第9章多粒子體系統計

理論初步

作業9-99-119-169-179-199-24本章概述

理想氣體一.研究對象：二.研究內容：三.研究方法：力學規律

從氣體的微觀結構出發，研究氣體宏觀性質規律的微觀本質。統計方法一.物質的微觀描述1.物質由大量分子組成，分子之間有間隙；2.分子在永不停息地作無規則的熱運動；永恒運動頻繁碰撞3.分子之間存在相互作用力。§9-1基本概念二.理想氣體（idealgas）微觀模型2.分子運動遵從牛頓力學規律；3.除碰撞瞬間外，分子間無相互作用力，碰撞為完全彈性碰撞。（一般情況忽略重力）1.分子間平均距離＞＞分子線度，分子視為質點；

理想氣體是大量自由的、無規則運動的彈性球分子組成的多粒子體系。§9-1基本概念三.宏觀量微觀量1.宏觀量macroscopicquantity：描述體系宏觀性質的物理量，與宏觀態相對應，可由實驗測量。氣體的狀態參量：體積、壓強、溫度2.微觀量microscopicquantity：描述個別分子特性的物理量。摩爾氣體常量§9-1基本概念四.平衡態equilibriumstate

在不受外界影響的條件下，物體的宏觀性質不隨時間變化的狀態。宏觀性質不隨時間變化：處處等壓處處均勻處處等溫-----力平衡-----化學平衡-----熱平衡§9-1基本概念【思考】

一根銅棒的兩端分別與冰水混合物及沸水接觸,經過一段時間后,系統也可達到一個宏觀性質不隨時間變化的狀態，這是否為平衡態？§9-1基本概念一.壓強（pressure）的產生氣體壓強是大量分子對容器壁不斷碰撞而產生的。單個分子平均效果多個分子§9-2理想氣體的壓強溫度公式二.理想氣體壓強公式1.基本假設①分子個體——理想氣體模型假設②分子集體——統計假設平衡態時，氣體分子在容器中各處出現概率均等；平衡態時，氣體分子沿各方向運動的概率相等。§9-2理想氣體的壓強溫度公式2.推導思路§9-2理想氣體的壓強溫度公式3.推導過程①N個分子△t時間內施于A的沖量②平均壓力③壓強l§9-2理想氣體的壓強溫度公式①宏觀量與微觀量統計平均值聯系起來，反映宏觀量的微觀本質。②壓強是大量分子對器壁沖量的統計平均效果，單個分子的壓強沒有意義。4.討論【解釋現象】升高溫度、減小體積使壓強增大的微觀本質原因及其區別？分子數密度分子平均平動動能§9-2理想氣體的壓強溫度公式1.定義：決定某一系統與另一系統處于熱平衡的宏觀標志。2.溫標：T=273.15+t三.溫度temperature溫度的數值表示法，量化冷熱程度。

1848年，英國物理學家開爾文——開氏溫標1709年，德國人華倫海特——華氏溫標

1742年，瑞典天文學家攝爾修斯——攝氏溫標大汶口陶尊符號“熱”伽利略驗溫器§9-2理想氣體的壓強溫度公式大爆炸后宇宙溫度宇宙中He的出現宇宙現在溫度太陽中心溫度太陽表面溫度地球表面溫度激光冷卻原子溫度大觀§9-2理想氣體的壓強溫度公式經過科學家長期研究和觀察對比，認為生活中的理想溫度應該是：居室溫度保持在20℃～25℃；穿衣保持最佳舒適感時，則皮膚的平均溫度為33℃；飯菜的溫度為46℃～58℃；飲水時的溫度為44℃～59℃；泡茶的溫度為70℃～80℃；洗澡水的溫度為34℃～39℃；洗腳水的溫度為50℃～60℃；冷水浴的溫度為19℃～21℃；

1.溫度公式推導玻爾茲曼常數——理想氣體溫度公式idealgastemperatureformula分子數密度分子平均平動動能壓強公式三.理想氣體的溫度公式a.溫度是分子平均平動動能的量度，反映無規則熱運動的劇烈程度；2.溫度的微觀意義b.溫度是大量分子集體表現，對個別分子溫度沒有意義。【問題】溫度所反映的運動是否包括氣體系統的整體運動？三.理想氣體的溫度公式【解釋現象】大氣組成三.理想氣體的溫度公式放大推導壓強公式：討論能量問題：一.理想氣體模型的改進

？質點理想氣體分子理想氣體分子§9-3理想氣體的內能單原子分子雙原子分子多原子分子質點質點+剛性線質點+剛性線①質點自由度：火車（看成質點）在鐵道上運行，自由度為1；輪船（看成質點）在大海中航行，自由度為2；飛機（看成質點）在天空中飛行，自由度為3；1.定義：確定物體位置的獨立坐標數，用i表示。二.自由度degreeoffreedom自由度i=3只有平動受限制時自由度減少§9-3理想氣體的內能②剛體自由度：a.平動：質心位置b.轉動：角度方位xyz軸線方位

（

）φ3個平動自由度(t)3個轉動自由度(r)平動+轉動§9-3理想氣體的內能③氣體分子自由度：a.單原子分子b.雙原子分子自由度i=t=3自由度i=t+r=3+2=5c.三原子分子自由度i=t+r=3+3=6§9-3理想氣體的內能三、能量均分定理

能量按自由度均分§9-3理想氣體的內能單原子分子雙原子分子自由度平均平動動能平均總動能

在溫度為T的平衡態下，分子的每個自由度分得相同的平均動能，其大小都等于能量均分定理：

【問題】平衡態下，能量如何達到自由度均分？§9-3理想氣體的內能1.氣體的內能：所有分子的（N個分子）各種形式的動能和勢能的總和。動能：平動動能轉動動能振動動能勢能：分子間的勢能（對理想氣體為零）分子內原子間的勢能2.理想氣體的內能：所有分子的（N個分子）平動動能和轉動動能的總和。四.理想氣體的內能3.說明：①理想氣體的內能與溫度和分子的自由度有關。②內能是溫度的函數，即U=U(T)，與P，V無關。③狀態從T1→T2,不論經過什么過程，內能變化為§9-3理想氣體的內能1mol理想氣體的內能為Mkg理想氣體的內能為例某容器內裝有氧氣，m=1mol，P=1atm，

t=27℃，求：n、（A）溫度相同、壓強相同。（B）溫度、壓強都不同。（C）溫度相同，但氦氣的壓強大于氮氣的壓強.（D）溫度相同，但氦氣的壓強小于氮氣的壓強.解例一瓶氦氣和一瓶氮氣質量密度相同，分子平均平動動能相同，而且它們都處于平衡狀態，則它們

例

質量為

50.0g、溫度為

18.0℃的氦氣裝在容積為

10.0升的封閉容器內，容器以

v

=

200m·s-1

的速率作勻速直線運動。若容器突然停止，定向運動的動能全部轉化為分子熱運動的動能。試問平衡后氦氣的溫度和壓強各增大多少？

解：分析：本題是關于溫度公式與壓強公式的應用。氣體分子定向運動的動能氣體分子增大的熱運動動能（氣體內能的增量）另解:

定向運動的動能轉化為氣體的內能的增量另解:

由理想氣體狀態方程求增大的壓強例

求混合氣體的壓強。

解：設混合氣體的壓強為

p，各氣體的壓強分別為

p1、p2、p3、······平衡態下，各氣體分子的平均平動動能相等混合氣體的分子數密度為混合氣體的壓強等于組成混合氣體的各個成分的分壓強之和，這就是

道耳頓分壓定律

(Daltonlawofpartialpressure)討論：下列說法是否正確？（1）kBT／2代表溫度為

T

的平衡狀態下，分子在一個自由度上運動的動能。（2）N個理想氣體分子組成的分子束，都以解：分析：熱運動統計概念理解。（1）錯，必須說

平均動能。（2）錯，因為壓強公式是對分子熱運動才

適用的，不適用于分子束的定向運動。

無論分子數

N大或小，都不能使用理

想氣體壓強公式。當分子數

N

小時，不能使用理想氣體壓強公式，當

N

很大就可以使用它。垂直于器壁的速度

v

與器壁作彈性碰撞。思考

雙原子分子的內能理論與實驗對比

雙原子分子理論值實驗值常溫250－1000K高溫2500K是否分子模型需要修改？每個氣體分子運動速率可能都不同，實際上它們遵從一定的分布規律。§9-4分子速率統計分布一.統計規律statisticalregularity1.特點：對于大量的偶然事件有意義，是整體規律；總是伴隨著漲落。伽耳頓板實驗§9-4分子速率統計分布2.定量描述Δxihixi小球落入第

i個槽的概率Δx→

0

②歸一化條件:①小球沿x的分布函數

：小球落入x附近單位區間的概率（概率密度）。§9-4分子速率統計分布L二.分子速率分布的實驗測定SP速率選擇器蒸汽源§9-4分子速率統計分布

N——一定量氣體分子總數dN——分子速率處于區間的分子數三.麥克斯韋速率分布函數speeddistributionfunction

表示速率分布在區間內的分子數占總分子數的比率。與速率v有關與速率區間dv有關§9-4分子速率統計分布速率分布函數

速率在v附近單位速率間隔內的分子數占總分子數的比率。【問題】的物理意義？歸一化條件3.§9-4分子速率統計分布麥克斯韋速率分布函數面積面積【問題】曲線下圍的總面積為多少？§9-4分子速率統計分布f(v)vf(vp)vp②意義：分布在vp所在單位區間內的分子數占總分子數的比率最大。1.最概然速率①定義：與分布函數f(v)的極大值相對應的速率。極值條件四.三種速率2.平均速率①定義：大量分子速率的統計平均值②意義：不考慮矢量性，反映一定溫度下氣體分子平均移動的快慢程度。3.方均根速率①大量分子速率的平方平均值的平方根②意義：反映了氣體分子平均平動動能的大小。三個速率公式只能用于符合麥氏速率分布的氣體例已知一瓶高壓氧氣和一瓶低壓氧氣的溫度相同，分子總數相同，則它們的（）A.內能相同，分子的方均根速率相同B.內能相同，分子的方均根速率不同C.內能不同，分子的方均根速率相同D.內能不同，分子的方均根速率不同[A]m2m1T1T2【討論】麥克斯韋分布曲線隨溫度、分子質量變化例溫度300K時，氧氣分子的最概然速率，平均速率與方均根速率。解：思考摔碎一個汽油瓶，為什么先聽到聲音，后聞到氣味？

例

有N

個質量均為

m的同種氣體分子，它們的速率分布如圖所示。（1）說明曲線與橫坐標所包圍的面積的含義；（2）由

N

和

v0

求

a

的值。

解：(1)先看曲線下小窄條面積N

f(v)d

v曲線下的面積為=dN

vNf(v)aOv02v0dvv～

v

+

dv

間的分子數=

N

曲線下的面積表示系統分子總數N

(2)∴麥克斯韋速度分布函數*速度

v~（vx，vy，vz）設總分子數N，速度分量區間

vx~vx+dvx

，該速度分量區間內分子數

dNvxdNvxN=g(vx)dvx速度分量分布函數g(vx)=m2kT1/2e-mv/2kT2x同理對

y、z

分量

g(vx)dvx=1

+-

即，區間

v~v+dv

，分子數dNv速度在區間

vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvzdNvN=g(v)dv=g(vx)g(vy)g(vz)dvxdvydvzg(v

)=m2kT3/2e-mv/2kT2平均速度vixNiN=vxdNvx/N=vxg(vx)dvx=0+-vx=同理對

y、z分量，故平均速度為零。瀉流速率*器壁上有個小孔，單位時間內由單位面積瀉出氣體分子的數量，稱為小孔瀉流流量，記作。設器壁垂直于x方向，氣體的分子數密度為n，則顯然有上標(+)表示只對的范圍平均。我們把叫做平均瀉流速率。平均瀉流速率可由速度分量的麥克斯韋分布來求得：即例若一盛有混合氣體的容器由含大量小孔的疏松器壁構成，泄露的氣體被抽入收集箱中。試分析箱內質量不同的組分濃度之比與露氣容器中原來濃度比的關系。即經過瀉流后，質量小的組分將相對富集起來。應用天然鈾中同位素的豐度為238U99.3%，235U0.7%。核工業中需要把可裂變的235U從天然鈾中分離出來。辦法是把固態鈾轉換成氣體化合物UF6，然后用瀉流分離法逐級提高235U的濃度。氟的原子量是19。若要把235U濃縮到99%以上，至少需要幾級瀉流？2233級玻耳茲曼分布律*

(

Boltzmanndistributionlaw)狀態區間

dxdydzdvx

dvy

dvz

內的分子數Ep=0

處單位體積內的分子數分子的勢能玻耳茲曼能量分布律

分子處于能量較低狀態的概率要大位置區間

dxdydz

內的分子數（不論它們的速度是多少）體積元dxdydz中的分子數密度

當氣體分子處在重力場或帶電離子處在電場中，此時分子數的分布與力場有關，單位體積的分子數（n）不再均勻。勢能為零分子數密度勢能為Ep分子數密度§9-5波爾茲曼能量分布律海平面上壓強估計海拔高度應用到重力場玻耳茲曼分布律重力場中粒子的分布m0

g(p+dp)△sp△szOzz+dz大氣薄層的質量m0=nm△Sdzdp=-

nmgdz=-

pmgdz/kBT△sp=

nkBT地球周圍的大氣，特別是其下層，有很強的對流，實際對流上升緩慢，干燥空氣導熱性能很差，干燥大氣中沿垂直高度方向發生的過程，可以用

準靜態絕熱模型

描述。干燥大氣的垂直溫度梯度高度

z

與壓強

p的關系為

即每升高

100m，溫度降低

1K大氣絕熱模型**真實氣體等溫線在低溫或高壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了。CO2等溫線v（10-3l/mol）液汽液共存汽氣P（atm）95.50455072.3KABC48.1OC31.1OC21OC13OCVP理想氣體*真實氣體狀態方程（范德瓦爾斯方程）真實氣體要考慮分子大小和分子之間的相互作用兩個分子之間的相互作用勢(Lennard-Jonespotentialfunction)r0稱作分子半徑

~10-10m平衡位置s

有效作用距離

~10-9m分子“互不穿透性”rV(r)s分子為剛性球，氣體分子本身占有體積，容器容積應有修正1摩爾氣體P=v-bRTb

為所有分子所占總體積b值

~10-6m3通常b可忽略，但壓強增大，容積與b可比擬時，b的修正就必須了。分子間引力引起的修正ss器壁附近分子受一指向內的引力，降低氣體對器壁的壓力，稱為內壓強。P=v-bRT-Pi內壓強與器壁附近吸引氣體分子的氣體密度成正比，同時與在器壁附近被吸引氣體分子的氣體密度成正比。Pi

n2av2Pi=P=v-bRTav2-(P+av2)(v-b)=RT質量為M的氣體(P+aV2)(V-b)=RT

2M2

M

M上兩式就是范德瓦耳斯方程對氮氣，常溫和壓強低于

5107Pa范圍a=0.84105Pal2/molb=0.0305l/mol1v2

v范德瓦耳斯等溫線液汽液共存汽氣PKABCEFCF

過熱液體遇汽化核心-汽化氣泡室BC

虛線實際氣體

EF

實際不可實現BE

過飽和蒸汽遇凝結核心-液化云室人工降雨粒子走了一條艱難曲折的路【問題】摔碎一個汽油瓶，為什么先聽到聲音，后聞到氣味？§9-6平均碰撞頻率平均自由程二.平均碰撞頻率meancollisionfrequency1.定義：單位時間內分子的平均碰撞次數。一.碰撞簡化模型2.假設某分子a以平均相對速率u運動1.氣體分子是直徑為d的剛球（有效直徑）d§9-6平均碰撞頻率平均自由程①柱體中的分子數②平均碰撞頻率2.Z的計算addddddABC§9-6平均碰撞頻率平均自由程2.計算3.

與P、T的關系1.定義：

分子在連續兩次碰撞之間所通過的自由路程的平均值三.平均自由程

meanfreepath§9-6平均碰撞頻率平均自由程【討論】估算常溫下，理想氣體分子的平均自由程、平均碰撞頻率。【問題】體積不變，溫度升高，平均自由程怎么變化？§9-6平均碰撞頻率平均自由程addddddABC

氣體的輸運過程

(transportprocess)有三種

內摩擦現象熱傳導現象

擴散現象§9-7氣體的輸運過程*設，dS的上層面上流體對下層面上流體的粘滯力為

df，反作用為

df'，這一對力滿足牛頓第三定律。實驗測得df=

dzduz=z0dS

稱為粘滯系數20oC時，水為

1.0110-3Pa·s空氣為

1.8210-5Pa·sxzu=u(z)dSdf'df內摩擦微觀上，這種粘滯力是動量傳遞的結果下層平均自由程

l的區域，單位時間通過

dS面積，向上層輸運動量的平均

x分量zz0

16vn16vnxu（z0+

）u（z0-

）(z0-

)dS16vnmu上層平均自由程

l的區域，單位時間通過dS面積，向下層輸運動量的平均

x

分量比較實驗定律(z0+

)dS16vnmudf=(z0+

)-u16vnm[u(z0-

)]dS

13vnm

dzduz=z0dS1=3vnm

帶入

，

與壓強無關，只與溫度有關。T↑，↑熱傳導溫度不均勻就有熱傳導設，沿

z

方向有溫度梯度，實驗指出，dt

時間內，通過

dS傳遞的熱量為：負號表示熱從溫度高處向溫度低處傳遞，

為導熱系數（導熱率）微觀推導與粘滯力情況相似，只是把動量換成平均動能dQ=(z0-

)-

16vn[