湖南省2025屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考數(shù) 學(xué)由注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合,則()A. B. C. D.2.設(shè)為虛數(shù)單位,則()A.5 B. C. D.3.已知拋物線,則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A. B. C.8 D.164.如圖,在中,點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn).設(shè),則的值為()A.1 B.2 C.3 D.45.在平面直角坐標(biāo)系中,為角的終邊上一點(diǎn),將角的終邊繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到角,則的值為()A. B. C. D.6.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù),且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),例如:,現(xiàn)將的函數(shù)值排成一列,則組成的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.60 B.30 C.15 D.1207.若直線與圓交于兩點(diǎn),則的取值不可能為()A. B.3 C. D.48.對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),若存在一個(gè)點(diǎn),使得,那么我們稱為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若存在個(gè)點(diǎn),滿足,則稱為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù),則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()A. B.C. D.二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.若,則下列結(jié)論正確的有()A.B.數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為5C.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3D.若,隨機(jī)變量,則10.閱讀材料:在空間直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)且一個(gè)法向量為,不全為零)的平面的方程為.根據(jù)閱讀材料,解決問題:已知,則()A.直線與平面所成角的正弦值為1B.三棱錐的體積為C.平面的方程為D.在上的投影向量的坐標(biāo)為11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,設(shè),且0,若,則()A. B. C. D.三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則.13.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家,他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓,這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”,且其方程為.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,為橢圓上任意兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角,根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識(shí),則橢圓離心率的取值范圍為.14.2021年小米重新設(shè)計(jì)了自己的品牌形象.新舊圖像如圖所示,舊logo是一個(gè)正方形,新logo可看作一個(gè)直徑為邊長的一半的圓在原正方形中運(yùn)動(dòng),保留它運(yùn)動(dòng)過程覆蓋的區(qū)域就是新logo.類比推理,現(xiàn)有一個(gè)棱長為2的正方體,一個(gè)直徑為1的球在正方體內(nèi)部滾動(dòng),將該球可到達(dá)的區(qū)域保留,不可到達(dá)的區(qū)域割去,得到一個(gè)幾何體,我們稱之為“小米正方體”,則“小米正方體”的體積為. 四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)在中,角所對(duì)的邊分別為,且滿足.(1)求角的大小；(2)若,且的面積為,求的值.

(本小題滿分15分)如圖,四邊形是邊長為5的正方形,半圓面平面,點(diǎn)為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合).(1)求證:；(2)當(dāng)點(diǎn)為半圓弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí),求二面角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)高三某班為緩解學(xué)生高考?jí)毫?班委會(huì)決定在周班會(huì)課上進(jìn)行“聽音樂、猜歌名”的趣味游戲比賽,現(xiàn)將全班學(xué)生分為9組,每組5人,剩余的學(xué)生做裁判.比賽規(guī)則如下:比賽共分為兩輪,第一輪比賽中9個(gè)小組分三場進(jìn)行比賽,每場比賽有3個(gè)小組參加,在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)猜對(duì)歌名最多的小組獲勝,獲勝的三個(gè)小組進(jìn)入第二輪比賽,第二輪進(jìn)行一場比賽,選出獲勝隊(duì)伍.已知甲、乙、丙3個(gè)小組的學(xué)生能成功猜對(duì)歌名的概率分別為.(1)現(xiàn)從乙組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜,記5首歌曲中猜對(duì)的歌曲數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望;(2)若從甲、乙、丙3個(gè)小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲,求該學(xué)生猜對(duì)歌曲的概率；(3)若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一,則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組,游戲規(guī)則如下:從丁、戊小組中任選一名代表,從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的不透明的盒子中有放回地隨機(jī)摸出一個(gè)球,摸出白球記1分,摸出紅球記2分,以0分開始計(jì)分,恰好獲得10分或11分則結(jié)束摸球.若該代表獲得10分,則該代表所在小組獲得勝利,否則另外一組獲得勝利.若該代表來自丁組,試估計(jì)丁組獲勝的概率.

18.(本小題滿分17分)已知直線與雙曲線及其漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明:；(3)若,過雙曲線上一點(diǎn)向雙曲線作切線,其斜率分別為,,問是否存在這樣的,使得為定值?若存在,求出的值及定值;若不存在,請說明理由.

19.(本小題滿分17分)若函數(shù)的圖象有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線