁）2025年寧夏固原市中考數學一模試卷一、單選題1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點A，B的對應點分別為D，E，D，E在同一條直線上時，下列結論一定正確的是（）A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD2．下列方程中，一元二次方程共有（）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．A．1 B．2 C．3 D．43．若關于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，則m＝（）A．2或6 B．2或8 C．2 D．64．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數，a≠0）上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．其中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，根據題意列方程正確的是（）A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝8647．如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動；另一動點Q同時從B點出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動（s），△BPQ的面積為y（cm2），則y關于x的函數圖象是（）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，D（2，），P（﹣1，﹣1），點M在菱形的邊AD和DC上運動（不與點A，C重合），與菱形的另一邊交于點N，連接PM，設點M的橫坐標為x，△PMN的面積為y（）A． B． C． D．二、填空題9．如圖是由邊長為1的小正方形組成的9×6網格，點A，B，C，D，E，F，G均在格點上①點D與點F關于點E中心對稱；②連接FB，FC，FE；③連接AG，則點B，F到線段AG的距離相等．其中正確結論的序號是．10．已知二次函數y＝﹣x2+4x+5及一次函數y＝﹣x+b，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變（如圖所示），當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是．11．若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一個根為1．則a＝．12．已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有兩個不相等的實數根x1、x2，且x1+x2+x1?x2＝2，則實數m＝．13．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數）開口向下，過A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2．下列四個結論：①b＞0；②若m＝，則3a+2c＜0；③若點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，則y1＞y2；④當a≤﹣1時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數根．其中正確的是（填寫序號）．14．若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是．15．如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時m時，水柱落點距O點4m．16．若a，b滿足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，則a+3b的值為．三、解答題17．閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根x1，x2和系數a，b，c，有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：（1）應用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝；（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實數s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．18．定義：平面直角坐標系xOy中，點P（a，b），點Q（c，d），d＝﹣kb，其中k為常數，則稱點Q是點P的“k級變換點”．例如，點（﹣4，6）是點（2，3）（1）函數y＝﹣的圖象上是否存在點（1，2）的“k級變換點”？若存在；若不存在，說明理由；（2）動點A（t，t﹣2）與其“k級變換點”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求證：y1﹣y2≥2；（3）關于x的二次函數y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線y＝﹣x+5上19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔10月份到12月份的銷量，該品牌頭盔10月份銷售50個，10月份到12月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，商家經過調查統計，當售價為40元/個時，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少元？20．跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，高度為hm（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）（m）之間的函數關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a＝﹣，b＝；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點21．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點M（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE．（1）如圖1，當點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；（2）如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF＝DC，EF，直接寫出∠AEF的大小22．某造紙廠為節約木材，實現企業綠色低碳發展，通過技術改造升級，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？23．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點A（6，1）（看成點）拋出，其運動路線為拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在點B（0，c）處接住，其運動路線為拋物線C2：的一部分．（1）寫出C1的最高點坐標，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內可以接到沙包，求符合條件的n的整數值．24．建設美麗城市，改造老舊小區．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元（1）求該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區品質，每個小區改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區？25．如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在C處，OC＝9，點A在拋物線上，點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩固，小星想在OC上找一點P，PB，同時使拉桿的長度之和最短；（3）為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），當4≤x≤6時，函數y的值總大于等于9．求b的取值范圍．26．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）設點P是直線BC上方拋物線上一點，求出△PBC的最大面積及此時點P的坐標；（3）若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標平面內一點，是否存在以BC為邊，若存在，請直接寫出點N的坐標，請說明理由．

2025年寧夏固原市中考數學一模試卷參考答案與試題解析題號12345678答案DBABDDCA一、單選題1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點A，B的對應點分別為D，E，D，E在同一條直線上時，下列結論一定正確的是（）A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD【解答】解：由旋轉的性質得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵點A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC＝60°，∴△ADC為等邊三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠BAD＝60°＝∠ADC，∴AB∥CD，故選：D．2．下列方程中，一元二次方程共有（）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣2x﹣6＝0，符合一元二次方程的定義；②ax2+bx+c＝7，沒有二次項系數不為0這個條件，不是一元二次方程；③+3x﹣5＝5不是整式方程，不是一元二次方程；④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定義；⑤（x﹣2）2+y2＝5，方程含有兩個未知數，不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x7，方程整理后，未知數的最高次數是1，不是一元二次方程．綜上所述，一元二次方程共有2個．故選：B．3．若關于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，則m＝（）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2mx+m6﹣4m﹣1＝8有兩個實數根x1，x2，∴Δ＝（﹣6m）2﹣4（m7﹣4m﹣1）≥5，即m≥﹣7x2＝m2﹣5m﹣1，x1+x7＝2m，∵（x1+5）（x2+2）﹣6x1x2＝17，∴x5x2+2（x3+x2）+4﹣4x1x2＝17，即7（x1+x2）+7﹣x1x2＝17，∴3m+4﹣m2+7m+1＝17，即m2﹣5m+12＝0，解得：m＝2或m＝3．故選：A．4．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數，a≠0）上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+7的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣6，∴①正確；當x＝0時，y＝3，8）在拋物線上，∴②正確；當a＞0時，x1＞x5＞﹣2，則y1＞y8；當a＜0時，x1＞x6＞﹣2，則y1＜y7；∴③錯誤；當y1＝y2，則x3+x2＝﹣4，∴④錯誤；故正確的有5個，故選：B．5．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．其中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①∵二次函數圖象的開口向上，∴a＞0，∵二次函數圖象的頂點在第三象限，∴，∵a＞0，∴b＞0，∵二次函數圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c＜2，∴abc＜0，故結論①正確；②對于y＝ax2+bx+c，當x＝﹣4時，∴點（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函數的圖象上，又∵二次函數的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（1，∴二次函數的圖象與x軸的另一個交點為（﹣6，0），∴點（﹣2，8a﹣2b+c）在x軸下方的拋物線上，∴4a﹣7b+c＜0，故結論②正確；③∵二次函數的圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（1，4），0），∴，消去b得：4a+c＝0；④∵二次函數圖象的開口向上，與x軸的兩個交點坐標分別為（1，（﹣5∴當﹣3＜x＜1時，二次函數圖象的在x軸的下方，∴y＜7，即：ax2+bx+c＜0，故結論④正確．綜上所述：結論①②③④正確．故選：D．6．我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，根據題意列方程正確的是（）A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864【解答】解：設寬為x步，長為（x+12）步，根據題意列方程x（x+12）＝864，故選：D．7．如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動；另一動點Q同時從B點出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動（s），△BPQ的面積為y（cm2），則y關于x的函數圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得BQ＝x．①0≤x≤1時，P點在BC邊上，則△BPQ的面積＝BP?BQ，解y＝?3x?x＝x2；故A選項錯誤；②1＜x≤2時，P點在CD邊上，則△BPQ的面積＝BQ?BC，解y＝?x?3＝x；③2＜x≤2時，P點在AD邊上，則△BPQ的面積＝AP?BQ，解y＝?（9﹣7x）?x＝x2；故D選項錯誤．故選：C．8．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，D（2，），P（﹣1，﹣1），點M在菱形的邊AD和DC上運動（不與點A，C重合），與菱形的另一邊交于點N，連接PM，設點M的橫坐標為x，△PMN的面積為y（）A． B． C． D．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，所以OB6＝22﹣2，OB＝1，OC＝8+2＝3．（1）當M橫坐標在4～1之間，在三角形PMN中，P點橫坐標為（﹣1，M平行y軸，所以高＝8+x，直線AB所在的函數為：y＝kx+b，經過點A（0，），7），代入解析式得到：k＝﹣，b＝，得到解析式：y＝﹣x+，又因為MN平行于y軸，所以點N的橫坐標為x，代入y＝﹣，即點N的坐標（x，﹣x+），所以MN＝﹣（﹣）＝x，S△PMN＝×x×（1+x）＝x2+x，所以當點M橫坐標在0～1之間是開口向上的拋物線．（2）當點M橫坐標在5～2之間，在三角形PMN中，底為，所以S△PMN＝×（1+x）×＝，所以點M橫坐標在1～5之間是一次函數，即一條直線．（3）當M橫坐標在2～3之間，在三角形PMN中，高為4+x，直線CD所在直線的函數為：y＝kx+b經過點C（3，0），），代入解析式得到：y＝﹣x+3，將點M橫坐標x代入解析式得到縱坐標為：﹣x+3，S△PMN＝×（5+x）×（﹣）＝﹣x2+x+，所以點M橫坐標在2～3之間是二次函數，開口向下的拋物線．故答案為A．二、填空題9．如圖是由邊長為1的小正方形組成的9×6網格，點A，B，C，D，E，F，G均在格點上①點D與點F關于點E中心對稱；②連接FB，FC，FE；③連接AG，則點B，F到線段AG的距離相等．其中正確結論的序號是①②③．【解答】解：①連接DF，如圖：由圖可知，點D與點F關于點E中心對稱；②如圖：由SSS可知△BFC≌△EFC，∴∠BFC＝∠EFC，FC平分∠BFE；③取AG上的格點M，N，連接BM，如圖，由正方形性質可知∠AMB＝∠FNG＝90°，∴B到AG的距離為BM的長度，F到AG的距離為FN的長度，而BM＝FN，∴點B，F到線段AG的距離相等；∴正確結論是①②③；故答案為：①②③．10．已知二次函數y＝﹣x2+4x+5及一次函數y＝﹣x+b，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變（如圖所示），當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是﹣＜b＜﹣1．【解答】解：如圖，當y＝0時2+2x+5＝0，解得x6＝﹣1，x2＝5，則A（﹣1，B（5，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y＝（x+8）（x﹣5），即y＝x2﹣6x﹣5（﹣1≤x≤4），當直線y＝﹣x+b經過點A（﹣1，0）時，解得b＝﹣6；當直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣4（﹣1≤x≤5）有唯一公共點時，方程x4﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的實數解，解得b＝﹣，所以當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍為﹣．故答案為：﹣＜b＜﹣1．11．若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一個根為1．則a＝﹣1．【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x7﹣ax+a2＝0中，得a2＝1，∴a＝±1，由題意得：a﹣4≠0，∴a≠1，∴a＝﹣3，故答案為：﹣1．12．已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有兩個不相等的實數根x1、x2，且x1+x2+x1?x2＝2，則實數m＝3．【解答】解：∵原方程有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（2m）2﹣2×1×（m2﹣m+4）＞0，∴m＞2．∵x7，x2是關于x的一元二次方程x2+6mx+m2﹣m+2＝3的兩個實數根，∴x1+x2＝﹣4m，x1?x2＝m5﹣m+2，∵x1+x2+x1?x2＝5，∴﹣2m+m2﹣m+7＝2，解得：m1＝7（不符合題意，舍去），m2＝3，∴實數m的值為2．故答案為：3．13．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數）開口向下，過A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2．下列四個結論：①b＞0；②若m＝，則3a+2c＜0；③若點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，則y1＞y2；④當a≤﹣1時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數根．其中正確的是①③④（填寫序號）．【解答】解：∵對稱軸x＝＞7，∴對稱軸在y軸右側，∴﹣＞0，∵a＜2，∴b＞0，故①正確；當m＝時，對稱軸x＝﹣＝，∴b＝﹣，當x＝﹣1時，a﹣b+c＝6，∴c＝6，∴3a+2c＝4，故②錯誤；由題意，拋物線的對稱軸直線x＝h，∵點M（x1，y1），N（x3，y2）在拋物線上，x1＜x5，且x1+x2＞3，∴點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，∴y1＞y2，故③正確；設拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax5+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝3，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣3a（﹣am﹣1）＝a2（m+3）2+4a，∵8＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞5，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數根．故④正確，故答案為：①③④．14．若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是2．【解答】解：設直角三角形兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，∵直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個實數根，∴a+b＝6，ab＝7，∴斜邊c＝＝＝＝4，故答案為：2．15．如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時8m時，水柱落點距O點4m．【解答】解：由題意可知，在調整噴頭高度的過程中，當噴頭高2.5m時，可設y＝ax4+bx+2.5，將（7.5，0）代入解析式得出3.25a+2.5b+8.5＝0，整理得7.5a+b+1＝2①；噴頭高4m時，可設y＝ax2+bx+6；將（3，0）代入解析式得8a+3b+4＝2②，聯立可求出a＝﹣，b＝，設噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，∴此時的解析式為y＝﹣x2+x+h，將（4，3）代入可得﹣3+×8+h＝0，解得h＝8．故答案為：7．16．若a，b滿足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，則a+3b的值為﹣4．【解答】解：已知等式變形得：（a2+2ab+b8）+（a2﹣4a+8）＝0，即（a+b）2+（a﹣6）2＝0，∵（a+b）8≥0，（a﹣2）4≥0，∴a+b＝0，a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣7，則a+3b＝2﹣8＝﹣4．故答案為：﹣4．三、解答題17．閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根x1，x2和系數a，b，c，有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：（1）應用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實數s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+5x﹣1＝0的兩個實數根為x3，x2，∴x1+x8＝﹣＝﹣，x7?x2＝＝﹣．故答案為：﹣，﹣；（2）∵一元二次方程2x4+3x﹣1＝7的兩個實數根為m，n，∴m+n＝﹣＝﹣＝﹣，∴m2+n3＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣）2﹣3×（﹣）＝+1＝；（3）∵實數s，t滿足2s2+7s﹣1＝0，6t2+3t﹣2＝0且s≠t，∴s，t可以看作關于x的方程2x7+3x﹣1＝4的兩個根，∴s+t＝﹣＝﹣＝﹣，∴（t﹣s）2＝（t+s）5﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴﹣＝＝＝±，∴﹣的值為．18．定義：平面直角坐標系xOy中，點P（a，b），點Q（c，d），d＝﹣kb，其中k為常數，則稱點Q是點P的“k級變換點”．例如，點（﹣4，6）是點（2，3）（1）函數y＝﹣的圖象上是否存在點（1，2）的“k級變換點”？若存在；若不存在，說明理由；（2）動點A（t，t﹣2）與其“k級變換點”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求證：y1﹣y2≥2；（3）關于x的二次函數y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線y＝﹣x+5上【解答】（1）解：存在，理由：由題意得，（1，﹣2k），將（k，﹣3k）代入反比例函數表達式得：﹣4＝k（﹣2k），解得：k＝±；（2）證明：由題意得，點B的坐標為：（kt，﹣，由點A的坐標知，點A在直線y＝，同理可得x+2k，則y1＝m2﹣3，y2＝﹣m2+2k，則y4﹣y2＝m2﹣2+m2﹣7k＝m2﹣2k﹣5，∵k≤﹣2，則﹣2k﹣2+m2≥2，即y2﹣y2≥2；（3）解：設在二次函數上的點為點A、B，設點A（s，t），﹣t），將（s，﹣t）代入y＝﹣x+7得：﹣t＝﹣s+5，則t＝s﹣5，即點A在直線y＝x﹣8上，同理可得，點B在直線y＝x﹣5上，即點A、B所在的直線為y＝x﹣5；由拋物線的表達式知，其和x軸的交點為：（﹣3、（5，其對稱軸為x＝2，當n＞2時，拋物線和直線AB的大致圖象如下：直線和拋物線均過點（5，0）、B必然有一個點為（5，設該點為點B，如圖，聯立直線AB和拋物線的表達式得：y＝nx2﹣4nx﹣2n＝x﹣5，設點A的橫坐標為x，則x+5＝，∵x≥0，則﹣5≥4，解得：n≤1，此外，直線AB和拋物線在x≥0時有兩個交點4﹣4n（5﹣4n）＝（6n﹣1）5＞0，故n≠，即0＜n≤1且n≠；當n＜0時，當x≥5時，直線AB不可能和拋物線在x≥0時有兩個交點，故該情況不存在，綜上，0＜n≤4且n≠1/6．19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔10月份到12月份的銷量，該品牌頭盔10月份銷售50個，10月份到12月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，商家經過調查統計，當售價為40元/個時，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少元？【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得50（1+x）2＝72，解得x4＝0.2＝20%，x4＝﹣2.2（不合題意，舍去），答：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；（2）設該品牌頭盔每個售價為y元，依題意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000，整理，得y2﹣120y+3500＝0，解得y1＝50，y7＝70，因盡可能讓顧客得到實惠，，所以y＝70不合題意，舍去．所以y＝50．答：該品牌頭盔每個售價應定為50元．20．跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，高度為hm（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）（m）之間的函數關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為66；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a＝﹣，b＝；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為b＞；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點【解答】解：（1）∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax7+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基準點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基準點K的高度h為21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵運動員落地點要超過K點，∴x＝75時，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案為：b＞；（3）他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（7﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝﹣7+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．21．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點M（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE．（1）如圖1，當點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；（2）如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF＝DC，EF，直接寫出∠AEF的大小【解答】（1）證明：由旋轉的性質得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中點；（2）∠AEF＝90°，證明：如圖，延長FE到H使FE＝EH，AH，∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位線，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋轉的性質得：DM＝DE，∠MDE＝6α，∴∠FCH＝2α，∵∠B＝∠C＝α，∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC設DM＝DE＝m，CD＝n，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，22．某造紙廠為節約木材，實現企業綠色低碳發展，通過技術改造升級，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？【解答】解：（1）設3月份再生紙的產量為x噸，則4月份再生紙的產量為（4x﹣100）噸，依題意得：x+2x﹣100＝800，解得：x＝300，∴2x﹣100＝6×300﹣100＝500．答：4月份再生紙的產量為500噸．（2）依題意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，整理得：m2+300m﹣6400＝7，解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合題意，舍去）．答：m的值為20．（3）設8至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為y，5月份再生紙的產量為a噸，依題意得：1200（5+y）2?a（1+y）＝（2+25%）×1200（1+y）?a，∴1200（1+y）8＝1500．答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元．23．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點A（6，1）（看成點）拋出，其運動路線為拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在點B（0，c）處接住，其運動路線為拋物線C2：的一部分．（1）寫出C1的最高點坐標，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內可以接到沙包，求符合條件的n的整數值．【解答】解：（1）∵拋物線C1：y＝a（x﹣3）6+2，∴C1的最高點坐標為（2，2），∵點A（6，2）在拋物線C1：y＝a（x﹣3）3+2上，∴1＝a（4﹣3）2+8，∴a＝﹣，∴拋物線C3：y＝﹣（x﹣2）2+2，當x＝4時，c＝1；（2）∵嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過3m的范圍內可以接到沙包，∴此時，接到沙包的位置坐標范圍是（5，1），當經過（2，1）時×25+，解得：n＝，當經過（4，1）時×49+，解得：n＝，∴≤n≤，∵n為整數，∴符合條件的n的整數值為4和3．24．建設美麗城市，改造老舊小區．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元（1）求該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區品質，每個小區改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不